一种含摩擦边界的板结构模态求解方法技术

本发明专利技术公开了一种含摩擦边界的板结构模态求解方法，其实现步骤是：针对含间隙摩擦边界的板结构，以薄板为例，首先构建含摩擦边界的薄板结构的能量泛函；然后利用均匀分布弹簧来模拟一般的弹性边界条件，采用二维改进的Fourier级数展开来描述板的横向位移和面内位移；最后根据Rayleigh‑Ritz法推导含摩擦边界的薄板的特征方程，求得固有频率和特征向量，从而通过位移容许函数获得薄板的解析模态函数。本发明专利技术克服了传统的薄板模态函数求解中未考虑铰链间隙摩擦影响的缺陷；适用于一般边界条件及具有复杂形状的薄板，工程适用性强；采用半解析方法，相比传统有限元等数值算法计算效率更高，更适于动力学分析和控制律设计。

【技术实现步骤摘要】
一种含摩擦边界的板结构模态求解方法
本专利技术涉及结构动力学建模与分析研究领域，特别涉及一种含摩擦边界的板结构模态求解方法。
技术介绍
本专利技术所阐述的含摩擦边界的薄板结构如附图1所示。为避免结构热膨胀变形，板结构右端滑移铰链在设计时预留间隙δ，以释放结构热应力。薄板中性面沿x轴向的两边为对称的曲线边界，曲线方程分别为f(x)＝c1x2+c2和f1(x)＝Y0-c1x2-c2，其中c1、c2和Y0为参数。在高速飞行器、柔性航天器、卫星、空间站等航空航天结构工程中，板是基本而重要的元部件。在结构设计中，为避免结构受热膨胀变形，在板结构端部的滑移铰链设计中会预留间隙，从而形成了摩擦边界。含间隙的摩擦边界会改变板结构的刚度特性，引起结构模态函数的变化，从而导致板结构固有特性的变化。板结构固有特性的变化会影响结构的动力学响应，进而影响柔性航天器的姿态运动及姿态稳定度。鉴于航空航天工程结构中涉及的板大多为薄板，所以本专利以薄板为研究重点。因此对于此类含摩擦边界的薄板结构的固有特性的研究具有重要的现实意义。当前在对薄板结构的动力学建模及模态求解的研究中，为了处理上的便利，通常都未考虑因铰链间隙而产生的摩擦边界条件，而实际上间隙摩擦边界对薄板结构的固有特性及动力学响应特性的影响不容忽视；目前在薄板结构的模态求解研究中，大都针对矩形、圆形、扇形等具有规则形状的板状结构，而对于具有复杂形状的板状结构的解析模态函数求解还较少有涉及；现有的薄板模态函数求解大都针对某种特定的边界条件，而对于更具工程普遍意义的一般边界条件研究较少。因此对于一般边界条件下含间隙摩擦边界的复杂形状薄板结构，目前的动力学建模和模态求解技术并不能很好地解决这一问题。
技术实现思路
本专利技术的目的是：针对含摩擦边界的具有复杂形状的薄板结构，为了能够更精确地描述摩擦边界对薄板结构固有特性的影响，建立了一种含摩擦边界的板结构模态求解方法，构建含摩擦边界的薄板结构能量泛函表达式。利用均匀分布弹簧来模拟一般的弹性边界条件，采用二维改进的Fourier级数展开来描述薄板的横向位移和面内位移，根据Rayleigh-Ritz法得到含摩擦边界的薄板的特征方程，从而获得薄板的固有频率和特征向量，进而通过位移容许函数公式得到模态函数的解析表达式。为具有复杂形状的含摩擦边界的薄板结构动力学建模、分析及控制奠定技术基础。为了实现以上目的，本专利技术是通过以下技术方案实现的：一种含摩擦边界的板结构模态求解方法，其特点是，包括以下步骤：S1，构建含摩擦边界的薄板结构能量泛函；S2，对薄板结构横向和面内边界条件进行模拟；S3，构造薄板位移容许函数；S4，求解含摩擦边界的薄板结构解析模态函数。所述的步骤S1中针对含有摩擦边界的大变形薄板结构，其变形形式包括横向弯曲变形和纵向面内变形；含摩擦边界薄板的能量泛函包括总势能和动能，其中总势能包括弯曲形变产生的势能Vp、中面应变产生的势能Vε和摩擦边界上的摩擦力所做的功Vf；薄板弯曲形变产生的势能为：其中，D＝Eh3/12(1-υ2)为弯曲刚度，E和υ分别为杨氏模量和泊松比，a为板宽度，h为板厚；f(x)表示抛物线形式的光滑曲线函数，来描述连续薄板的边界曲线方程，即f(x)＝c1x2+c2，其中c1和c2为待求解参量；f1(x)＝Y0-f(x)为板的另一条曲边方程，其中Y0为参数；薄板中面应变产生的势能为：其中u，v，w为位移，FTx、FTy和FTxy分别表示薄板中面内力，εx，εy，γxy为应变；在薄板摩擦边界上，由铰链滑移导致的纵向面内摩擦力所做的功为：其中Px表示薄板摩擦边界上受到的摩擦力，悬臂薄板的动能T表示为：其中ρ表示板的密度，h表示板的厚度。所述的步骤S1中，在摩擦力所做功Vf的表达式中，薄板摩擦边界上受到的摩擦力其中Ft表示摩擦边界上铰链所受的装配预紧力，mt表示与铰链连接的集中质量，μ表示摩擦系数，表示摩擦边界上的面内速度，由Px的表达式可知，装配预紧力Ft、集中质量mt、铰链间隙值δ和摩擦系数μ均能对板结构的动力学固有特性造成影响；采用积分域离散方法对能量泛函进行数值积分，以Vp为例进行阐述：令分别沿x和y方向将柔性体积分域等分为G和G1份，则取积分点其中则所述的步骤S2中，在薄板结构的四条横向边界上分别均匀地布置横向位移弹簧和旋转约束弹簧，通过设置不同弹簧刚度值来实现模拟任意弹性边界条件：kx0、kxa、ky0、ky1分别表示x＝0，x＝a，y＝f(x)，y＝f1(x)边上横向位移弹簧的刚度值，Kx0、Kxa、Ky0、Ky1分别表示x＝0，x＝a，y＝f(x)，y＝f(x)边上旋转约束弹簧的刚度值，当kx0、kxa、ky0、ky1、Kx0、Kxa、Ky0、Ky1均取无穷大时，表示薄板四边固支边界条件；当kx0、kxa、ky0、ky1、Kx0、Kxa、Ky0、Ky1均取0时，表示薄板四边自由边界条件；当kx0、kxa、ky0、ky1取无穷大，Kx0、Kxa、Ky0、Ky1取0时，表示薄板四边简支边界条件；在薄板结构的四条面内边界上分别均匀地布置法向与切向线性约束弹簧，通过设置不同弹簧刚度值来实现模拟任意弹性边界条件：kpx0、kpxa、kpy0、kpy1分别表示x＝0，x＝a，y＝f(x)，y＝f1(x)边上法向线性位移弹簧的刚度值，Kpx0、Kpxa、Kpy0、Kpy1分别表示x＝0，x＝a，y＝f(x)，y＝f1(x)边上切向线性位移弹簧的刚度值，当kpx0、kpxa、kpy0、kpy1、Kpx0、Kpxa、Kpy0、Kpy1均取无穷大时，表示薄板面内四边固支边界条件，当其均取0时，表示薄板面内四边自由边界条件；当kpx0、kpxa、kpy0、kpy1取无穷大，Kpx0、Kpxa、Kpy0、Kpy1取0或当kpx0、kpxa、kpy0、kpy1取0，Kpx0、Kpxa、Kpy0、Kpy1取无穷大时，表示薄板面内四边简支边界条件。所述的步骤S3中，采用二维改进的Fourier级数展开来描述板的横向位移w：其中λm＝mπ/a，λn＝nπ/b，Amn为Fourier系数，clm和dln分别为辅助级数的系数，ω1为系统固有圆频率，ξla(x)和ξlb(y)分别为与x和y相关的辅助函数，表示为：将式上式中的a和x分别用b和y进行替换可得到与y相关的辅助函数；采用二维改进的Fourier级数展开来描述纵向位移u：其中，ω2为固有圆频率，其中，λam＝mπ/a，λbn＝nπ/b，Bmn表示Fourier系数。所述的步骤S4中利用Rayleigh-Ritz法推导含摩擦边界薄板的动力学特征方程，当采用均匀弹簧模拟薄板的边界条件后，含摩擦边界的薄板的总势能还包括边界弹簧所存储的弹性势能Vk，其中弹性势能Vk包括两部分：横向边界弹簧存储弹性势能Vkw和面内边界弹簧存储的弹性势能Vk本文档来自技高网...

【技术保护点】
1.一种含摩擦边界的板结构模态求解方法，其特征在于，包括以下步骤：/nS1，构建含摩擦边界的薄板结构能量泛函；/nS2，对薄板结构横向和面内边界条件进行模拟；/nS3，构造薄板位移容许函数；/nS4，求解含摩擦边界的薄板结构解析模态函数。/n

【技术特征摘要】
1.一种含摩擦边界的板结构模态求解方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1，构建含摩擦边界的薄板结构能量泛函；
S2，对薄板结构横向和面内边界条件进行模拟；
S3，构造薄板位移容许函数；
S4，求解含摩擦边界的薄板结构解析模态函数。


2.如权利要求1所述的含摩擦边界的板结构模态求解方法，其特征在于，所述的步骤S1中针对含有摩擦边界的大变形薄板结构，其变形形式包括横向弯曲变形和纵向面内变形；含摩擦边界薄板的能量泛函包括总势能和动能，其中总势能包括弯曲形变产生的势能Vp、中面应变产生的势能Vε和摩擦边界上的摩擦力所做的功Vf；
薄板弯曲形变产生的势能为：



其中，D＝Eh3/12(1-υ2)为弯曲刚度，E和υ分别为杨氏模量和泊松比，a为板宽度，h为板厚；f(x)表示抛物线形式的光滑曲线函数，来描述连续薄板的边界曲线方程，即f(x)＝c1x2+c2，其中c1和c2为待求解参量；
f1(x)＝Y0-f(x)为板的另一条曲边方程，其中Y0为参数；
薄板中面应变产生的势能为：



其中u，v，w为位移，FTx、FTy和FTxy分别表示薄板中面内力，εx，εy，γxy为应变；
在薄板摩擦边界上，由铰链滑移导致的纵向面内摩擦力所做的功为：



其中Px表示薄板摩擦边界上受到的摩擦力，悬臂薄板的动能T表示为：



其中ρ表示板的密度，h表示板的厚度。


3.如权利要求2所述的含摩擦边界的板结构模态求解方法，其特征在于，所述的步骤S1中，在摩擦力所做功Vf的表达式中，薄板摩擦边界上受到的摩擦力其中Ft表示摩擦边界上铰链所受的装配预紧力，mt表示与铰链连接的集中质量，μ表示摩擦系数，表示摩擦边界上的面内速度，由Px的表达式可知，装配预紧力Ft、集中质量mt、铰链间隙值δ和摩擦系数μ均能对板结构的动力学固有特性造成影响；
采用积分域离散方法对能量泛函进行数值积分，以Vp为例进行阐述：
令分别沿x和y方向将柔性体积分域等分为G和G1份，则取积分点其中则


4.如权利要求1所述的含摩擦边界的板结构模态求解方法，其特征在于，所述的步骤S2中，在薄板结构的四条横向边界上分别均匀地布置横向位移弹簧和旋转约束弹簧，通过设置不同弹簧刚度值来实现模拟任意弹性边界条件：
kx0、kxa、ky0、ky1分别表示x＝0，x＝a，y＝f(x)，y＝f1(x)边上横向位移弹簧的刚度值，Kx0、Kxa、Ky0、Ky1分别表示x＝0，x＝a，y＝f(x)，y＝f(x)边上旋转约束弹簧的刚度值，当kx0、kxa、ky0、ky1、Kx0、Kxa、Ky0、Ky1均取无穷大时，表示薄板四边固支边界条件；当kx0、kxa、ky0、ky1、Kx0、Kxa、Ky0、Ky1均取0时，表示薄板四边自由边界条件；当kx0、kxa、ky0、ky1取无穷大，Kx0、Kxa、Ky0、Ky1取0时，表示薄板四边简支边界条件；
在薄板结构的四条面内边界上分别均匀地布置法向与切向线性约束弹簧，通过设置不同弹簧刚度值来实现模拟任意弹性边界条件：
kpx0、kpxa、kpy0、kpy1分别表示x＝0，x＝a，y＝...

【专利技术属性】
技术研发人员：孙杰，刘付成，朱东方，孙俊，黄静，
申请(专利权)人：上海航天控制技术研究所，
类型：发明
国别省市：上海;31