特殊鞍点问题的高效预处理方法技术

本发明专利技术提供一种特殊鞍点问题的高效预处理方法；对鞍点问题(3)的结构特征,设计结构化的免增广和免Schur余的块三角预处理子(11),(12)；对设计的预处理子进行谱分析,分析当选择合适参数时预处理矩阵将有更好的特征值聚集性,同时弥补原块对角预处理子只能解决k2<1的不足,扩大其适用范围；对具有奇异(1,1)块的非对称鞍点问题(6)结构特征,设计更加广义的结构化块三角预处理子；对设计的预处理子(13)进行谱分析,研究设计的预处理矩阵特征值分布、相应的特征向量和最小多项式,并分析选择最优参数时特征值的聚集性。

【技术实现步骤摘要】

本专利技术涉及一种。
技术介绍
大多数科学与工程计算中的模型问题经常需要求解一个或一系列大规模线性系 统。大规模线性方程组的求解往往占据了整个数值计算过程的主要部分，并且已成为科学 计算中一个突出的重要问题，同时也对实时计算和高精度分析提出了挑战。因此，如何使 用合理的计算量求解一个线性方程组就成了数值计算方法的一个重要课题。当今在计算数 学中十分重要的研究课题之一就是高效求解如下大型稀疏线性鞍点系统。 其中J e R"'C e，5 e (可能m < < η)。若A对称正定且C=0,我们称 上式为经典的鞍点问题，否则称为广义鞍点问题。 鞍点问题在工程和科学计算上有着及其广泛的应用，在工程领域，随着有限元 方法的日益普及，流体力学和固体力学成为了鞍点问题的主要源泉之一；在约束最优化领 域，内点法的每一次迭代都涉及到鞍点问题的求解；线性弹力学、电磁学、电路与计算机网 络等各方面的许多问题也都归结为大型稀疏鞍点问题的求解。极其广泛的应用背景使得有 效地求解鞍点问题一直成为工程和科学计算的热点，受到各个领域众多学者的广泛重视。 因此，鞍点问题的数值求解是丞待解决的重点课题之一。这不仅因为它本身具有极高的应 用背景，而且因为它是计算数学与现代科学计算领域中极富挑战性的难题，无论是从理论 方面还是算法本身方面，都存在很多没有解决的问题。所以，继续从事这方面的研究非常 重要，并且非常必要。 由于鞍点问题自身特殊结构，使得现有的数值计算方法求解这类问题依然存 在计算量和存储量大，迭代求解不收敛或收敛很慢。因此，一些经典的迭代算法如 Gauss-Seidel, S0R等方法均失效。故需要对鞍点问题进行预处理，即将鞍点问题Ιχ =厶化 为等价的具有优良性质的线性系统=/>7)。预处理Krylov子空间方法是求解这类具 有特殊结构线性方程组的基本方法之一。因此，针对鞍点问题的具体结构和特殊性质，设 计可行且高效的预处理子具有重要的理论意义和很高的实用价值。 国内外现状，鞍点问题广泛的产生于计算流体动力学、限制和加权最小二乘问题、 限制优化、经济学、计算电磁学、椭圆型偏微分方程的混合有限元离散等应用领域中。目前 已存在很多种方法求解鞍点问题，其中包括：直接法、零空间方法、投影法、HSS-型算法和 Uzawa-型算法等。由于来源于实际问题的鞍点系统一般涉及超大型不定的离散线性方程 组的求解，受限于存储空间和巨大的计算费用，直接解法难以有效地解决问题，学者们着 重于探讨鞍点问题的迭代求解。近些年来，用于求解鞍点问题的数值方法相继取得很大 进展，例如，应用Schur缩减方法时，针对Schur补系统求解的巨大计算费用问题，逼近 Schur补的预处理技术被研究；将零空间方法与约束预处理相结合；预处理和不精确Uzawa算法被研究，并由线性迭代发展到非线性迭代；各种稳定迭代算法与Krylov子空间方法结 合的预处理Krylov迭代法在很大程度上提高了鞍点系统的收敛速度。但由于鞍点系统结 构特殊，且一般为大型稀疏、病态的线性系统，这种特殊性使得现有的数值计算方法求解 这类问题依然存在计算量和存储量大，迭代求解不收敛或收敛很慢，通常需要对鞍点问题 进行预处理化为具有优良性质的等价线性方程组，但进行有效的预处理是很困难的。国内外很多学者做了大量的工作，提出了各种形式的预条件矩：块对角形式、块 三角形式和限制预条件矩阵等。Golub和Greif等人在2003年提出了一种增广型预处理 鞍点问题。接着，各种增广型预条件子也相继被提出。块三角预条件子首先由Bramble和 Pasciak于1988年提出：（1，1)和（1，2)块分别为A和Βτ, (2, 2)块为C的Schur余。显 然，预处理后矩阵的特征值全为1，因此用GMRES等迭代法很快就能收敛到近似解。同块 对角预条件子一样，求（1，1)块的逆是非常耗时的，因此近似的块三角预条件子相继被提 出。Simoncini和Cao对块三角预处理矩阵进行了细致的谱分析。Keller在2000年提出了 约束预条件子，对约束预处理后矩阵的特征值分布，特征向量等进行分析，描述了GMRES 等Krylov子空间迭代法的收敛行为。约束预条件子的结构和原系数矩阵结构一致，但是 (1，1)块被A的近似所取代。Cao和Dollar进一步研究了约束预条件子的性质，并推广 到广义鞍点问题。另外，Bai等人对广义鞍点系统提出了HSS和PSS预条件子，并用预处 理的Krylov子空间方法求解。Pan等人根据Bai等人的PSS方法提出了一种DPSS预条件 子，并指出当迭代因子趋于〇时，预处理后的矩阵的特征值一部分趋于〇,其余的趋于2。 本专利技术主要基于两类特殊线性鞍点问题特殊结构，设计有效的预处理子，对已有文献所做 的工作大致总结如下： 1)离散化混合型时谐Maxwell方程离散产生的鞍点问题 由有限元离散的混合型时谐Maxwell方程：求u和p使得 w uXn = 0 in Ω， p = 0 in Ω， 其中，ΩεΚ3是具有连通边界0O的单连通多面体区域，n是3Ω上的外单位法向； u和ρ分别是电磁域和Lagrange乘子；波数满足k2= ω2ε μ，其中ω彡〇，ε和μ分别 是频率，电容率和渗透参数。 解决Maxwell方程⑵通常采用离散的Helmholtz分解方法，代数多重网格方法 和鞍点系统求解方法等。基于鞍点系统求解方法，利用第一类最低阶的N6d6leC有限元近 似电磁域，用标准的点有限元来近似乘子，离散Maxwell方程可得如下鞍点问题：(3) 其中wef和eIT,且对应于离散的curl-curl算子的矩阵Je 对称半正定 具有m维零空间，对应于离散的发散算子的忍是满秩矩阵，是向量质量矩 阵。 常用的Krylov子空间方法有CG法，MINRES(minimumresidualmethod)以及 GMRES法等。若波数k2>0,显然、的（1，1)块是不定矩阵，当A-k2M变得越不定时，问题变 得越难解。最近，利用类似文中的谱等价性质，Greif和Sch0_tzau对鞍点线性系统（3) 提出了两种免增广和免Schur余的块对角预处理子 其中是离散的拉普拉斯算子，k2〈l。显然，?和荇是免增广和免Schur 余的，作者证明了预处理矩阵特征值的分布非常聚集；数值试验也说明了预条件的MINRES 迭代法迭代次数的变化对网格的细化和较小的波数不敏感。但是提出的预处理矩阵必须 k2〈l，这是非常苛刻的，而且，对具有非奇异（1，1)块的通常的鞍点问题，快三角预处理 技术要比块对角预处理技术更有效，基于此，本专利技术将根据鞍点问题（3)的结构特 征，进一步研究并设计结构化的免增广和免Schur余的块三角预处理子。2)具有奇异（1，1)块的非对称鞍点问题 考虑如下大型稀疏的2 X 2块线性方程组：(6) 其中奇异且具有高维的零空间，m彡η。鞍点系统（6)的具 体应用请参考文献。这里总假设^是非奇异的。 特别指出，矩阵為是非奇异的当且仅当rank(B) =rank(C) =m和K/2AVC2非奇 异，其中VB2和Ve2分别是矩阵B和C的零空间的一组基。而且，的非奇异意味着null(A)Πnull(C)本文档来自技高网...

【技术保护点】
特殊鞍点问题的高效预处理方法，其特征在于，(1)对由离散化混合型时谐Maxwell方程离散产生的鞍点问题A‾1x=A-k2MBTB0uv=f0=b,]]>根据此鞍点问题的结构特征,设计两种结构化免增广和免Schur余的块三角预处理子:Mξ,η=A+(ξ-k2)M(1+ξη)BT0-ηL,---(11)]]>和Hξ,η=A-k2M+ξBTL-1B(1+ξη)BT0-ηL,---(12)]]>(2)对设计的预处理子(11)和(12),分析其构造及应用代价和已有的免增广和免Schur余的块对角预处理子相当,分析参数最优选取时特征值的聚集性，同时弥补原块对角预处理子只能解决k2<1的不足,扩大其适用范围；(3)对具有奇异(1,1)块的非对称鞍点问题A‾2x=ABTC0uv=fg=b,]]>根据此鞍点问题的结构特征,研究设计出一种广义的结构化块三角预处理子:Tξ,η=A+ξBTW-1C(1-ξη)BT0ηW,---(13)]]>(4)对设计的结构化的预处理子(13),进行理论谱分析,研究预处理矩阵等的特征值分布、相应的特征向量和最小多项式，最后分析,参数满足一定条件时,预处理子等的特征值更加聚集。...

【技术特征摘要】

【专利技术属性】
技术研发人员：张理涛，
申请(专利权)人：郑州航空工业管理学院，
类型：发明
国别省市：河南;41