一种加速有限元求解物体网格模型弹性变形的方法技术

本发明专利技术公开了一种加速有限元求解物体网格模型弹性变形的方法。针对非线性弹性物体模型，给定离散为由一系列单元和顶点构成的粗网格和细网格，用分段线性矩阵形函数作为位移插值函数用有限元法求解计算获得粗网格的位移场，使用线性插值函数作为位移插值函数用有限元法求解计算获得细网格的位移场；粗网格对应的有限元法中的形函数采用特殊设计的分段线性矩阵形函数，分段线性矩阵形函数为不连续的形函数。本发明专利技术用于模拟不均匀、各项异性的非线性弹性物体的形变，在粗网格上也使用非线性本构关系对异质弹性体进行预测性模拟，获得两到三个数量级的加速，对系统整体刚度的做出良好的逼近。

【技术实现步骤摘要】
一种加速有限元求解物体网格模型弹性变形的方法
本专利技术涉及了一种计算机物理模型和物理模拟方法，主要涉及了一种加速有限元求解物体网格模型弹性变形的方法，主要针对于模拟不均匀和非线性弹性物体的变形。
技术介绍
高效的模拟复杂的变形物体是计算机动画中的长期目标。随着更复杂、更庞大的仿真的需求增加，如何使用精细的数值方法以达到即使被仿真物体的结构复杂度不断提高而计算代价却不会大幅度提高成为技术难题。当人们使用足够精细的网格来解决微小尺度的非均匀性时才可以捕捉到物理对象正确的运动，但如果几何上十分复杂或者有一个非常不同的刚度矩阵也会导致十分大的求解时间。比如器官上的静脉结构或者超材料上的细微结构。简单的忽略小尺度的细节会导致整个物体的动力学特性。粗糙的模拟甚至无法得到最简单的变形，有时使对象比现实中的变得更加僵硬。随着视觉和制造业的保真度要求日益广泛地使用非线性几何模型和非线性本构关系，结合效率和可扩展性的数值算法设计在图形和计算物理学中越来越迫切。
技术实现思路
针对
技术介绍
的需求，本专利技术的目的在于提出了一种加速有限元求解物体网格模型弹性变形的方法，尤其是加速比较复杂的弹性物体，用于模拟不均匀、各项异性的非线性弹性物体的形变，是一种高效的、具有良好拓展性的方法。这种方法包括优化了一组不连续的、矩阵形式的形函数，使得即使在粗粒度的网格剖分上也可以使用非线性本构关系对异质弹性体进行预测性模拟。为实现上述目的，本专利技术的采用的技术方案如下：针对非线性弹性物体模型，给定离散为由一系列单元和顶点构成的粗网格和细网格，用分段线性矩阵形函数(形函数)作为位移插值函数用有限元法求解计算获得粗网格的位移场，使用线性插值函数作为位移插值函数用有限元法求解计算获得细网格的位移场；粗网格对应的有限元法中的形函数采用特殊设计的分段线性矩阵形函数，分段线性矩阵形函数为不连续的形函数，使得粗网格所得的结果与在细网格所得的结果近似，并且求解速度更快。所述的粗网格的网格数相比细网格的网格数更少，顶点排布更稀疏，。细网格的网格数更多，顶点数更密。两种网格描述的物体的几何形状完全相同，细网格所占的空间领域的并集为粗网格所占的空间领域。在有限元求解中，非线性弹性物体模型上的一点(可为顶点或者顶点以外的任意点)的位移由该点所在粗网格单元的顶点通过分段线性矩阵形函数插值得到，位移场离散在每一个顶点上，由所有位移构成位移场；并且在分段线性矩阵形函数插值过程中，采用局部标架辅助计算保证插值对坐标变换的不变性。所述的分段线性矩阵形函数为分段线性的矩阵形函数，同时为分段线性形式和矩阵形式。本专利技术中的粗网格单元和细网格单元是指三维物体模型中的一个网格面片。所述的分段线性矩阵形函数在粗网格单元内某一点的值等于一系列采样值的线性插值，表示如下：式中，表示粗网格单元所占的空间区域,表示粗网格单元所占的空间区域内各个细网格单元所占的空间区域；X表示非线性弹性物体模型上一点的坐标，为一个向量；是点X所在粗网格单元上顶点i的形函数，作为分段线性矩阵形函数，i为点X所在粗网格单元上的一个顶点；分段线性矩阵形函数采用矩阵形式，矩阵维度为d×d，d为空间维度，二维情况下为2，三维情况下为3；nij表示形函数在所在粗网格单元内细网格单元顶点j处的采样值，为一个矩阵，也是需要求解的变量；为点X所在细网格单元上顶点j的插值函数，所有细网格单元的插值函数采用线性插值函数，j为点X所在细网格单元上的一个顶点。每一个粗网格单元上的每一个顶点的形函数有一系列的采样值，采样值的位置为细网格单元上的各个顶点位置，且采样值的数量等于该粗网格单元细分后的细网格单元中的顶点总数。针对所述采样值进行求解，具体是：使形函数所对应的位移场转化为线性二次规划问题，使满足几何条件、物理条件和正则化，对线性二次规划问题进行求解获得采样值，从而得到分段线性矩阵形函数；对于每一个粗网格单元上的形函数当满足条件时代入得到一个线形二次规划问题，线形二次规划问题公式如下：式中，Ι为d×d的单位矩阵，表示分段线性矩阵形函数的导数，M表示单位四阶张量，为点X所在粗网格单元上顶点i的坐标，为点X所在粗网格单元上顶点k的坐标，表示点X所在细网格单元上顶点j的坐标，a、b为三维的笛卡尔坐标系下x、y、z三轴方向中的任意两个坐标方向，且可以取相同值，为坐标处ab方向的典型位移；tr()为迹函数，δij为克罗内克函数，[·]×来表示矩阵外积，当i＝k时，δik为1，当i≠k时，δik为0；所述的典型位移计算是求解以下公式表示的带诺伊曼边界条件的线性化弹性静力学问题：式中，表示散度计算，σ为应力张量，ea为第a个坐标方向的单位向量，eb为第b个坐标方向的单位向量，n为边界上的法向量，T表示转置，σ(hab)表示典型位移下的应力张量，hab表示ab方向的典型位移场，insideΩ表示在物体内，on表示在物体边界上；求解上述偏微分微分方程组的公式时使用有限元法求解，并且将应变能的海森矩阵设为一个常量矩阵，等于弹性体处于静止状态时的海森矩阵，形函数采用线性插值函数，并且附加以下的第零阶和第一阶惯性矩约束：式中，为变形后粗网格上的顶点参数坐标，为初始状态粗网格顶点坐标的平均值。本专利技术中满足几何条件、物理条件和正则化具体如下：A、所述的几何条件分为以下三条约束：(1)当对一个弹性体作用一个平移时，该弹性体内部的应变场不会变化。为了满足平移不变性，任一粗网格单元上所有顶点的形函数在任意位置的和都为一个单位阵。用公式描述如下：式中，Ι为d×d的单位矩阵。(2)当对一个弹性体作用一个旋转时，该弹性体内部的应变场不会变化。为了满足旋转不变性，若弹性体以角速度ω旋转，任一粗网格单元所占空间中的一点在旋转后的位置应当等于粗网格单元上的顶点在旋转后的位置分别乘上其对应的形函数用公式描述如下：为了方便便于描述，使用矩阵记号[·]×来表示矩阵外积，比如外积a×b表示为[b]×a。上述约束写为：式中，为某一粗网格单元上第i个顶点的参数坐标。(3)为了满足拉格朗日插值条件，任一粗网格单元上任一顶点上的形函数应当在该顶点的位置等于一个单位阵，在其他顶点上等于零矩阵。用公式描述如下：式中，为点X所在粗网格单元上顶点k的坐标，δik为克罗内克函数；B、分段线性的矩阵形函数能够精确的重建一组典型位移，也就是某一个粗网格单元内的形变场等于该粗网格单元顶点上的典型位移取值分别乘上对应顶点的形函数所述的物理条件公式描述如下：式中，a、b为三维的笛卡尔坐标系下x、y、z三轴方向中的任意两个坐标方向，且可以取相同值，为坐标处ab方向的典型位移；所述的典型位移的计算方法如下：求解以下带诺伊曼边界条件的线性化的弹性静力学问题：式中，表示散度计算，σ为应力张量，ea为第a个坐标方向的单位向量，eb为第b个坐标方向的单位向量，n为边界上的法向量，T表示转置。求解上述偏微分微分方程组时使用现有有限元法求解，并且将应变能的海森矩阵设为一个常量矩阵，等于弹性体处于静止状态时的海森矩阵。形函数采用线性插值函数，并且附加第零阶和第一阶惯性矩约束：式中为变形后粗网格上的顶点参数坐标，为初始状态粗网格顶点坐标的平均值。该物理条件在三维情况下提供6条约束方程(二维情况下3条约束方程)。满足此物理条件的形函数本文档来自技高网...

【技术保护点】
1.一种加速有限元求解物体网格模型弹性变形的方法，其特征在于：针对非线性弹性物体模型，给定离散为由一系列单元和顶点构成的粗网格和细网格，用分段线性矩阵形函数作为位移插值函数用有限元法求解计算获得粗网格变形后的位移场，使用线性插值函数作为位移插值函数用有限元法求解计算获得细网格变形后的位移场；粗网格对应的有限元法中的形函数采用特殊设计的分段线性矩阵形函数，分段线性矩阵形函数为不连续的形函数。

【技术特征摘要】
1.一种加速有限元求解物体网格模型弹性变形的方法，其特征在于：针对非线性弹性物体模型，给定离散为由一系列单元和顶点构成的粗网格和细网格，用分段线性矩阵形函数作为位移插值函数用有限元法求解计算获得粗网格变形后的位移场，使用线性插值函数作为位移插值函数用有限元法求解计算获得细网格变形后的位移场；粗网格对应的有限元法中的形函数采用特殊设计的分段线性矩阵形函数，分段线性矩阵形函数为不连续的形函数。2.根据权利要求1所述的一种加速有限元求解物体网格模型弹性变形的方法，其特征在于：在有限元求解中，非线性弹性物体模型上的一点的位移由该点所在粗网格单元的顶点通过分段线性矩阵形函数插值得到，位移场离散在每一个顶点上，由所有位移构成位移场；并且在分段线性矩阵形函数插值过程中，采用局部标架辅助计算保证插值对坐标变换的不变性。3.根据权利要求1所述的一种加速有限元求解物体网格模型弹性变形的方法，其特征在于：所述的分段线性矩阵形函数在粗网格单元内某一点的值等于一系列采样值的线性插值，表示如下：式中，表示粗网格单元所占的空间区域,表示粗网格单元所占的空间区域内各个细网格单元所占的空间区域；X表示非线性弹性物体模型上一点的坐标，为一个向量；是点X所在粗网格单元上顶点i的形函数，作为分段线性矩阵形函数，i为点X所在粗网格单元上的一个顶点；分段线性矩阵形函数采用矩阵形式，矩阵维度为d×d；nij表示形函数在所在粗网格单元内细网格单元顶点j处的采样值，为一个矩阵；为点X所在细网格单元上顶点j的插值函数，所有细网格单元的插值函数采用线性插值函数，j为点X所在细网格单元上的一个顶点。4.根据权利要求3所述的一种加速有限元求解物体网格模型弹性变形的方法，其特征在于：采样值的位置为细网格单元上的各个顶点位置，且采样值的数量等于该粗网格单元细分后的...

【专利技术属性】
技术研发人员：黄劲，鲍虎军，马修·德斯布朗，童一颖，陈炯，
申请(专利权)人：浙江大学，
类型：发明
国别省市：浙江,33