图像正交矩数值稳定性分析方法技术

本发明专利技术公开了一种图像正交矩数值稳定性分析方法，属于图像处理与模式识别领域。该分析方法基于离散控制理论，将正交多项式的三项递归公式转化为对阶数k的变系数微分方程，即讨论该离散线性时变系统的零输入响应，且利用矩阵的SVD分解，将原状态方程转变为由一个旋转矩阵与一个对角矩阵构造等效状态方程，基于李雅普诺夫定理，推导出两个新的不稳定判据。解决了三项递归公式的正交矩特征计算过程中，正交多项式发散造成的正交矩数值不稳定性问题，同时也寻找到影响经典Tchebichef与Krawtchouk多项式递归计算不稳定性的根本原因，为后续研究奠定了指导作用。

【技术实现步骤摘要】

本专利技术属于图像处理与模式识别领域，具体地属于一种图像正交矩数值稳定性分析方法。
技术介绍
正交矩作为图像分析与模式识别领域的一类重要技术手段，与经典几何矩相比，具有较多优势，如1)正交性：即理论上可以完美重建原始图像，因此在图像分析领域中，具有比几何矩更好的应用前景；2)不变性：即正交矩具有平移、旋转、尺度、伸缩等多畸不变性；3)低噪声敏感度：具有很强噪声抑制能力的矩才能更好地描述图像，正交矩的矩值对噪声不敏感，可以准确地描述图像特征。因此随着矩技术的发展及许多新的正交矩函数的提出，用正交矩进行图像处理得到了广泛的应用，如在图像重构中、图像检索中、图像压缩中和图像水印中等。正交矩的基函数一般为正交多项式，而正交多项式的结构复杂，计算量大，受计算机寄存器字长限制，极易产生数值溢出，尤其是正交多项式递归计算的数值传递误差中由三项递归公式计算产生的数值传递误差常常无法避免。随着多项式计算阶数的增加，多项式值的计算误差越来越大。由于没有一套严谨的数值误差稳定性评价体系，极大地限制了正交矩在大型图像模式识别与重构中的应用。目前的正交矩计算方法评价都是以少数试验验证，在什么条件下收敛，在什么条件下不收敛都不能确认，因此给技术人员带来较多业务上的麻烦。
技术实现思路
为解决上述技术问题，本专利技术的目的在于提供了一种图像正交矩数值稳定性分析方法。该分析方法利用矩阵的SVD分解，将原状态方程转变为由一个旋转矩阵与一个对角矩阵构造等效状态方程，基于李雅普诺夫定理，推导出两个新的不稳定性判据。从而寻找到影响经典离散正交矩Tchebichef与Krawtchouk多项式递归计算不稳定性的根本原因，为后续研究奠定了指导作用。本专利技术公开了一种图像正交矩数值稳定性分析方法，包括如下步骤：1)分析正交多项式三项递归公式不稳定性的原因；2)采用离散控制理论分析正交多项式三项递归公式的迭代稳定性：所述离散控制理论为李雅普诺夫稳定性定理，所述李雅普诺夫稳定性定理包含引理A，所述引理A包含对n阶离散线性时变系统渐近稳定性充分必要条件的判断，即所述n阶离散线性时变系统X(k)＝G(k)X(k-1)，对于任意一个给定的正定矩阵Q，如下的离散型矩阵Lyapunov方程：G(k)TN(k)G(k)-N(k-1)＝-Q(k)有唯一正定解矩阵N；3)对G(k)作SVD分解，满足如下公式：G(k)＝U(k)S(k)V(k)T；4)设定U(k)和V(k)为单位旋转矩阵，则n阶离散线性时变系统X(k)＝G(k)X(k-1)等量替换成X(k)＝U(k)S(k)V(k)TX(k-1)，将X(k)＝U(k)S(k)V(k)TX(k-1)展开得到如下公式：X(k)＝U(k)S(k)[V(k)TU(k-1)]S(k-1)[V(k-1)T...U(1)]S(1)V(1)TX(1)，定义：R(k)＝U(k)、R(k-1)＝V(k)TU(k-1)、Y(1)＝V(1)TX(1)、Y(k)＝X(k)，则，Y(k)＝R(k)S(k)R(k-1)S(k-1)...R(2)S(2)Y(1)，定义：D(k)＝R(k)S(k)，则，Y(k)＝D(k)D(k-1)......D(2)Y(1)，因此Y(k)＝D(k)Y(k-1)。进一步地，所述步骤4)中，所述R(k)为单位旋转矩阵，且满足如下公式：所述S(k)为对角阵，且满足如下公式：再进一步地，所述步骤4)中，所述R(k)以逆时针旋转角度为正，使向量i逆时针单位旋转θ(k)，θ(k)控制在[0,π]之间；所述S(k)中，σ1(k)≥σ2(k)＞0，σi为系统状态矩阵G(k)的正奇异值，i为1～r之间的正整数。更进一步地，所述步骤4)中，所述Y(k)＝D(k)Y(k-1)的渐近稳定性的充分必要条件满足：任意一个给定的正定矩阵P，有如下离散型矩阵Lyapunov方程：D(k+1)TF(k+1)D(k+1)-F(k)＝-Q(k+1)，有唯一正定解矩阵F。更进一步地，所述步骤4)中，定义Y(k)＝D(k)D(k-1)......D(2)Y(1)和Y(k)＝D(k)Y(k-1)为RS系统，所述RS系统单象限不稳定性判据为：对于二阶离散时变线性系统Y(k)＝D(k)Y(k-1)，在二维相平面y1-y2内，已知σ1(k)＞σ2(k)，σ2(k)＜1，当满足：0<θ(k)≤θmax(k)、0<κ2(k)<κ′(k)和且则所述RS系统单象限是不稳定的。更进一步地，所述步骤4)中，定义Y(k)＝D(k)Y(k-1)的离散时变线性系统为RS系统，所述RS系统两象限不稳定性判据为：对于二阶离散时变线性系统Y(k)＝D(k)Y(k-1)，在二维相平面y1-y2内，已知σ1(k)>σ2(k)，σ2(k)<1，π/2<θ(k)<π-η，当满足：θmin(k)≤θ(k)<π,、0>κ2(k)>κ′(k)，和其中η是一个极小的数值，则所述RS系统两象限是不稳定的。更进一步地，所述步骤3)中，所述G(k)为系统状态矩阵，所述S(k)为由系统状态矩阵G(k)唯一确定，所述U(k)和V(k)是非唯一酉矩阵，且SVD分解为奇异值分解。更进一步地，所述k为方程的阶数。本专利技术的分析方法的有益效果：本专利技术为寻找判定正交多项式三项递归计算稳定性的一般规律，基于离散控制理论，将正交多项式的三项递归公式转化为对阶数k的变系数微分方程，然后进一步的采取矩阵的SVD分解，将原状态方程转变为由一个旋转矩阵与一个对角矩阵构造的等效状态方程，并推导出两个不稳定性判据。解决了三项递归公式的正交矩特征计算过程中，正交多项式发散造成的正交矩数值不稳定性问题，同时也寻找到影响经典Tchebichef与Krawtchouk多项式递归计算不稳定性的根本原因，为后续研究奠定了指导作用。附图说明图1为系统状态矩阵G(k)中的旋转矩阵R(k)的旋转状态图示；图2为系统状态矩阵G(k)中的对角阵S(k)的旋转状态图示；图3为RS系统单象限在二维相平面y1-y2内不稳定情况图示；图4为RS系统两象限在二维相平面y1-y2内不稳定情况图示；图5为Legendre多项式迭代计算的相对误差随k变化图示；图6为Legendre多项式迭代计算的绝对误差随k变化图示；图7至图10为Tchebichef多项式相关参数图示；图11为Tchebichef多项式迭代计算的相对误差随k变化图示；图12为Tchebichef多项式迭代计算的绝对误差随k变化图示；图13、图14为Krawtchouk多项式相关参数图示；图15、图16为Krawtchouk多项式的对角阵S(k)变换前后模值对比函数图示；图17为Krawtchouk多项式迭代计算的相对误差随k变化图示；图18为Krawtchouk多项式迭代计算的绝对误差随k变化图示。具体实施方式为了更好地解释本专利技术，以下结合具体实施例进一步阐明本专利技术的主要内容，但本专利技术的内容不仅仅局限于以下实施例。实施例1本实施例公开了一种图像正交矩数值稳定性分析方法，包括如下步骤：(1)分析正交多项式三项递归公式不稳定性的原因；三项递归公式如下：Pk(x)＝Ak(x)Pk-1(x)-BK(x)Pk-2(x)＝(αkx-ωk)Pk-1(x)-γk本文档来自技高网...

【技术保护点】
一种图像正交矩数值稳定性分析方法，其特征在于：包括如下步骤：1)分析正交多项式三项递归公式不稳定性的原因；2)采用离散控制理论分析正交多项式三项递归公式的迭代稳定性：所述离散控制理论为李雅普诺夫稳定性定理，所述李雅普诺夫稳定性定理包含引理A，所述引理A包含对n阶离散线性时变系统渐近稳定性充分必要条件的判断，即所述n阶离散线性时变系统X(k)＝G(k)X(k‑1)，对于任意一个给定的正定矩阵Q，如下的离散型矩阵Lyapunov方程：G(k)TN(k)G(k)‑N(k‑1)＝‑Q(k)有唯一正定解矩阵N；3)对G(k)作SVD分解，满足如下公式：G(k)＝U(k)S(k)V(k)T；4)设定U(k)和V(k)为单位旋转矩阵，则n阶离散线性时变系统X(k)＝G(k)X(k‑1)等量替换成X(k)＝U(k)S(k)V(k)TX(k‑1)，将X(k)＝U(k)S(k)V(k)TX(k‑1)展开得到如下公式：X(k)＝U(k)S(k)[V(k)TU(k‑1)]S(k‑1)[V(k‑1)T…U(1)]S(1)V(1)TX(1)，定义：R(k)＝U(k)、R(k‑1)＝V(k)TU(k‑1)、Y(1)＝V(1)TX(1)、Y(k)＝X(k)，则，Y(k)＝R(k)S(k)R(k‑1)S(k‑1)…R(2)S(2)Y(1)，定义：D(k)＝R(k)S(k)，则，Y(k)＝D(k)D(k‑1)……D(2)Y(1)，因此Y(k)＝D(k)Y(k‑1)。...

【技术特征摘要】
1.一种图像正交矩数值稳定性分析方法，其特征在于：包括如下步骤：1)分析正交多项式三项递归公式不稳定性的原因；2)采用离散控制理论分析正交多项式三项递归公式的迭代稳定性：所述离散控制理论为李雅普诺夫稳定性定理，所述李雅普诺夫稳定性定理包含引理A，所述引理A包含对n阶离散线性时变系统渐近稳定性充分必要条件的判断，即所述n阶离散线性时变系统X(k)＝G(k)X(k-1)，对于任意一个给定的正定矩阵Q，如下的离散型矩阵Lyapunov方程：G(k)TN(k)G(k)-N(k-1)＝-Q(k)有唯一正定解矩阵N；3)对G(k)作SVD分解，满足如下公式：G(k)＝U(k)S(k)V(k)T；4)设定U(k)和V(k)为单位旋转矩阵，则n阶离散线性时变系统X(k)＝G(k)X(k-1)等量替换成X(k)＝U(k)S(k)V(k)TX(k-1)，将X(k)＝U(k)S(k)V(k)TX(k-1)展开得到如下公式：X(k)＝U(k)S(k)[V(k)TU(k-1)]S(k-1)[V(k-1)T…U(1)]S(1)V(1)TX(1)，定义：R(k)＝U(k)、R(k-1)＝V(k)TU(k-1)、Y(1)＝V(1)TX(1)、Y(k)＝X(k)，则，Y(k)＝R(k)S(k)R(k-1)S(k-1)…R(2)S(2)Y(1)，定义：D(k)＝R(k)S(k)，则，Y(k)＝D(k)D(k-1)……D(2)Y(1)，因此Y(k)＝D(k)Y(k-1)。2.根据权利要求1所述的图像正交矩数值稳定性分析方法，其特征在于：所述步骤4)中，所述R(k)为单位旋转矩阵，且满足如下公式：R(k)=cosθ(k)-sinθ(k)sinθ(k)cosθ(k);]]>所述S(k)为对角阵，且满足如下公式：S(k)=σ1(k)00σ2(k).]]>3.根据权利要求1或2所述的图像正交矩数值稳定性分析方法，其特征在于：所述步骤4)中，所述R(k)以逆时针旋转角度为正，使向量i逆时针单位旋转θ(k)，θ(k)控制在[0,π]之间；所述S(k)中，σ1(k)≥σ2(k)＞0，σi...

【专利技术属性】
技术研发人员：范秀香，陈卓，付波，刘济源，赵远阳，权轶，何莉，
申请(专利权)人：湖北工业大学，
类型：发明
国别省市：湖北;42