一种计算机模拟动摆线的方法技术

本发明专利技术涉及一种计算机模拟动摆线的方法，属于计算机辅助几何设计技术领域。现有技术中，滚动圆绕固定圆做无摩擦运动时，摆点是与滚动圆的圆心相对位置固定的一个点，可变化的方式较少。本发明专利技术所述的方法中摆点已经扩展为一个广义的点，它在滚动圆运动的过程中，具有自己特定的轨迹曲线，并且轨迹曲线的类型可以任意。采用本发明专利技术所述的方法，摆点在滚动圆运动的过程中不再局限为一个固定点，而是可以有任意的轨迹曲线，从而具有很好的可扩展性，通过这种方法模拟的曲线类型也更加的丰富多样，可以广泛地应用于计算机辅助几何图形设计及安全防伪底纹的设计。

【技术实现步骤摘要】

本专利技术属于计算机辅助几何设计
，具体涉及。
技术介绍
目前，在许多计算机辅助几何设计方法及安全底纹防伪的设计方法中，会经常涉及到摆线的计算机生成。所述的摆线(Cycloid)是当一个圆沿一条定直线作无滑动的滚动时，动圆圆周上一个定点的轨迹叫做摆线。定直线称为基线，动圆称为母圆，该定点称为摆点。当一个圆在与其内切的定圆内作无滑动的滚动时，动圆圆周上一个定点的轨迹叫做内摆线(hypocycloid)。小圆内部与外部的每个定点所描绘的曲线称为内次摆线(hypotrochoid)。当一个圆沿一个与它外切的定圆作无滑动的滚动时，动圆圆周上一个定点的轨迹叫做外摆线(epicycloid)。小圆的内部与外部的每个定点所描绘的曲线称为外次摆线(epitrochoid)。上述的摆线可以称为定摆线，描绘了定点(也即定摆点)经过的运动轨迹形成的曲线。内外摆线的形状除了跟滚动圆与固定圆的半径之比有关外，还跟定点至滚动圆圆心的距离与滚动圆的半径之比有关。如果改变这两种比例关系就会得到丰富的图形设计。但是现有的摆线技术中存在一定的局限性当定摆点扩展为一个轨迹上的运动的任意点时，就超出了现有技术所能解决的范围。也就是说在动圆沿着定圆作无滑动的滚动时，与滚动圆圆心有一定位置关系的摆点不再是一个定点，而是一个(相对于动圆)具有特定轨迹Ω的动摆点。当滚动圆沿着定圆运动时，动摆点也沿着动摆点自身轨迹运动，此时的摆点可以理解为一个广义的点。轨迹Ω为任意图形，可以对称的或者不规则的，可以是凹多边形或者凸多边形，可以全部在动圆的内部或者外部，甚至可以一部分在动圆的内部，另一部分在动圆的外部，本专利技术要解决的问题就是如何来描述动摆点A所经过的轨迹曲线(动摆线)。由于动摆点自身轨迹的不确定性，通过这种方法模拟的曲线类型也更加的丰富多样。如果将这些动摆线用于平面图形设计或者安全底纹防伪设计，同样可以得到非常理想的效果。
技术实现思路
本专利技术的目的是针对现有技术中的缺陷，提出了。该方法中能使动摆点相对于滚动圆不再是一个固定不变的点，而是具有特定轨迹的动点，且由于动摆点自身轨迹的不确定性，该方法所描绘的动摆线也是更加的丰富多样，具有很好的可扩展性，从而能更好地应用于计算机辅助平面图形设计或者安全底纹防伪设计。为达到以上目的，本专利技术采用的技术方案是，包括以下步骤(1)选取固定圆和滚动圆的半径分别为R和r，从而可以确定摆线的周期T，令k表示R与r的比率；(2)将摆点扩展为一个广义的点即动摆点，它在滚动圆运动的过程中，具有自己特定的轨迹曲线，并且轨迹曲线的类型可以任意，并确定动摆点自身轨迹Ω的形状；(3)计算动摆点与自身轨迹形状Ω重心的距离d和旋转角度angle，i＝0，1，2......；(4)记录动摆点离散成定摆点后的轨迹点集把动摆点离散成定摆点后的摆线点集可以如下得到X(i)＝(k-ε)*r*cost+d*cos((k-ε)t-angle)Y(i)＝(k-ε)*r*sint-ε*d*sin((k-ε)t-angle)其中动摆点的标识(d，angle)是不断变化的，依次记录每个动点后得到点的集合II＝{(xi，yi)｜i＝0，1，2，3，4......}，ε为1或者-1，t为有向角的弧度值，r为滚动圆的半径；(5)根据最小二乘法原理，将集合II中的离散点拟合成三次的Bezier曲线f(x)＝a1x3+a2X2+a3x+a4，其中f(x)所表示的曲线即为本专利技术所模拟的动摆线的轨迹，其中a1，a2，a3，a4为系数。进一步来说，步骤(1)中的k等于q∶p，其中p与q是一对互质的正整数。在本专利技术的方法中若k＝q/p，且p与q是一对互质的正整数，则滚动圆与固定圆的圆周长之比为q∶p，于是，当滚动圆转动q圈时，滚动圆上的摆点会回到原始的出发点，此时，滚动圆恰好环绕固定圆p圈，则摆点所描绘的图形轨迹是一条封闭的曲线；另一方面，因为p与q互质，所以，当滚动圆转动的图数不到q圈时，摆点决不会回到出发点，则摆线所描绘的图形轨迹是一条开放的曲线。步骤(2)中，动摆点自身轨迹形状Ω是规则的几何图形或者是不对称的图元对象。在步骤(2)中，动摆点的自身轨迹形状Ω是凸图形，若动摆点的轨迹Ω完全在滚动圆的内部或者外部，滚动圆在绕固定圆运动时，动摆点遵循凸图形运动规律；若动摆点的轨迹Ω一部分在滚动圆的内部，另一部分在滚动圆的外部时，Ω上距离M点最近的点就不是唯一的，出现最小距离相同的点数多于一个，此处任选其中之一，所述的M点为滚动圆与固定圆的切点。步骤(2)中，动摆点的自身轨迹形状是凹图形，动摆点在轨迹Ω上的点和滚动圆上点建立一一对应，滚动圆在绕固定圆运动时，动摆点遵循凹图形运动规律。再进一步，若动摆点的轨迹Ω为凸图形，则遵循凹图形运动规律；若动摆点的轨迹Ω为凹图形，则遵循凸图形运动规律。步骤(1)中，确定固定圆半径R和滚动圆半径r，计算R和r的最小公倍数L，并令T＝L/r，滚动圆运行T圈后，动摆点回到出发点，从而得到一条封闭的动摆线。固定圆半径R与滚动动圆半径r比较接近时，在凹图形运动规律生成的摆线的每个组成部分形状接近所选定的图元对象的形状，摆线此时可以看成是数个相似图元首位相连而成的曲线轨迹。与现有技术相比，本专利技术的效果在于采用本专利技术所述的方法生成的动摆线可以更加的丰富多样，摆点在滚动圆运动的过程中不再局限为一个固定点，而是可以有任意的轨迹曲线，从而具有很好的可扩展性，可以广泛地应用于计算机辅助几何图形设计及安全防伪底纹的设计。本专利技术之所以具有上述的显著效果，主要在于以下原因本专利技术中，滚动圆沿固定圆运动时，摆点也相对于滚动圆以轨迹为Ω做运动，此时动摆点可以看作离散的定摆点，定摆线将得到进一步的扩展，动摆点自身轨迹Ω的重心在动圆滚动的过程中，相对于动圆而言始终是静止的，考虑动摆线时就可以只考虑动摆点的自身轨迹Ω上的点，d为Ω的重心到滚动圆圆心O的距离，定摆点的距离和角度的极坐标表示为(d，angle)，相应的起始极坐标为(d，0)，而扩展为动摆点后，某时刻动摆点与Ω重心的距离和旋转角度的极坐标可以表示为(d，angle)i＝1，2，3，4......，由此可以看出在运动的过程中动摆点与Ω重心的距离和旋转角度不断发生变化，由于d和angle的不同，最终的曲线轨迹将会更加丰富。附图说明图1基本摆线原理示意2定点到滚动圆的圆心的距离与滚动圆的半径不等时的摆线示意3固定圆与滚动圆半径之比为5∶1时的内摆线示意4固定圆与滚动圆半径之比为7∶3时的外摆线示意5内摆线示意6凸图元示意7凹图元示意8凸图元在凸图形运动规律下的内摆线示意9凸图元在凹图形运动规律下的内摆线示意10凸图元在凸图形运动规律下的内摆线组合图11凸图元在凹图形运动规律下的内摆线组合图12凹图元在凸图形运动规律下的内摆线组合图13凹图元在凹图形运动规律下的内摆线组合图14凹图元在滚动圆内部的凸图形运动规律下的内摆线图15凹图元在滚动圆外部的凹图形运动规律下的内摆线图16凹图元在滚动圆边上的凸图形运动规律的摆线图17凹图元在滚动圆边上的凹图形运动规律的摆线图18凹图元在滚动圆外部的凸图形运动规律下的内摆线图19凹图元在滚动圆外部的凹图形运动规律的内摆线图20凹图元在凸图形运动规律下的外摆线图21凹图元在凹图形运动规本文档来自技高网...

【技术保护点】
一种计算机模拟动摆线的方法，包括以下步骤：（１）选取固定圆和滚动圆的半径分别为Ｒ和ｒ，从而可以确定摆线的周期Ｔ，令ｋ表示Ｒ与ｒ的比率；（２）将摆点扩展为一个广义的点即动摆点，它在滚动圆运动的过程中，具有自己特定的轨迹曲线，并 且轨迹曲线的类型可以任意，并确定动摆点自身轨迹Ω的形状；（３）计算动摆点与自身轨迹形状Ω重心的距离ｄ［ｉ］和旋转角度ａｎｇｌｅ［ｉ］，ｉ＝０，１，２……；（４）记录动摆点离散成定摆点后的轨迹点集：把动摆点离散成定摆点后的摆线 点集可以如下得到：Ｘ（ｉ）＝（ｋ－ε）＊ｒ＊ｃｏｓｔ＋ｄ［ｉ］＊ｃｏｓ（（ｋ－ε）ｔ－ａｎｇｌｅ［ｉ］）Ｙ（ｉ）＝（ｋ－ε）＊ｒ＊ｓｉｎｔ－ε＊ｄ［ｉ］＊ｓｉｎ（（ｋ－ε）ｔ－ａｎｇｌｅ［ｉ］）其中动摆点的标识（ｄ［ ｉ］，ａｎｇｌｅ［ｉ］）是不断变化的，依次记录每个动点后得到点的集合∏＝｛（ｘ↓［ｉ］，ｙ↓［ｉ］）｜ｉ＝０，１，２，３，４……｝，ε为１或者－１，ｔ为有向角的弧度值，ｒ为滚动圆的半径；（５）根据最小二乘法原理，将集合∏中的离散点拟 合成三次的Ｂｅｚｉｅｒ曲线ｆ（ｘ）＝ａ↓［１］ｘ↑［３］＋ａ↓［２］ｘ↑［２］＋ａ↓［３］ｘ＋ａ↓［４］，其中ｆ（ｘ）所表示的曲线即为本专利技术所模拟的动摆线的轨迹，其中ａ↓［１］，ａ↓［２］，ａ↓［３］，ａ↓［４］为系数。...

【技术特征摘要】

【专利技术属性】
技术研发人员：亓文法，卢书一，
申请(专利权)人：北京北大方正电子有限公司，北京大学，
类型：发明
国别省市：11[中国|北京]