一种基于离散分数阶傅里叶变换相位信息的信号重建方法技术

本发明专利技术公开了一种仅仅通过离散分数阶傅里叶变换的相位信息来重建原始信号的方法，属于信号处理技术领域。本发明专利技术首先将信号重建问题转化为凸优化问题；然后，对原始信号进行离散分数阶傅里叶变换，并通过改变离散分数阶傅里叶变换的变换矩阵获得不同数目的相位信息；接着，将得到的相位信息进行存储或者传输；最后，利用块坐标下降法和内点法结合的幅度恢复算法，通过合适数目的相位信息将原始信号恢复出来，即重建原始信号。本发明专利技术方法利用相同数目下的相位信息包含的信息量大于幅度信息包含的信息量这一理论依据，实现了以较少数目的相位信息重建原始信号的目的。

【技术实现步骤摘要】
一种基于离散分数阶傅里叶变换相位信息的信号重建方法
本专利技术涉及一种仅仅通过离散分数阶傅里叶变换域的相位信息来重建原始信号的方法，属于信号处理

技术介绍
自然界中的场景都是三维的，然而照片和电脑屏幕显示的是伪三维的二维平面场景。天文图像检测和地震信号检测，获取的只是这些图像的傅里叶振幅信息，而观察不到希望得到的星云图像或地震反射序列信号。X射线晶体结构分析时，分子结构图中只有结构因子的绝对值大小。电子显微镜或光学显微镜确定物体结构时，相位信息也会明显丢失。然而相位信息中包含图像大量的信息，因此如何利用已知的幅度信息来恢复丢失的相位信息，进而重建图像，成为需要解决的问题。这个问题也被称为相位恢复问题，相应的解决方法我们称为相位恢复算法。一些情况下，图像长期暴露在大气环境或被带有圆形孔径的散焦镜头照射等情况，会使得期望获得的图像的傅里叶幅度被破坏，仅知道变换域的相位信息。因而又引出了利用变换域相位信息恢复幅度信息，最终重建图像的问题。这个问题我们称为幅度恢复问题，相应的解决方法我们称为幅度恢复算法。无论是相位恢复问题，还是幅度恢复问题，都属于信号重建。通常变换域的相位和幅度相互独立，仅从任何一项信息(相位或幅度)重建原始信号似乎是不可能的。然而，Hayes和Oppenheim证明了在某些条件下，上述信号重建问题是可以解决的。至今，国内外许多专家和学者已经提出了一些解决方法。相位恢复算法如1968年Schiske提出的系列像重构算法、1972年Gerchberg和Saxton提出的GS算法、1982年Fienup提出的ErrorReduction算法、1994年Schewchuk提出的ConjugateGradient算法、1994年Yang和Gu提出的Y-G算法，然而这些算法都是光学系统中由光波强度通过迭代得到相位信息，并重建图像的算法。尽管上述算法在某些特定的情况下可以较好的重构图像，但并不能总是得到一致的鲁棒的结果。幅度恢复算法包括1961年Srinivasan提出的直接法、1968年Goodman和Knight提出的统计算法、1980年Hayes和Oppenheim提出的迭代算法和闭形算法、1983年Levi和Stark提出的凸集投影算法和1992年Behar提出的已知部分相位的信号重建算法。2008年Gang和Orchard提出的基于几何模型估计的信号重建算法。2010年Loveimi等人通过最小二乘误差估计和重叠添加算法实现了语音信号的重建。2013年，Boufounos用标准凸优化和贪婪算法实现了信号的重建，理论和实验的结果都表明从相位信息精确重建原始信息是可能的。上述的这些算法已经被用于声学光学全息
、微电子
、语音信号处理领域和X射线晶体结构测量领域。然而，上述算法的先验条件都是针对原始信号，如信号具有稀疏特性，信号Z变换的零极点分布特性等。近年来，随着压缩感知、矩阵填充理论和凸优化技术的深入研究和发展，相位恢复问题再次被提出。2008年Candes等人仅通过变换域的幅度信息提出了基于矩阵填充理论的PhaseLift信号重建算法，该算法不仅将幅度的采集个数减少为nlogn，而且在噪声存在的条件下具有鲁棒性。随后，2012年Waldspurger提出了基于凸优化技术的PhaseCut算法，对音频信号处理的仿真结果表明该算法的特性优于PhaseLift算法。PhaseLift算法和PhaseCut算法并没有添加原始信号的先验信息，而是增加了变换矩阵A的维数。当变换矩阵的维数足够时，就可以解决相位恢复问题。对于先验信息添加在变换矩阵A的幅度恢复算法目前包括经典的Gerchberg-Saxton算法和贪婪算法。Gerchberg-Saxton算法：首先，找到一个合适的初始值，如X0＝diag(u)b。然后，逐个去优化变换域的每个元素，即从而得到较优的解XN。最后，重建原始信号贪婪算法：如权利要求书中所述将原始问题转化为其中b是待优化的变换域幅度，分项写下问题：这个问题的解为：优化b，首先随机一个初始值再利用式k＝1,...,N逐个优化幅度值。最后得到较优的解然而，上述的Gerchberg-Saxton算法和贪婪算法需要较多数目的相位信息才可以较好的重建原始信号，而且这两种算法求解的稳定性较差。为了解决这些问题，我们通过压缩感知和矩阵填充理论将幅度恢复问题重述为凸优化问题，利用凸优化技术推导出幅度恢复算法，并最终实现较少数目相位信息下的稳定的信号重建。
技术实现思路
专利技术目的：针对现有技术中存在的问题与不足，本专利技术提供一种基于离散分数阶傅里叶变换相位信息的信号重建方法，能够实现从相位信息恢复幅度信息并最终重建原始信号，解决已知任意信号离散分数阶变换域的相位信息来重建原始信号的问题。技术方案：一种基于离散分数阶傅里叶变换相位信息的信号重建方法，包括将信号重建问题转化为一个凸优化问题，并利用“幅度恢复算法”解决该问题，最终实现从离散分数阶傅里叶变换合适数目的相位信息到原始信号的重建，具体包括以下步骤：步骤A、大小为p的原始信号x，求解它的离散分数阶傅里叶变换；对于离散分数阶傅里叶变换，采用特征值和特征向量分解方法，可知Hamiltonian矩阵S为：当p为偶数时，可以将任意向量分解为奇偶两部分的矩阵P为：当p为奇数时，矩阵P为这里的Ir是r×r的单位矩阵(对角线上的值为1)，Jr是r×r的反单位矩阵(反对角线上的值为1)。可以看到矩阵P满足P＝PT＝P-1。步骤B、已知上述的矩阵S和P，计算PSPT，且矩阵PSPT是一个块对角矩阵，于是分块得到其中矩阵Ev和Od分别是矩阵PSPT的偶特征向量和奇特征向量。步骤C、对矩阵上述两个矩阵Ev和Od做特征值分解，结果为Ev＝VeΛeVeT和Od＝VoΛoVoT，其中，(Ev的特征值e1,...,ek组成的矩阵)，(Od的特征值o1,...,ok组成的矩阵)，(Ev的特征向量组成的矩阵)，(Od的特征向量组成的矩阵)。再分别对特征值做降序排列，并对对应的特征向量排列得到：这里的e2k[n]和e2k+1[n]是离散Hermite高斯矩阵，它是定义离散分数阶傅里叶变换的重要部分。步骤D、计算变换矩阵Fa，其中ek是步骤C中的离散Hermite高斯矩阵，是与k和a有关的指数函数，(p)2≡pmod2，即p除以2取余数。最后原始信号x的离散分数阶傅里叶变换为Xa＝Fax。令则步骤D中的变换矩阵Fa可以简化为Fa＝Ediag(Λ)aET，这里所需要的计算复杂度为Ο(p3)。为了减少计算复杂度，将离散分数阶傅里叶变换写做Xa＝Fax＝E(Λa(ETx))，这时的计算复杂度仅为Ο(p3)。步骤E、将原始信号重建问题转化为数学问题，如下所示：其中，x是大小为p的原始信号，是离散分数阶傅里叶变换矩阵，是指维数为n×p的复数矩阵，∠Ax是Ax的相位角，是变换域的相位信息。问题的目的就是找到一个合适的n使原始信号得以重建。步骤F、由于变换域的相位(维数为n的复数向量)和幅度(维数为n的实数向量)的乘积diag(u)b是完整的变换域信号，那么如果恢复优化幅度以至于满足Ax＝diag(u)b，那么这个优化后的幅度就是要求的最优解，从而精确重建原始信号。于是，(本文档来自技高网...

【技术保护点】
一种基于离散分数阶傅里叶变换相位信息的信号重建方法，其特征在于，将信号重建问题转化为一个凸优化问题，并利用“幅度恢复算法”解决该凸优化问题，最终实现从离散分数阶傅里叶变换相位信息到原始信号的重建。

【技术特征摘要】
1.一种基于离散分数阶傅里叶变换相位信息的信号重建方法，其特征在于，将信号重建问题转化为一个凸优化问题，并利用“幅度恢复算法”解决该凸优化问题，最终实现从离散分数阶傅里叶变换相位信息到原始信号的重建；离散分数阶傅里叶变换，具体包括以下步骤：步骤A、已知连续分数阶傅里叶变换的定义为：其中对于离散分数阶傅里叶变换的情况，需要求解Hamiltonian矩阵S和分解矩阵P′，Hamiltonian矩阵S为：其中p是原始信号x的大小，当p为偶数时，可以将任意向量分解为奇偶两部分的矩阵P′为：当p为奇数时，矩阵P′为这里的Ir是r×r的单位矩阵，Jr是r×r的反单位矩阵，即反对角线上的值为1；可以看到矩阵P′满足P′＝P′T＝P′-1；步骤B、已知上述的矩阵S和P′，计算P′SP′T，可知矩阵P′SP′T是一个块对角矩阵，于是分块得到其中矩阵Ev和Od分别是矩阵P′SP′T的偶特征向量矩阵和奇特征向量矩阵；步骤C、对上述两个矩阵Ev和Od进行特征值分解，结果为和其中，Ev的特征值e1,...,ek组成的矩阵，Od的特征值o1,...,ok组成的矩阵，Ev的特征向量组成的矩阵，Od的特征向量组成的矩阵；再分别对特征值做降序排列，并对对应的特征向量排列得到：这里的e2k[n]和e2k+1[n]是离散Hermite高斯矩阵，它是定义离散分数阶傅里叶变换的重要部分；步骤D、计算变换矩阵Fa，其中ek是步骤C中的离散Hermite高斯矩阵，是与k和a有关的指数函数，(p)2≡pmod2，即p除以2取余数；最后原始信号x的离散分数阶傅里叶变换为Xa＝Fax；令则步骤D中的变换矩阵Fa可以简化为Fa＝Ediag(Λ)aET，这里所需要的计算复杂度为O(p3)；为了减少计算复杂度，将离散分数阶傅里叶变换写做Xa＝Fax＝E(Λa(ETx))，这时的计算复杂度仅为O(p2)；当a＝1时，F1是标准的离散傅里叶变换矩阵。2.如权利要求1所述的基于离散分数阶傅里叶变换相位信息的信号重建方法，其特征在于，将原始问题转化为凸优化问题，凸优化问题转化的步骤为：步骤E、将原始信号重建问题转化为数学问题，如下所示：其中，x是大小为p的原始信号，A是离散分数阶傅里叶变换矩阵，是维数为n×p的复数矩阵，∠Ax是Ax的相位角，是变换域的相位信息,i＝1,...,n；问题的目的就是找到一个合适的n使原始信号得以重建；步骤F、由于变换域的相位和幅度的乘积diag(u)b是完整的变换域信号，u为维数为n的复数向量，b为维数为n的实数向量，那么如果恢复优化幅度以至于满足Ax＝diag(u)b，那么这个优化后的幅度就是要求的最优解，从而精确重建原始信号；于是，(1)可以转化为如下最小二乘问题；(2)中的x可以近似为即(2)可以转化为；进一步化简目标函数得：其中，(·)H是矩阵的共轭转置，是矩阵的伪逆；步骤G、若令(3)简化为；再令表示正对称矩阵，于是(4)化简为；(5)是一个非凸的秩约束问题，如果将秩约束放在后面考虑，那么可以近似认为其是凸约束问题，如下所示；minTr(BM),s.t.B≥0(6)为了将约束条件添加到目标函数中，这里采用了对数障碍约束，μ是小于1的约束系数，如下所示；minTr(BM)-μlogdet(B),μ＞0(7)然后再利用幅度恢复算法解决上述凸优化问题，进而重建原始信号。3.如...

【专利技术属性】
技术研发人员：刘洁媛，伍家松，韩旭，杨冠羽，杨淳沨，吴丹，舒华忠，
申请(专利权)人：东南大学，
类型：发明
国别省市：江苏;32