一种基于几何代数的多维矢量的快速空间寻优方法技术

本发明专利技术涉及矢量集合匹配寻优技术领域，尤其涉及一种基于几何代数的多维矢量的快速空间寻优方法，具体步骤如下：S1、将矢量集迁移到几何代数运算空间；S2、设定存在一个未知几何代数旋转算子可实现矢量集的空间最佳匹配；S3、以几何代数内积作为距离测度；S4、构造目标函数为矢量集内积和最小；S5、采用单一约束条件的拉格朗日函数求解；S6、基于矩阵计算理论得到目标函数的最优解。本发明专利技术不需要迭代运算，可直接计算得到空间寻优路径的最优解，计算便捷，同时不受矢量集维数限制，不仅可以进行矢量转置，还可以用于高维复杂几何体的旋转拟合和空间寻优，具有不改变目标结构和几何特征性等优点。征性等优点。征性等优点。

【技术实现步骤摘要】
一种基于几何代数的多维矢量的快速空间寻优方法


[0001]本专利技术涉及矢量集合匹配寻优
，尤其涉及一种基于几何代数的多维矢量的快速空间寻优方法。

技术介绍

[0002]矢量集合的匹配问题常常被用于求解点集拟合，空间矢量拟合等计算场景，在图像匹配、化学领域分子结构比较、生物信息学的蛋白质相似性比对等领域均有推广应用潜力。
[0003]点集拟合现有的方法有迭代最近点(Iterative Closest Point，ICP)、Powell算法和梯度下降法等，然而这些需要经过复杂的迭代运算，计算过程缓慢且易陷入局部最优点。此外，同样用于快速拟合的Kabsch算法，受到维数限制，几何意义不明确。

技术实现思路

[0004]本专利技术的目的是为了解决现有技术中存在的缺点，而提出的一种基于几何代数的多维矢量的快速空间寻优方法，不需要迭代运算，可直接计算得到空间寻优路径的最优解，计算便捷，同时不受矢量集维数限制，不仅可以进行矢量转置，还可以用于高维复杂几何体的旋转拟合和空间寻优，具有不改变目标结构和几何特征性等优点。
[0005]为了实现上述目的，本专利技术采用了如下技术方案：
[0006]一种基于几何代数的多维矢量的快速空间寻优方法，具体步骤如下：
[0007]S1、将矢量集迁移到几何代数运算空间；
[0008]S2、设定存在一个未知几何代数旋转算子可实现矢量集的空间最佳匹配；
[0009]S3、以几何代数内积作为距离测度；
[0010]S4、构造目标函数为矢量集内积和最小；
[0011]S5、采用单一约束条件的拉格朗日函数求解；
[0012]S6、基于矩阵计算理论得到目标函数的最优解。
[0013]优选地，在步骤S1中，矢量集的每个矢量p
i
(a
i
,b
i
,c
i
,
…
)均可用几何代数中的基矢量<e1,e2,e3,
…
,e
n
>∈G
n
表示为p
i
＝a
i
e1+b
i
e2+c
i
e3…
，其方向矢量表示为p
i
的单位形式：vi＝unit(p
i
)。这里将需要匹配的两组点集分别表示为和
[0014]优选地，在步骤S2中，设定存在一个未知几何代数旋转算子R可实现矢量集的空间最佳匹配；单位旋转算子R表示为：
[0015]R＝k+xe1∧e2+ye2∧e3+ze3∧e1ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(1)
[0016]R
‑1＝k
‑
xe1∧e2‑
ye2∧e3‑
ze3∧e1ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(2)
[0017]其中，k、x、y和z均为未知数；旋转算子是几何代数运算框架的一种运算算子，多重矢量描述的几何体通过与旋转算子几何积运算，实现几何体在不改变结构和几何特征性的同时完成空间位置上的转置。这里旋转算子R是一个二重矢量，利用这个旋转算子，将多重矢量α旋转至多重矢量β则可表示为β＝RαR
‑1。
[0018]优选地，在步骤S3和S4中，目标是求解旋转算子，以实现两组矢量的最优匹配。为实现这一目标，定义目标函数为：矢量集经旋转算子R旋转后，与匹配的参考矢量集内积，求解当内积值为最大时的旋转算子R的解，则目标函数表示为：
[0019][0020]上述求解两组矢量最优匹配的问题转为：当目标函数值为最大时，旋转算子R的解。求解O(R)的最大值，显然是一个最优化问题。
[0021]优选地，在步骤S5中，已知旋转算子R是一个单位二重矢量，故存在||R||＝k2+x2+y2+z2＝1。这里通过在单一等约束下建立拉格朗日函数来对O
max
进行求解，约束条件为拉格朗日函数L(O,λ)可表示为：
[0022][0023]其中，G(i,σ)是一维的高斯加权，表示为
[0024]以三维空间为例，分别根据将步骤S1中的和步骤S2中的R和R
‑1代入步骤S4的目标函数O(R)中,高斯加权后得：
[0025][0026]根据几何代数多重矢量内积与几何积运算规则得：
[0027][0028]为方便表达，令
[0029][0030][0031][0032][0033][0034]已知单位二重矢量R满足||R||＝k2+x2+y2+z2＝1，可在单一等约束条件下建立拉格朗日函数来对O
max
进行求解，约束条件为拉格朗日函数L(O,λ)
可表示为：
[0035][0036]对未知数k、x、y、z、λ依次求偏导，得
[0037][0038]上述中公式的前4项可以写成矩阵运算形式
[0039][0040]MX＝λX
[0041]矩阵M的特征值和特征向量即为目标函数O
max
的解，由上式可知矩阵M是一个实对称矩阵，其特征值λ均为实数，且对应特征向量X都是实向量，可得特征向量X必定有目标函数O
max
的实数解。特征向量X中同时包含目标函数的最大值解和最小值解，可通过目标函数的二阶偏导数构造四阶Hessian矩阵，并判断H(O)为负定来确定目标函数极大值的解。实验中发现，通常最大特征值λ
max
所对应的特征向量X为O
max
极大值的解。
[0042]上述内容则求得旋转算子R和R
‑1，再根据步骤S2提到的运算法则β＝RαR
‑1，即可实现浮动矢量集Γ到参考矢量集的最优旋转匹配。
[0043]与现有技术相比，本专利技术具有以下有益效果：
[0044]1、本专利技术不需要迭代运算，可直接计算得到空间寻优路径的最优解，计算便捷，同时不受矢量集维数限制，不仅可以进行矢量转置，还可以用于高维复杂几何体的旋转拟合和空间寻优，具有不改变目标结构和几何特征性等优点。
[0045]2、本专利技术采用的算法可根据需求，设计加权函数对任意矢量进行加权运算，以满足对矢量集拟合时的不同需求。
附图说明
[0046]图1为本专利技术的流程图；
[0047]图2为本专利技术中旋转算子的表现形式图；
[0048]图3为本专利技术中2个矢量旋转效果图；
[0049]图4为本专利技术中8个矢量旋转效果图；
[0050]图5为本专利技术中8个带扰动矢量，没有高斯加权的旋转效果图；
[0051]图6为本专利技术中8个带扰动矢量，使用高斯加权的旋转效果图。
具体实施方式
[0052]下面结合附图将对本专利技术实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，以使本领域的技术人员能够更好的理解本专利技术的优点和特征，从而对本专利技术的保护范围做出更为清楚的界定。本专利技术所描述本文档来自技高网...

【技术保护点】

【技术特征摘要】
1.一种基于几何代数的多维矢量的快速空间寻优方法，其特征在于，具体步骤如下：S1、将矢量集迁移到几何代数运算空间；S2、设定存在一个未知几何代数旋转算子可实现矢量集的空间最佳匹配；S3、以几何代数内积作为距离测度；S4、构造目标函数为矢量集内积和最小；S5、采用单一等约束条件的拉格朗日函数求解；S6、基于矩阵计算理论得到目标函数的最优解。2.根据权利要求1所述的一种基于几何代数的多维矢量的快速空间寻优方法，其特征在于，...

【专利技术属性】
技术研发人员：顾菊平，程天宇，张新松，赵佳皓，蒋凌，赵凤申，周伯俊，言淳恺，张思旭，
申请(专利权)人：南通大学，
类型：发明
国别省市：