【技术实现步骤摘要】
一种数学题目及其解答过程的生成方法
[0001]本专利技术涉及电子信息
，具体涉及一种数学题目及其解答过程的生成方法
。
技术介绍
[0002]随着认知理论与心理计量学技术在心理与教育测量学上的不断尝试与应用，一些由理论驱动的测量模式已经在计算机自动化题目生成上表现出了非常不错的效果
。
计算机自动化题目生成作为一种以题目认知加工理论为基础的原则性题目设计模式，将理论驱动的测量模式融入计算机化题目生成，通过理论分析和实证研究，建立测验建构的内在表征与测验题目之间的对应关系，能够更深入地挖掘在被试的作答反应模式下提供的更丰富的信息，进而详细说明被试者表现的潜在认知基础，更为准确地提供后继决策和干预措施
。
[0003]心理与教育测量模型的融合，给计算机自动化题目生成带来了许多优良的性质与强劲活力
。
利用这些优良性质，可以建设起大型优质题库，并可以按测验精度目标编制各种计算机化自适应测验
。
但是获得这些优良性质必须解决测量模型中的一个基础问题，即参...
【技术保护点】
【技术特征摘要】
1.
一种数学题目及其解答过程的生成方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤
1、
量化分析数学题目的特征，得到包含数学题目所属章节与题目特征的数据集；步骤
1.1、
将已有数学题目按照章节进行分类，综合分析被试者对每个章节数学题目的认知加工过程，并人工标定影响每个认知加工过程的数学题目刺激特征，将所有标定的刺激特征组合起来，构成该章节数学题目刺激特征集合，记为，应用统计学方法量化分析刺激特征集合对被试者作答反应的显著性程度，得到二元组；其中，表示数学题目的章节信息，，表示第个章节的信息，，为人工预设的数学章节的数量，，表示数学题目所属章节名
,
表示该章节知识点对应数学题目的关键数量特征；表示数学题目的刺激特征集合，，为第类数学题目刺激特征；当个章节数学题目的刺激特征都不同时，则，即每个刺激特征对应一个章节；否则，为所划分出来的不同数学题目刺激特征的类别数，当存在部分章节数学题目的刺激特征相同时，，为个章节的数学题目所包含的第个刺激特征，为具有相同刺激特征的章节号；步骤
1.2、
使用经步骤
1.1
量化分析后得到的数学题目特征二元组构成所述包含数学题目所属章节与题目特征的数据集；步骤
2、
基于矩阵初等变换构建用于数学题目及其解答过程生成的框架和一般化数学模型；步骤
3、
根据步骤2中构建的数学题目及其解答过程生成框架和模型，综合步骤1中所得包含数学题目所属章节与题目特征的数据集，设计生成数学题目及其解答过程的算法；步骤
4、
根据步骤3中所设计的数学题目及其解答过程生成算法，输入数学题目的测量内容
、
考查知识和相关特征参数，输出数学题目及其详细解答过程；步骤
5、
量化分析步骤4中输出的数学题目难度和相关测量学指标，评价所生成数学题目的质量
。2.
根据权利要求1所述的一种数学题目及其解答过程的生成方法，其特征在于，步骤
1.1
中所述应用统计学方法量化分析刺激特征对被试者作答反应的显著性程度，得到二元组，具体包括以下步骤：步骤
1.11、
人工按照数学章节对已有数学题目进行分类，记为，，根据每个章节知识点，分别选取若干影响被试者作答的刺激特征，记为，，；表示每个章节中未经统计检验的数学题目刺激特征；在中，与的每个元素为一对一的关系；步骤
1.12、
根据步骤
1.11
中对章节的分类结果，从每个章节已有数学题目中选取道
题构成试题集，每个试题集只包含一个章节的数学题目，记录每道数学题目中每个刺激特征对应的数值，即在求解该数学题目时对相应刺激特征所需操作的次数，将试题集分发给名被试者进行作答；步骤
1.13、
收集被试者的作答情况，对名被试者在同一章节下每道数学题目的作答结果求平均，作为该数学题目的被试者作答观测值，记为；；其中，表示在第个章节下第名被试者对第道数学题目的作答结果，表示在第个章节下的第道数学题目的被试作答观测值；步骤
1.14、
构建关于题号
、
题目刺激特征
、
作答结果的观测数据表；其中数据表的每一行表示一道数学题目，每一列表示该道数学题目的若干特征信息；步骤
1.15、
收集组观测数据表，构造与的关联模型；假定因变量与自变量线性相关，则收集到的组观测数据，，满足以下关联模型：；记；；将上述关联模型用矩阵形式表示，则有：；其中，是可观测的随机变量，是不可观测的随机变量，是题目特征矩阵，
、
是未知参数，并设，且；步骤
1.16、
估计不同特征对被试者作答结果的权重向量；在上述关联模型中，权重的估计量，使得误差平方和达到最小，即：；
其中，；设，求阶线性方程组：的解；所得结果即是参数向量的估计量，记为，其表达式为：；步骤
1.17、
对求解出的第个章节的被试者作答观测值与该章节下个数学题目刺激特征关联模型进行显著性检验：对第个章节，的观测数据阵，具有恒等关系：；其中，，，；体现了的观测值的总波动大小，记作；体现了个估计值的波动大小，记作；为残差平方和，记作；由此得出的符号化表达就为：；对关联模型的显著性检验就是检验以下假设是否成立：；在步骤
1.15
推导出的关联模型的矩阵形式下有：；；其中，与相互独立；
当成立时，；由此能够得出为假设构造检验统计量为：；在成立时，检验统计量；利用组观测数据，计算检验统计量的值，记为；显著性概率，记为；值是指在下，利用的分布规律，计算出检验统计量大于等于的概率；若得出的值小于显著性水平，则依统计思想，小概率事件在一次实践中一般不会发生，据此能够得出个数学题目刺激特征构成的整体对被试者作答反应的显著性程度；步骤
1.18、
对第个章节选出的个数学题目刺激特征的权值进行显著性检验：根据第个章节选出的个数学题目刺激特征，构造原假设为：；构造检验以上假设的检验统计量：设为对的回归平方和；为去掉后余下的个自变量对的回归平方和；则，其中为变量的偏回归平方和，则的计算公式为：；其中，为的第个对角元素，是中心化后的数学题目刺激特征；检验的检验统计量计算公式为：；已知，而；又已知：；所以有：；在成立时，，即，且与相互独立，所以构造的检验统计量为：；给定显著性水平，由样本观测数据计算
、
及检验统计量的值，记为，并计算显著性概率值，；若，否定，即认为对的作用是显著
的，据此能够具体得出每个刺激特征对被试者作答反应的影响程度；步骤
1.19、
根据步骤
1.18
中计算出的个数学题目刺激特征的显著性水平，剔除在显著性水平下对作用不显著的变量；经过对个变量逐个做检验后，若个变量在给定的显著性水平下对的作用都是显著的，即认为步骤
1.11
中提取的第个章节的数学题目刺激特征对被试者作答结果的影响是显著的；若有不显著变量，则每次剔除一个，然后由余下的变量和重复步骤
1.15~
步骤
1.19
，然后再逐个检验，直至模型中的变量都是显著的为止；步骤
1.20、
将步骤
1.19
分析得到的第个章节的最优数学题目刺激特征按照如下关系加入数学题目刺激特征集：；当时，表示第个章节数学题目的刺激特征未和前个章节的重复，则将加入数学题目刺激特征集，并建立章节与数学题目刺激特征的联系；当时，则表示第个章节的数学题目刺激特征存在于数学题目刺激特征集合，此时无需再将加入集合，建立章节与数学题目刺激特征的联系；步骤
1.21、
遍历完步骤
1.11
构建的，每个执行步骤
1.12~
步骤
1.20
，就得到了经过量化分析后的，其中，，此时与的对应关系为一对多，即一个数学题目刺激特征能够对应多个章节，但一个章节只能对应一个数学题目刺激特征；该二元组包含了数学题目所属章节以及刺激特征
。3.
根据权利要求1所述的一种数学题目及其解答过程的生成方法，其特征在于，步骤2中所述构建用于数学题目及其解答过程生成的框架和一般化数学模型，包括以下步骤：步骤
2.1、
对于待生成的第章的题目，综合数学题目刺激特征以及相应的数量特征，构造系数矩阵，记为；其中为行阶梯形矩阵，表示该数学题目包含个方程和个未知量；生成随机矩阵，其中的取值与章节所涉及知识点相关；将系数矩阵与随机矩阵进行水平连接运算，得到初始数学题目；初始数学题目是指在问题推理过程中，推导出的最后一个步骤，即根据该步骤就可得到所求；可表示为：；其中，表示矩阵的水平连接运算，表示将系数矩阵和随机矩阵按行进行连接，计算后的结果可表示为：
；步骤
2.2、
根据矩阵的初等变换，按照数学题目刺激特征决定的步骤数，定义数学题目变换规则，构造变换步骤；步骤
2.21、
定义初始数学题目的变换规则；在矩阵计算类题目中，变换规则更侧重于对变换顺序的规定；于是对于矩阵推理类题目，普遍按照以下顺序将初始题目矩阵进行变换：初始数学题目矩阵；对的上三角矩阵元素按照以下步骤进行变换：第一步用将变为非零，记为；第二步用将变为非零，记为；第三步用将变为非零，记为；以此类推，第步为用将变为非零，记为；对的下三角矩阵元素按照以下步骤进行变换：第一步用将变为非零，记为；第二步用将变为非零，记为；第三步用将变为非零，记为；以此类推，第步为用将变为非零，记为；上述变换步骤中的表达式为：；上述表达式表示将第行的元素减去第行元素的倍作为倍加变换后的第行的元素；上述对初始数学题目矩阵的上下三角矩阵元素进行变换的次数为：；步骤
2.22、
从步骤
2.21
所述的步上三角矩阵元素变换步骤中随机选择步，然后对选出的步按照步骤序号进行升序排列，排列后的变换步骤的数学表达式为：；其中，表示对单位矩阵进行初等行变换，即将单位矩阵的第行减去第行的倍作为第行的元素；，表示先对单位矩阵进行变换，然后再将变换后的结果进行变换；步骤
2.23、
从步骤
2.21
所述的步下三角矩阵元素变换步骤中随机选择步，然后对选出的步按照步骤序号进行升序排列，排列后的变换步骤的数学表达式为：；步骤
2.24、
构造变换步骤；整合步骤
2.22
和步骤
2.23
，按照先进行上三角变换，即先进
行变换；再进行下三角变换，即后进行变换的顺序，对步骤
2.1
构造的初始数学题目进行变换；将变换步骤记为，就可表示为：；步骤
2.3、
对变换步骤进行验证；步骤
2.4、
整合步骤
2.1
构造的初始数学题目和步骤
2.24
构造的变换步骤，得出生成原始数学题目的一般化数学模型；的表达式为：；其中，为的矩阵，为的矩阵，经过得到的原始数学题目为的矩阵；根据章节所涉及知识点的提问方式，将得到的原始数学题目矩阵按照形式进行编码，存入题库数据表；步骤
2.5、
逆序遍历步骤
2.2
所述的数学题目变换规则，生成数学题目解答步骤，记为；按照章节的数学题目解答步骤形式，对每个变换步骤进行编码，存入解答步骤数据表
。4.
根据权利要求3所述的一种数学题目及其解答过程的生成方法，其特征在于，步骤
2.3
中所述对变换步骤进行验证，具体包括以下步骤：步骤
2.31、
对于步骤
2.24
构造出的变换步骤，做出如下约束：上三角变换的步和下三角变换的步变换之和加1等于数学题目刺激特征规定的步，即；步骤
2.32、
由步骤
2.24
得出的变换步骤，共包含了前面个步骤，最后1个步骤就需要根据约束条件决定是否将倍乘或交换变换加入到变换步骤中，约束条件为：初始数学题目经过步骤
2.24
所述的个倍加变换，记为；如果中的第一行第一列元素为
‑1或1，并且第行第一列元素，，满足时，变换步骤的最后一步就为交换，即将矩阵的第1行和第行进行交换，记为；的表达式为：；否则，当不...
【专利技术属性】
技术研发人员：崔玮霖，汪文义，宋丽红，沈艺涵，
申请(专利权)人：江西师范大学，
类型：发明
国别省市：
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