本发明专利技术公开了一种用于弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法，基于无量纲形式的动力学方程进行，将浅拱竖向弹性约束、转动方向弹性约束的大小用相应的刚度参数表示，通过求微分方程的通解和特解来假定弹性边界浅拱的模态，由模态系数矩阵对应的行列式等于零求自振频率，通过浅拱动力学方程的Galerkin离散和多尺度摄动分析导出1:2，1:1，1:3三种内共振条件下极坐标形式的平均方程，即可得到发生内共振时的动力响应。本发明专利技术通过在模态和自振频率中考虑约束刚度的思路解决了现有弹性边界浅拱内共振时的动力响应求解的技术问题。保证了所建设浅拱的安全性和合理性，并且能够延长浅拱的使用寿命。
【技术实现步骤摘要】
【专利摘要】本专利技术公开了一种，基于无量纲形式的动力学方程进行，将浅拱竖向弹性约束、转动方向弹性约束的大小用相应的刚度参数表示，通过求微分方程的通解和特解来假定弹性边界浅拱的模态，由模态系数矩阵对应的行列式等于零求自振频率，通过浅拱动力学方程的Galerkin离散和多尺度摄动分析导出1:2，1:1，1:3三种内共振条件下极坐标形式的平均方程，即可得到发生内共振时的动力响应。本专利技术通过在模态和自振频率中考虑约束刚度的思路解决了现有弹性边界浅拱内共振时的动力响应求解的技术问题。保证了所建设浅拱的安全性和合理性，并且能够延长浅拱的使用寿命。【专利说明】
本专利技术属于桥梁工程
，具体涉及一种用于弹性边界浅拱发生内共振时动 力响应的求解方法。
技术介绍
浅拱是一种受力性能介于拱和梁之间的受力构件，它在外荷载下的动力学特性对 于把握浅拱类结构的力学性能研究具有重要的意义。浅拱在轻质、低阻和满载设计条件下 容易发生大幅度的振动，而外激励激发的内共振是一种典型的破坏性动力行为，在设计参 数的考虑上必须予以避免。 已有浅拱的内共振研究主要针对理想的铰支、固结等边界，这些理想的边界条件 下浅拱结构的模态能用简单的解析函数表示，自振频率可以方便地求解。而针对弹性边界 浅拱，由于弹性约束常数的不确定性使得这种方便简易的求解条件不具备，导致目前弹性 边界浅拱的内共振研究不能考虑弹性约束，动力响应缺乏有效的求解方法，相应的研究未 见报导。
技术实现思路
本专利技术的目的是提供一种， 解决了现有技术中存在的在弹性边界浅拱的自振频率和模态中能够解析考虑大小不确定 的弹性约束刚度的影响、建设浅拱时发生位移和形变的问题。 本专利技术所采用的技术方案是，一种弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方 法，具体按照以下步骤实施： 步骤1、基于弹性边界浅拱，建立弹性边界浅拱的动力学控制方程，对弹性约束边 界进行描述，得到弹性约束边界的表达式； 步骤2、基于步骤1中动力学控制方程，引入弹性边界浅拱的模态和自振频率；并 结合步骤1中的边界的表达式对弹性边界浅拱的模态和自振频率进行求解； 步骤3、通过浅拱动力学控制方程的Galerkin离散和多尺度摄动分析导出三种内 共振条件下极坐标形式的平均方程以及发生内共振时的动力响应的表达式，并进一步对平 均方程进行求解得到浅拱发生内共振时的动力响应。 本专利技术的特点还在于， 步骤1中的基于弹性边界浅拱，建立弹性边界浅拱的动力学控制方程，对弹性约 束边界进行描述，得到弹性约束边界的表达式，具体按照以下步骤实施： 弹性边界条件下，在直角坐标系《5-圩下跨径为/的弹性边界浅拱的动力学控制方 程为： 【权利要求】1. 一种弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法，其特征在于，具体按照以下 步骤实施： 步骤1、基于弹性边界浅拱，建立弹性边界浅拱的动力学控制方程，对弹性约束边界进 行描述，得到弹性约束边界的表达式； 步骤2、基于步骤1中动力学控制方程，引入弹性边界浅拱的模态和自振频率；并结合 步骤1中的边界的表达式对弹性边界浅拱的模态和自振频率进行求解； 步骤3、通过浅拱动力学控制方程的Galerkin离散和多尺度摄动分析导出三种内共振 条件下极坐标形式的平均方程以及发生内共振时的动力响应的表达式，并进一步对平均方 程进行求解得到浅拱发生内共振时的动力响应。2. 根据权利要求1所述的弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法，其特征在 于，所述步骤1中的基于弹性边界浅拱，建立弹性边界浅拱的动力学控制方程，对弹性约束 边界进行描述，得到弹性约束边界的表达式，具体按照以下步骤实施： 弹性边界条件下，在直角坐标系5-埗下跨径为f的弹性边界浅拱的动力学控制方程 为：其中，其中< 4为两端竖向支撑刚度,4, 4为两端转动支撑刚度为初始时刻的 拱轴线形，任意一点在?时刻外荷载/t.i, /Μ乍用下发生水平位移(?, ?和坚直位移诉A f)?对于 浅拱有①平截面假定、②不考虑剪切变形和转动惯量、③忽略纵向惯性、④零初始轴力等基 本假定， 式中，A为截面积，I为转动惯量，P为密度，E为弹性模量，p为阻尼系数；边界的弹性 约束条件为其中rxS截面转动半径，公式（1)可以简化为式中，为阻尼项，为谐波激励（外荷载项），二次非线性项，为三次非线性项，公式（2) 中的边界条件可以写为式中Bi(u) (i = 1?4)为边界的一般表达式，Bju)表示一端坚向弹性约束，B3(u)表 示一端转动弹性约束，B2(u)表示另一端坚向弹性约束，B4(u)表示另一端转动弹性约束。3.根据权利要求1所述的弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法，其特征在 于，所述步骤2中基于步骤1中动力学控制方程，引入弹性边界浅拱的模态和自振频率；对 弹性边界浅拱的模态和自振频率进行求解，具体按照以下步骤实施： 将步骤1中的公式（4)中的阻尼项、外荷载项及非线性项去掉，得弹性边界浅拱对应的 线性方程(6) 利用公式（6)即求解弹性边界浅拱的自振频率和模态； 设公式￠)的方程解的一般形式为 u (x, t) = Φ (x) e1Mt (7) 式中ω为系统的频率，将上式其代入公式（6)，得与公式（4)对应的线性系统的特征方 程(8) 上标撇表示对X微分，方程的解由微分方程的通解Φ^χ)和特解Φρ(χ)两部分组成， 即 Φ (x) = φ--(χ) + φρ(χ) (9) 对于系统的频率ω，式（8)的通解表示为(10) 其中Ci(i =丨?幻是系数，式（8)积分符号内的项为一个常数，针对不同的 初始拱轴线形ψ(χ)特征方程的特解有不同的形式，当ψ(χ) =b sin 3ix(b为矢高） 时，Φρ(χ)可以表示为c5sin：nx(c5为系数）Φρ(χ)可以表示为 c5cos2 ji X ； 将模态方程式（9)代入边界条件式（5)和式（8)中，即得到自振频率和模态的求解方 程：式（11)中，由Ci(i = 1?5)的系数矩阵所对应的行列式等于零得η阶频率％和 相应的模态Φη(χ) ;Ci的系数矩阵对应行列式等于零所得一般为关于ωη的超越方程，采 用Mathematica，Matlab等软件进行计算；将所得模态标准正交化有( Snm是 Kronecker delta函数）；在分析式（5)中1^等弹性支撑浅拱的约束参数对自振频率和模 态的影响时，假定某一参数在一定区间之内变化而其余参数保持不变； 具体地，当Ψ (X) = b sin π X时（其中，b表示浅拱的矢高），式（11)的求解方程展 开为其中(其中，b表示浅拱的矢高）时，式（11)的求解方程展开为4.根据权利要求1所述的弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法，其特征在 于，所述步骤3通过浅拱动力学控制方程的Galerkin离散和多尺度摄动分析导出三种内共 振条件下极坐标形式的平均方程，即得到发生内共振时的动力响应的求解式，并对动力响 应的求解式进行求解，具体按照以下步骤实施： 在采用时间多尺度法进行摄动分析的过程中，定义无量纲小参数ε，同时用并将式（4)写为 u+Lu = G2 (u, u) +本文档来自技高网...
【技术保护点】
一种弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法，其特征在于，具体按照以下步骤实施：步骤1、基于弹性边界浅拱，建立弹性边界浅拱的动力学控制方程，对弹性约束边界进行描述，得到弹性约束边界的表达式；步骤2、基于步骤1中动力学控制方程，引入弹性边界浅拱的模态和自振频率；并结合步骤1中的边界的表达式对弹性边界浅拱的模态和自振频率进行求解；步骤3、通过浅拱动力学控制方程的Galerkin离散和多尺度摄动分析导出三种内共振条件下极坐标形式的平均方程以及发生内共振时的动力响应的表达式，并进一步对平均方程进行求解得到浅拱发生内共振时的动力响应。
【技术特征摘要】
【专利技术属性】
技术研发人员：易壮鹏，涂光亚，曾有艺，袁明，
申请(专利权)人：长沙理工大学，
类型：发明
国别省市：湖南;43
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