基于人工神经网络的有限元数值模拟后验误差估计方法技术

本发明专利技术涉及有限元数值解的后验误差估计方法，具体涉及一种基于人工神经网络的静电场泊松方程有限元数值模拟后验误差估计方法，用于解决现有静电场泊松方程有限元数值解后验误差估计方法针对不同有限元网格类型，需要从方法上做不同的方法设计，导致算法和程序的复杂度较高的不足之处。本发明专利技术根据静电场泊松方程采用pytorch软件包构建神经网络模型，通过神经网络模型完成神经网络训练后，即可用于估计不同网格下有限元数值解的后验误差，而不需要重新训练神经网络。特别是将后验误差仅用于网格自适应算法的情况，与经典后验误差估计方法相比，本发明专利技术由于省去了构造后验误差的过程，从而节省了计算量。从而节省了计算量。从而节省了计算量。

【技术实现步骤摘要】
基于人工神经网络的有限元数值模拟后验误差估计方法


[0001]本专利技术涉及有限元数值解的后验误差估计方法，具体涉及一种基于人工神经网络的静电场泊松方程有限元数值模拟后验误差估计方法。

技术介绍

[0002]有限元方法是当前数值模拟技术中一种重要的方法，其在物理和工程上的偏微分方程数值求解中发挥着重要作用。有限元方法的基本思想是对计算区域进行网格剖分，在每个网格上构造一个分片函数(多项式)，然后结合变分原理求解得到物理问题的数学模型(通常表现为一组偏微分方程及初边值条件)的近似解，其实质是用有限维空间的离散解来逼近无穷维空间的连续解。由于有限元方法本质上是对物理模型的近似求解，因此近似解必然存在一定的误差(与数学模型的真解存在一定的差异)。误差的大小，决定了有限元数值解的可靠性和应用价值。对于静电场问题，当采用有限元方法求解其泊松方程时，所求得的数值解的准确性对于静电场问题分析具有重要影响。有限元后验误差估计方法能够量化评价泊松方程有限元数值解的准确性，从而为静电场问题分析结果的正确性提供支撑。
[0003]随着有限元方法理论的不断发展，逐渐建立了有限元方法的后验误差估计理论，并产生了多种后验误差估计方法，包括残量型估计、局部问题辅助型估计、分级型估计、重构型估计等。有限元后验误差估计方法能够对有限元数值解的误差给出量化估计，从而能够用于量化评价数值解的准确性。但是上述的后验误差估计方法，针对不同有限元网格类型，需要从方法上做不同的方法设计，从算法和程序两个方面来看都较为复杂。

技术实现思路

[0004]本专利技术的目的是解决现有静电场泊松方程有限元数值解后验误差估计方法针对不同有限元网格类型，需要从方法上做不同的方法设计，导致算法和程序的复杂度较高的不足之处，而提供一种基于人工神经网络的有限元数值模拟后验误差估计方法。
[0005]为了解决上述现有技术所存在的不足之处，本专利技术提供了如下技术解决方案：
[0006]一种基于人工神经网络的有限元数值模拟后验误差估计方法，其特殊之处在于，包括如下步骤：
[0007]步骤1、在静电场的分析区域Ω计算有限元数值解；
[0008]步骤1.1、确定静电场的分析区域Ω并测量，然后测定分析区域的电荷密度、分析区域边界处的电势值；建立静电场泊松方程
[0009]步骤1.2、应用有限元方法求解静电场泊松方程；
[0010]将静电场泊松方程的分析区域Ω作为计算区域Ω进行剖分得到网格单元K的集合T
h
，定义其表示在集合T
h
中任意单元K上的次数不超过K的多项式函数空间，则在函数空间V
h
中存在有限元数值解u
h
，使得u
h
满足方程其中其中
[0011]其中，u为未知电势函数，v为多项式函数，L2(Ω)为在Ω内所有平方可积的函数组成的函数空间，为Sobolev空间，表示电荷密度，ε0＝8.854
×
10
‑
12
F/m表示介电常数，(
·
,
·
)表示函数内积；
[0012]步骤2、构建神经网络模型；
[0013]在步骤1所确定的计算区域Ω的内部和边界上取点，记为其中d表示区域Ω的维数；N是所取的点数目；
[0014]采用pytorch软件包构建神经网络模型，所述神经网络模型的第一层为输入层，输入层的输入数据为输入层的维数为d；神经网络模型的最后一层为输出层，输出层的维数为d；输入层和输出层之间设置有L个隐藏层，各隐藏层有m
l
个神经元，l＝1,2,
…
,L；
[0015]根据各隐藏层的神经元间的连接权重和每个神经元的激活水平计算各隐藏层的神经元输出；
[0016]步骤3、根据泊松方程及其有限元数值解定义神经网络模型的损失函数，通过pytorch软件包采用随机梯度下降算法训练神经网络模型；
[0017]步骤4、通过步骤3所得的神经网络模型计算泊松方程有限元数值解在区域Ω上的后验误差。
[0018]进一步地，步骤2中，所述神经网络模型的第l个隐藏层的神经元输出为：
[0019]当l＝1，
[0020]其中，为第1个隐藏层中第k个神经元输出，是输入层第i2个输入到第1个隐藏层的第k个神经元的连接权重，是第1个隐藏层中第k个神经元的激活水平，m1为第1个隐藏层的神经元个数；神经元激活函数元个数；神经元激活函数
[0021]当l＝2,
…
,L，
[0022]其中，为第l隐藏层的第k个神经元输出，为第l
‑
1隐藏层中第i2个神经元输出，是第l
‑
1个隐藏层中第o2个神经元输出到第l个隐藏层的第k个神经元的连接权重，是第l个隐藏层中第k个神经元的激活水平，m
l
为第l个隐藏层的神经元个数；
[0023]输出层的神经元输出为：
[0024][0025]其中，是第L隐藏层中第i2个神经元输出到输出层第k个神经元的连接权重，
是输出层第k个神经元的激活水平。
[0026]进一步地，步骤3中，所述神经网络模型的损失函数为：
[0027][0028]其中，β1和β2是两个权重系数；Net(X)为神经网络模型；u
h
表示有限元数值解；是有限元数值解的梯度；f(X)表示泊松方程的右端项；是的散度；采用数值积分的方法计算
[0029]进一步地，所述步骤4具体为：
[0030][0031][0032]其中，∈
K
为有限元数值解在每个网格上的局部误差，∈是有限元数值解在区域Ω上的后验误差；
[0033]有限元数值解u
h
和未知真解u的能量误差有下式成立：
[0034][0035]是未知真解u的梯度。
[0036]进一步地，步骤2中，所述取点的规则可以是随机取点，也可以是对区域Ω进行网格剖分，获得的结构网格或非结构网格的节点，用于保证所取节点对区域Ω的内部和边界都具有代表性。
[0037]与现有技术相比，本专利技术的有益效果是：
[0038](1)本专利技术一种基于人工神经网络的有限元数值模拟后验误差估计方法根据静电场泊松方程采用pytorch软件包构建神经网络模型，通过神经网络模型完成神经网络训练后，即可用于估计不同网格下有限元数值解的后验误差，而不需要重新训练神经网络。特别是将后验误差仅用于网格自适应算法的情况，与经典后验误差估计方法相比，本专利技术由于省去了构造后验误差的过程，从而节省了计算量；
[0039]根据本专利技术给出的后验误差结果，结合可接受的误差限，可以确定是否需要进一步加密网格重新进行静电场泊松方程有限元分析计算过程，进而提高静电场泊松方程的求解精度；此外，可以将本专利技术给出的后验误差结果用于静电场泊松方程有限元自适应分析中网格自适应算法中的网格指示子。
[0040本文档来自技高网...

【技术保护点】

【技术特征摘要】
1.一种基于人工神经网络的有限元数值模拟后验误差估计方法，其特征在于，包括如下步骤：步骤1、在静电场的分析区域Ω计算有限元数值解；步骤1.1、确定静电场的分析区域Ω并测量，然后测定分析区域的电荷密度、分析区域边界处的电势值；建立静电场泊松方程步骤1.2、应用有限元方法求解静电场泊松方程；将静电场泊松方程的分析区域Ω作为计算区域Ω进行剖分得到网格单元K的集合T
h
，定义其表示在集合T
h
中任意单元K上的次数不超过K的多项式函数空间，则在函数空间V
h
中存在有限元数值解u
h
，使得u
h
满足方程其中其中其中，u为未知电势函数，v为多项式函数，L2(Ω)为在Ω内所有平方可积的函数组成的函数空间，为Sobolev空间，表示电荷密度，ε0＝8.854
×
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F/m表示介电常数，(
·
,
·
)表示函数内积；步骤2、构建神经网络模型；在步骤1所确定的计算区域Ω的内部和边界上取点，记为其中d表示区域Ω的维数；N是所取的点数目；采用pytorch软件包构建神经网络模型，所述神经网络模型的第一层为输入层，输入层的输入数据为输入层的维数为d；神经网络模型的最后一层为输出层，输出层的维数为d；输入层和输出层之间设置有L个隐藏层，各隐藏层有m
l
个神经元，l＝1,2,
…
,L；根据各隐藏层的神经元间的连接权重和每个神经元的激活水平计算各隐藏层的神经元输出；步骤3、根据泊松方程及其有限元数值解定义神经网络模型的损失函数，通过pytorch软件包采用随机梯度下降算法训练神经网络模型；步骤4、通过步骤3所得的神经网络模型计算泊松方程有限元数值解在区域Ω上的后验误差。2.根据权利要求1所述的基于人工神经网络的有限元数值模...

【专利技术属性】
技术研发人员：韩峰，刘钰，王建国，
申请(专利权)人：西北核技术研究所，
类型：发明
国别省市：