一种关于数值解场变量的高精度求解方法技术

本发明专利技术属于场量应用分析、数据处理技术领域，具体涉及一种关于数值解场变量的高精度求解方法；联合泰勒级数展开技术与移动最小二乘技术，建立并求解目标点处未知数值解场变量关于其局部离散点集合的坐标及其已知场量值的线性方程组；本发明专利技术原理简单易施行，中间步骤中离散表达式有统一表达形式，计算效率高；本发明专利技术适用于多维度、多阶次数学问题求解中，尤其在非线性和高阶场中性能卓越，应用范围广；本发明专利技术可结合任意数值方法使用，高效高精度获得目标点的数值解场变量的值，满足不同实际问题中数据传递及高精度后处理方面的需求，基础功能明确；更可服务于实际问题分析求解过程中非线性计算中间步骤，为数值分析提供新思路，发展前景广阔。发展前景广阔。发展前景广阔。

【技术实现步骤摘要】
一种关于数值解场变量的高精度求解方法


[0001]本专利技术属于场量应用分析、数据处理
，具体涉及一种关于数值解场变量的高精度求解方法。

技术介绍

[0002]自然界中，几乎所有问题都可以转化微分方程的求解问题，如物体的运动问题、热传导问题、人口增长问题等等，所以微分方程的求解对于促使我们认识事物发展变化的规律、提高相关学科认识，具有关键作用。对于一些简单的微分方程，可以通过一些数学技巧解出，如齐次方程、一阶线性微分方程等，但能得到解析解的微分方程毕竟只是少数，对于从实际问题中提取的大量微分方程，往往无法得到方程的解析解。随着计算机技术的发展，数值方法的应用逐渐广泛，成为数学与计算机之间的桥梁，为各种数学问题的求解提供可行手段。
[0003]经过几十年的发展，为解决从流体流动、固体变形、人口变化等实际问题提取出的数学问题，研究学者们提出的数值分析方法包括：有限单元法、边界元方法、控制容积有限元方法、光滑粒子流体动力学方法、无网格伽辽金方法等，利用这些方法所得到的直接结果是一系列单元结点或离散点上对应的场量值。然而，在部分方法(如有限单元法)的求解过程中或对结果的后处理中，还需要高精度获得非初始单元结点或离散点位置处的场变量及其导数的数值，如当利用有限单元法进行多场耦合分析，而所采用的单元网格精度不一致，需要相互传递场的数据时；当要求后处理绘制等值线时；当需要根据位移场数据绘制应变场时；等等。无疑，过程中，非单元结点或离散点位置处的场变量值及其导数值的计算精度将对最终结果产生关键影响。
[0004]为获得非初始单元结点或离散点处的场变量值，常规做法是通过形函数插值或移动最小二乘方法，但结果精度往往不高；为获得单元结点或离散点处的导数值，其精度则取决于形函数精度，如有限单元法中经常使用的常应变单元，在计算导数值分布上的效果差强人意。如果能够高精度获得任意点处的数值解场变量，保证从实际问题提取出的数学问题的求解过程中或后处理过程中的结果精度，对于我们正确应对实际问题、认识其相关规律，有重大意义。值得注意的是，这里提到的任意点处的数值解场变量，区别于前述的通过有限单元法、边界元方法等数值方法直接得到的一系列单元结点或离散点上对应的场量值，而是以他们为已知量，采用数值分析的方式求解得到的任意点处的函数场量值及其导数值的统称。

技术实现思路

[0005]针对现有问题，本专利技术提供一种关于数值解场变量的高精度求解方法，思想是联合泰勒级数展开技术与移动最小二乘技术，建立并求解关于已知局部离散点坐标及场量值的线性方程组，以高效高精度地得到某目标点处的数值解场变量，并服务于非线性计算的中间步骤，或满足高精度后处理的需求。针对所求解问题的不同来源，即不同实际问题，所
述数值解场变量有不同的实际物理意义，如应力、应变、水位、温度、人口密度等。
[0006]本专利技术是通过下述技术方案实现的：
[0007]一种关于数值解场变量的高精度求解方法，联合泰勒级数展开技术与移动最小二乘技术，获得任一点处场变量关于周围局部离散点场量值的离散表达式，将局部离散点场量值代入离散表达式，计算求解任意目标点处的数值解场变量。
[0008]一种关于数值解场变量的高精度求解方法，具体包括如下步骤：
[0009]步骤一，确定目标点的坐标信息，及研究域内所有单元结点或离散点的坐标信息及其场量值、边界信息；
[0010]步骤二，根据步骤一中目标点的坐标信息和边界信息，结合用户目的，确定局部离散点集合的选取规则、最少点要求和加权函数类型；
[0011]步骤三，在目标点处建立以目标点为原点的局部坐标系，根据步骤二确定的局部离散点集合的选取规则和最少点要求确定目标点的局部离散点集合；
[0012]步骤四，根据泰勒展开式、步骤二确定的加权函数类型、步骤三建立的局部坐标系、步骤三确定的目标点的局部离散点集合，建立目标点处的数值解场变量的离散表达式；
[0013]步骤五，将步骤三局部离散点上的场量值代入步骤四的离散表达式，求解目标点处的数值解场变量；
[0014]步骤六，结果可视化：将计算结果以数值形式、绘制彩图或绘制等高线图进行显示。
[0015]所述步骤一中研究域内所有单元结点或离散点的边界信息包括：对研究域边界的描述，及已知的边界条件。
[0016]所述步骤二中局部离散点集合选取规则的确定，包括如下内容：
[0017]当研究域内有限单元中的网格信息为已知时，采用邻接单元覆盖方法：在数量上满足最少点要求的情况下，根据所需选取与目标点直接通过单元进行连接的点、目标点所属单元的单元结点即一次点、与一次点通过单元进行连接的点即二次点、与二次点通过单元进行连接的点即三次点或者与三次点通过单元进行连接的点即四次点中的一种或几种作为局部离散点集合；
[0018]当研究域内网格信息不是已知时，采用相似域方法来确定局部离散点的集合，即当研究域为长条形时，采用长方形或椭圆形作为局部域形状；当研究域为圆形时，采用正方形、圆形或椭圆形为局部域形状；在保证选取局部域内的局部离散点数量满足最少点要求的前提下，选取局部域内所需数量的任意离散点作为局部离散点集合。
[0019]所述步骤二中局部离散点集合的最少点要求为：用户根据预期精度与待求解数值解场变量类型，在泰勒展开式中确定截断阶数，泰勒展开式中保留项数即为局部离散点集合最少点要求的个数。
[0020]所述步骤二中确定的加权函数类型包括：不加权、三次样条加权、四次样条加权或负指数函数加权。
[0021]所述步骤四建立的目标点处数值解场变量的离散表达式如下：
[0022]G＝D
T
·
S
T
·
W
·
S
·
D
[0023]H＝D
T
·
S
T
·
W
[0024][0025]其中：D＝diag{1,|Δx|
max
,|Δy|
max
,|Δx|
max2
,|Δy|
max2
,|Δx|
max
|Δy|
max
}， |Δx|
max
＝max{|Δx1|,|Δx2|,...,|Δx
n
|}，|Δy|
max
＝max{|Δy1|,|Δy2|,...,|Δy
n
|}，T为转置符号，
[0026]W＝diag([W
1 W2... W
n
])，
[0027]Δx
i
＝x
i
‑
x0，
[0028]Δy
i
＝y
i
‑
y0，(x
i
,y
i
)是第i个局部离散点的坐标，i＝1,2,
…
,n，u0、、为目标点处的数值解场变本文档来自技高网...

【技术保护点】

【技术特征摘要】
1.一种关于数值解场变量的高精度求解方法，其特征在于，联合泰勒级数展开技术与移动最小二乘技术，获得任一点处场变量关于周围局部离散点场量值的离散表达式，将局部离散点场量值代入离散表达式，计算得到任意目标点处的数值解场变量。2.根据权利要求1所述的一种关于数值解场变量的高精度求解方法，其特征在于，具体包括如下步骤：步骤一，确定目标点的坐标信息，及研究域内所有单元结点或离散点的坐标信息及其场量值、边界信息；步骤二，根据步骤一中目标点的坐标信息和边界信息，结合用户目的，确定局部离散点集合的选取规则、最少点要求和加权函数类型；步骤三，在目标点处建立以目标点为原点的局部坐标系，根据步骤二确定的局部离散点集合的选取规则和最少点要求确定目标点的局部离散点集合；步骤四，根据泰勒展开式、步骤二确定的加权函数类型、步骤三建立的局部坐标系、步骤三确定的目标点的局部离散点集合，建立目标点处的数值解场变量的离散表达式；步骤五，将步骤三局部离散点上的场量值代入步骤四的离散表达式，求解目标点处的数值解场变量；步骤六，结果可视化：将计算结果以数值形式、绘制彩图或绘制等高线图进行显示。3.根据权利要求2所述的一种关于数值解场变量的高精度求解方法，其特征在于，所述步骤一中研究域内所有单元结点或离散点的边界信息包括：对研究域边界的描述，及已知的边界条件。4.根据权利要求2所述的一种关于数值解场变量的高精度求解方法，其特征在于，所述步骤二中局部离散点集合选取规则的确定，包括如下内容：当研究域内有限单元中的网格信息为已知时，采用邻接单元覆盖方法：在数量上满足最少点要求的情况下，根据所需选取与目标点直接通过单元进行连接的点、目标点所属单元的单元结点即一次点、与一次点通过单元进行连接的点即二次点、与二次点通过单元进行连接的点即三次点或者与三次点通过单元进行连接的点即四次点中的一种或几种作为局部离散点集合；当研究域内网格信息不是已知时，采用相似域方法来确定局部离散点的集合，即当研究域为长条形时，采用长方形或椭圆形作为局部域形状；当研究域为圆形时，采用正方形、圆形或椭圆形为局部域形状；在保证选取局部域内的局部离散点数量满足最少点要求的前提下，选取局部域内所需数量的任意离散点作为局部离散点集合。5.根据...

【专利技术属性】
技术研发人员：白冰，次惠岭，雷宏武，崔银祥，
申请(专利权)人：中国科学院武汉岩土力学研究所，
类型：发明
国别省市：