一种矩阵补全方法技术

一种矩阵补全方法，涉及基于低秩近似的高精度的矩阵补全方法，在实际应用中，如图像处理、商品推荐系统和磁共振波谱等领域经常需要获得大规模的数据。对大规模的数据进行采集需要消耗大量时间，一种方式是通过采集部分信号来加速数据采集。从这些数据的低秩特性出发来恢复出完整的信号，首先利用逼近函数来近似计算矩阵的秩，然后建立矩阵缺失信号的重建模型，最后通过迭代算法重建信号。重建的矩阵精度高，易于操作，可以从少量数据中恢复出完整信号。

A matrix completion method

A matrix completion method, involving a high precision matrix completion method based on low rank approximation, is often required to obtain large-scale data in practical applications, such as image processing, commodity recommendation systems and magnetic resonance spectroscopy. Large-scale data acquisition needs a lot of time. One way is to speed up data acquisition by collecting some signals. According to the low rank characteristic of these data, the complete signal can be recovered. Firstly, the rank of matrix can be approximated by approximation function, then the reconstruction model of missing matrix signal is established, and finally the signal is reconstructed by iterative algorithm. The reconstructed matrix is highly accurate and easy to operate, and can recover complete signals from a small number of data.

【技术实现步骤摘要】
一种矩阵补全方法
本专利技术涉及矩阵补全方法，尤其是涉及一种基于低秩近似的高精度的矩阵补全方法。
技术介绍
在许多实际应用中，如图像处理、商品推荐系统和磁共振波谱等，在实际的采样过程中，由于受到硬件、物理条件的限制，不得不加快采样速度，因此实际得到的数据并不完整或达不到预期的分辨率，需要重建采集到的数据中的丢失部分。特别是在高维应用领域，通常数据量非常大，全采样时间过于冗长，往往在测量时采用非均匀欠采样缩短采样时间，通过重建的方法得到完整的数据和预期的分辨率。利用这些数据自身或其采样向量转为的高维矩阵具有低秩特性，可以恢复出原始的矩阵。以磁共振波谱为例，它在化学分子结构分析领域有着重要的应用，但磁共振实验时间较长，从几分钟到几十天不等。这不但使实验耗费大量谱仪机时，而且增加了不稳定样品的实验难度，从而限制了高维核磁共振技术在研究中的应用。其时域信号符合指数函数特征，因此其信号转为的汉克尔矩阵具有低秩特性。为了缩短核磁共振实验时间，可以采用欠采样降低间接维采样点数。然而，欠采样容易造成谱峰重叠进而形成伪峰。为了获得高质量频谱，可以通过谱的自稀疏性对欠采样数据进行重建(XiaoboQu,XueCao,DiGuo,ZhongChen,"Compressedsensingforsparsemagneticresonancespectroscopy,"InternationalSocietyforMagneticResonanceinMedicine19thScientificMeeting.Stockholm,Sweden,pp.3371,2010.)；可以利用磁共振波谱时间域信号对应汉克尔矩阵的低秩性来实现重建(XiaoboQu,MaximMayzel,Jian-FengCai,ZhongChen,VladislavOrekhov."AcceleratedNMRspectroscopywithlow-rankreconstruction,"AngewandteChemieInternationalEdition,vol.54,no.3,pp.852-854,2015.)，但这些方法在采样率较低时效果不佳。
技术实现思路
本专利技术的目的在于提供一种高精度的矩阵补全方法。本专利技术包括以下步骤：1)利用逼近函数近似计算矩阵的秩；在步骤1)中，所述利用逼近函数近似计算矩阵的秩的具体方法可为：利用非凸函数可以近似矩阵X的秩，其中，σi(X)是矩阵X第i大的奇异值，φ被定义为：其中，参数a大于0。2)建立一种逼近矩阵秩的低秩重建模型：其中，为欠采样算子，Y为采集到的信号，X为待恢复矩阵，λ是平衡和的正则化参数，σi(X)表示矩阵X的第i个奇异值；3)提出基于非凸函数的低秩矩阵重建模型的求解算法；在步骤3)中，所述提出基于非凸函数的低秩矩阵重建模型的求解算法的具体方法可为：为求解式(2)中的低秩重建模型，引入中间变量Z，将模型松弛化如下：其中，β表示正则化参数，与λ共同权衡和三项的重要性；当β趋于无穷大时，式(3)的解将趋近式(2)的解，可以利用连续交替方向最小化方法，求解最优化问题式(3)；根据以下式(4)～(6)迭代更新变量：其中，下标k表示第k次的解，符号“-1”表示求矩阵的逆，上标H表示矩阵的共轭转置，I为单位阵，对矩阵Xk+1进行奇异值分解可以得到函数Θ(Σk+1；2a/β,a)定义为：Θ(Σk+1；β,a)＝min{Σk+1,max{(Σk+1-2a/β)/(1-2a2/β),0}}(6)式(3)中参数β和λ是正数，当达到迭代停止准则时，迭代停止；迭代停止准则设定为达到最大迭代次数或X在相邻两次迭代中的误差小于设置的阈值η(取值大于0)；当迭代停止时，可根据式(4)得到完整的矩阵。本专利技术在实际应用中，如图像处理、商品推荐系统和磁共振波谱等领域经常需要获得大规模的数据。对大规模的数据进行采集需要消耗大量时间，一种方式是通过采集部分信号来加速数据采集。本专利技术从这些数据的低秩特性出发来恢复出完整的信号，首先利用逼近函数来近似计算矩阵的秩，然后建立矩阵缺失信号的重建模型，最后通过迭代算法重建信号。该方法重建的矩阵精度高，易于操作，可以从少量数据中恢复出完整信号。附图说明图1是全采样的矩阵。图2是欠采样的矩阵。图3是本专利技术补全后的矩阵。具体实施方式下面通过具体实施例对本专利技术作进一步的说明，并给出重建结果。本实施例是一个重建二维矩阵的模拟实验，矩阵的行数和列数均为128，其秩为5。根据欠采样模板对矩阵进行欠采样，采样20％的数据，则本实施例中的矩阵数据点为16385点，采样率为20％时得到的总采样数据点数为3212点。具体步骤如下：1)生成低秩矩阵：生成秩为5的矩阵(如图1所示)，其行数和列数均为128。2)建立一种逼近矩阵秩的低秩重建模型：其中Y为采集到的信号(如图2所示)，有3212个点，X为待补全的矩阵，为欠采样算子，作用是使需要补全的完整矩阵X变换为欠采样矩阵Y。λ是平衡和的正则化参数，σi(X)表示矩阵X的第i个奇异值，φ被定义为其中参数a取值为0.5。3)提出基于非凸函数的低秩矩阵重建模型的求解算法：为求解(7)中的重建模型，将模型松弛化如下：其中，β表示正则化参数，与λ共同权衡和三项的重要性。当β趋于无穷大时，(9)的解将趋近(7)的解。可以利用连续交替方向最小化方法求解最优化问题(9)。引入中间变量Z，根据以下公式(10)～(12)迭代更新变量：下标k表示第k次的解，符号“-1”表示求矩阵的逆，上标H为矩阵的共轭转置，I为单位阵，对矩阵Xk+1进行奇异值分解可以得到函数Θ(Σk+1；2a/β,a)定义为Θ(Σk+1；β,a)＝min{Σk+1,max{(Σk+1-2a/β)/(1-2a2/β),0}}(12)当a越大，式(9)中的非凸性越强。通过不断更新β，使式(9)为凸函数的a范围越大。当β趋于无穷大时，式(9)的解将趋于公式(1)的解。令式(9)中λ＝104，初始值β1＝1，a1＝0.5,内层迭代达到停止准则时，内层迭代停止。内层迭代停止准则设定为达到最大迭代次数500次或X在相邻两次内层迭代中的误差小于设定的阈值10-5。内层迭代停止后，令β2＝2×β1，不断进行内层迭代,内层迭代停止后即更新βj+1＝2×βj和直到外层迭代达到停止准则时，求解结束。外层迭代停止准则设定为β达到最大值256或X在相邻两次外层迭代中的误差小于设定的阈值10-5。最后得到的X为重建的矩阵。4)数据后处理：对求解得到的矩阵(如图3所示)与作为参考的原始矩阵(如图1所示)做对比。计算两者误差，得到相对2范数误差为0.0382。利用采集到的部分数据和本专利技术的矩阵补全方法，可以重建得到高质量的矩阵。相对2范数误差被定义为其中x是欠采样补全后的矩阵，y是全采样矩阵。本文档来自技高网...

【技术保护点】
1.一种矩阵补全方法，其特征在于包括以下步骤：1)利用逼近函数近似计算矩阵的秩；2)建立一种逼近矩阵秩的低秩重建模型：

【技术特征摘要】
1.一种矩阵补全方法，其特征在于包括以下步骤：1)利用逼近函数近似计算矩阵的秩；2)建立一种逼近矩阵秩的低秩重建模型：其中，为欠采样算子，Y为采集到的信号，X为待恢复矩阵，λ是平衡2a和的正则化参数，σi(X)表示矩阵X的第i个奇异值；3)提出基于非凸函数的低秩矩阵重建模型的求解算法。2.如权利要求1所述一种矩阵补全方法，其特征在于在步骤1)中，所述利用逼近函数近似计算矩阵的秩的具体方法为：利用非凸函数近似矩阵X的秩，其中，σi(X)是矩阵X第i大的奇异值，φ被定义为：其中，参数a大于0。3.如权利要求1所述一种矩阵补全方法，其特征在于在步骤3)中，所述提出基于非凸函数的低秩矩阵重建模型的求解算法的具体方法为：为求解式(2)中的低秩重建模型，引入中...

【专利技术属性】
技术研发人员：屈小波，
申请(专利权)人：厦门大学，
类型：发明
国别省市：福建,35