【技术实现步骤摘要】
本专利技术属于工程设计和优化，特别是涉及一种物理信息神经网络求解时变偏微分方程的方法。
技术介绍
1、偏微分方程在各个学科和工程领域的应用，有助于解释复杂的自然现象，指导工程设计和优化，以及推动科学研究的进展。然而，传统的数值解法求解偏微分方程代价高，泛化性能差。随着人工智能的发展，人们发现神经网络能够对非线性关系进行建模和学习，通过多层神经元的组合和激活函数的非线性变换，神经网络可以捕捉到复杂的数据模式和特征，进而实现对偏微分方程问题的近似求解。
2、近几年，利用神经网络求解偏微分方程的技术蓬勃发展，进而提出了物理信息神经网络(pinn)机器学习技术，该技术可以利用偏微分方程的潜在物理性质，将其作为先验知识，编码到神经网络中进行训练，目标是使损失函数最小化来逼近偏微分方程的解。随着pinn技术的发展，进而提出了一系列的pinn的变体，如辅助物理信息神经网络、梯度增强物理信息神经网络、预训练物理信息神经网络、向后兼容物理信息神经网络等。pinn及其变体在求解navier-stokes方程、分数阶偏微分方程、微分积分方程、高维偏微分方程等取得了显著的成果。
3、尽管pinn成果显著，但是目前针对于pinn的研究要么只关注空间(残差配置点问题)，要么只关注时间问题。关注残差配置点忽略时间问题，可能导致在初始时刻不能很好的学习时变偏微分方程的解，那么在之后的时刻难以学习到准确的预测解。关注时间忽略残差配置点问题，可能导致残差配置点不足，难以学习到准确的预测解；残差配置点过多，占用大量的计算资源，影响计算效率等问
4、现有技术的缺点总结如下：
5、1.偏微分方程的传统数值解技术对网格的依赖性较强，较粗的网格导致精度较低，较细的网格增加计算量。并且该技术需要将连续的偏微分方程离散到网格或网格点上，进而会引入离散化误差，降低数值解的精度。
6、2.深度学习求解偏微分方程需要大量的标签数据，对于实际的工程应用中，获取具有准确解的大规模训练数据可能是困难和昂贵的，特别是在复杂的物理系统或高维问题中。
7、3.传统的物理信息神经网络求解时变偏微分方程时，求解的时间域越长，所需要的残差配置点越多，较多的残差配置点降低了求解效率，并对计算机的性能提出了更高的要求。更重要的是，探究出适宜的残差配置点求解时变偏微分方程是一件繁琐且需要时间成本的事。
技术实现思路
1、本专利技术的目的在于针对现有技术的不足，提出一种物理信息神经网络求解时变偏微分方程的方法，该方法主要将整个时间求解域等分成若干分，每次预求解一个时间段，并将求解结果作为下次和再次训练的标签数据。该方法先化整为零，利用上个时间段的求解结果，为下个时间段的求解提供监督学习的数据。再化零为整，将每个时间段上的求解结果作为整个时间域的监督学习数据。该方法主要用于解决以下问题：
2、(1)通过将时变偏微分方程的整个时间域进行若干等分，有效的降低了残差配置点的需求，节约了计算资源。
3、(2)将当前时间段的求解结果，作为下一时间段的标签数据，进行监督学习训练，以步进的形式获取时变偏微分方程在整个时空域上的标签数据，极大的降低了标签数据的获取难度。
4、(3)将所有时间段的求解结果作为标签数据进行再次训练，一方面提高了求解精度，另一方面降低残差配置点的数量需求。
5、本专利技术为了实现上述目的，采用的技术方案如下：
6、一种物理信息神经网络求解时变偏微分方程的方法，包括步进式预求解物理信息神经网络和再训练物理信息神经网络架构构成；
7、步进式预求解物理信息神经网络，将时变偏微分方程的整个时间求解域t，进行n等分，每次只求解一个等分时间段，依次向后求解，具体等分形式为：
8、
9、式中：j(j＝1,2,3,...,n)代表要求的某个时间段，t表示所求解的某个时刻；所述再训练物理信息神经网络架构，将步进式预求解物理信息神经网络预求解结果{u}作为再次训练的标签数据，进行监督学习，再次训练物理信息神经网络，求解整个时域上的时变偏微分方程的解，再次训练的预测结果{u}对应的数据集为{x,t}＝{x1,t1}∪{x2,t2}∪···∪{xn,tn}，其中{x,t}代表所有数据集的合集，{xj,tj},j＝1,2,...,n代表每一个时间段的数据集。
10、进一步地，步进式预求解物理信息神经网络训练的第一个等分时间段t1的初始条件为时变偏微分方程在t＝0时的数据，通过计算求得。该时间段的边界条件由求解时变偏微分方程的性质给出，如诺伊曼边界条件和狄利克雷边界条件，残差配置点为nf，依此求解第一个等分时间段的预测结果u1。
11、进一步地，将第一个等分时间段预测结果u1进行保存，作为第二个时间段t2的初始条件(标签数据)，残差配置点为nf，求解预测结果u3并将结果进行保存，如此循环求解n，直至最后一个等分时间段tn的预测结果un求出并保存为{u}＝{u1}∪{u2}∪···∪{un}。其中，{u}代表所有等分时间段模型输出结果的集合，{uj},j＝1,2,3,...,n代表每一个时间段模型的输出结果。
12、进一步地，步进式预求解物理信息神经网络训练求解每一个时间段的均方差损失函数的通式为分别代表求解j+1时间域的初始条件、边界条件、残差配置点、以及三者之和的均方差损失函数。
13、进一步地，步进式预求解物理信息神经网络训练求解每一个时间段的初始条件(标签数据)损失函数的通式为是j时间段求解的数据集，也是j+1时间段初始条件的训练数据集，是j+1时间段的训练输出，是j时间段求预测结果，即为j时间段的初始条件。
14、进一步地，步进式预求解物理信息神经网络训练求解每一个时间段的边界条件损失函数的通式为是第j+1时间段边界条件的训练数据集，是第j+1时间段边界条件训练输出，是第j+1时间段边界条件。
15、进一步地，步进式预求解物理信息神经网络训练求解每一个时间段的残差配置点损失函数的通式为是第j+1时间段配置点的训练数据集，是第j+1时间段残差配置点的输出。
16、进一步地，再训练物理信息神经网络架构的初始条件为时变偏微分方程在t＝0时的数据，通过计算求得，边界条件为整个求解时间域的边界条件，由求解时变偏微分方程的性质给出，如诺伊曼边界条件和狄利克雷边界条件。
17、本专利技术的有益效果如下：
18、1.本专利技术所提供的基于物理信息神经网络求解时变偏微分方程的方法，是一种将时间域进行分割切片处理的方法，这样处理使物理信息神经网络能够在较短的时间求解域，使用较少的残差配置点，以较高的求解精度求解时变偏微分方程。
19、2.本专利技术通过将整个时间求解域进行分割切片处理，有效的保证了物理信息神经网络在初始时刻的求解精度，并利用当前时间段的预测结果作为下个时间段的标签数据，进行监督学习，极大的提高了时变偏微分方程的求解精度。
20、本文档来自技高网...
【技术保护点】
1.一种物理信息神经网络求解时变偏微分方程的方法，其特征在于，包括步进式预求解物理信息神经网络和再训练物理信息神经网络架构构成；
2.根据权利要求1所述的一种物理信息神经网络求解时变偏微分方程的方法，其特征在于，所述步进式预求解物理信息神经网络训练的第一个等分时间段T1的初始条件为时变偏微分方程在t＝0时的数据，通过计算求得，该时间段的边界条件由求解时变偏微分方程的性质给出，如诺伊曼边界条件和狄利克雷边界条件，残差配置点为Nf，依此求解第一个等分时间段的预测结果u1。
3.根据权利要求2所述的一种物理信息神经网络求解时变偏微分方程的方法，其特征在于，所述步进式预求解物理信息神经网络训练，将第一个等分时间段预测结果u1进行保存，作为第二个时间段T2的初始条件，残差配置点为Nf，求解预测结果u3并将结果进行保存，如此循环求解n，直至最后一个等分时间段Tn的预测结果un求出并保存为{u}＝{u1}∪{u2}∪···∪{un}，其中，{u}代表所有等分时间段模型输出结果的集合，{uj},j＝1,2,3,...,n代表每一个时间段模型的输出结果。
4.根
5.根据权利要求4所述的一种物理信息神经网络求解时变偏微分方程的方法，其特征在于，所述步进式预求解物理信息神经网络训练求解每一个时间段的初始条件损失函数的通式为是j时间段求解的数据集，也是j+1时间段初始条件的训练数据集，是j+1时间段的训练输出，是j时间段求预测结果，即为j时间段的初始条件。
6.根据权利要求4所述的一种物理信息神经网络求解时变偏微分方程的方法，其特征在于，所述步进式预求解物理信息神经网络训练求解每一个时间段的边界条件损失函数的通式为是第j+1时间段边界条件的训练数据集，是第j+1时间段边界条件训练输出，是第j+1时间段边界条件。
7.根据权利要求4所述的一种物理信息神经网络求解时变偏微分方程的方法，其特征在于，所述步进式预求解物理信息神经网络训练求解每一个时间段的残差配置点损失函数的通式为是第j+1时间段配置点的训练数据集，是第j+1时间段残差配置点的输出。
8.根据权利要求1所述的一种物理信息神经网络求解时变偏微分方程的方法，其特征在于，所述再训练物理信息神经网络架构，初始条件为时变偏微分方程在t＝0时的数据，通过计算求得，边界条件为整个求解时间域的边界条件，由求解时变偏微分方程的性质给出，如诺伊曼边界条件和狄利克雷边界条件。
...【技术特征摘要】
1.一种物理信息神经网络求解时变偏微分方程的方法，其特征在于，包括步进式预求解物理信息神经网络和再训练物理信息神经网络架构构成；
2.根据权利要求1所述的一种物理信息神经网络求解时变偏微分方程的方法，其特征在于，所述步进式预求解物理信息神经网络训练的第一个等分时间段t1的初始条件为时变偏微分方程在t＝0时的数据，通过计算求得，该时间段的边界条件由求解时变偏微分方程的性质给出，如诺伊曼边界条件和狄利克雷边界条件，残差配置点为nf，依此求解第一个等分时间段的预测结果u1。
3.根据权利要求2所述的一种物理信息神经网络求解时变偏微分方程的方法，其特征在于，所述步进式预求解物理信息神经网络训练，将第一个等分时间段预测结果u1进行保存，作为第二个时间段t2的初始条件，残差配置点为nf，求解预测结果u3并将结果进行保存，如此循环求解n，直至最后一个等分时间段tn的预测结果un求出并保存为{u}＝{u1}∪{u2}∪···∪{un}，其中，{u}代表所有等分时间段模型输出结果的集合，{uj},j＝1,2,3,...,n代表每一个时间段模型的输出结果。
4.根据权利要求2或3所述的一种物理信息神经网络求解时变偏微分方程的方法，其特征在于，所述步进式预求解物理信息神经网络训练求解每一个时间段的均方差损失函数的通式为其中msej+1分别代表求解j+1...
【专利技术属性】
技术研发人员：张丹，高雷，陈耀然，张翔宇，周熙，彭艳，
申请(专利权)人：上海大学，
类型：发明
国别省市：
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