基于Spectral/hp型有限元法求解二维非定常或定常对流扩散方程的计算方法技术

本发明专利技术涉及一种基于Spectral/hp型有限元法求解二维非定常或定常对流扩散方程的计算方法，属于计算流体力学技术领域。分析二维非定常或定常对流扩散方程问题的控制方程；对二维非定常或定常对流扩散方程模型参数设置；根据Spectral/hp型有限元法的数学计算公式，引入二维非定常或定常对流扩散方程相关变量的数值，导入对二维非定常或定常对流扩散方程进行数值计算，求解完毕即可进行可视化处理和误差分析后处理得到数值模拟的L2范数和L

【技术实现步骤摘要】
基于Spectral/hp型有限元法求解二维非定常或定常对流扩散方程的计算方法


[0001]本专利技术涉及一种基于Spectral/hp型有限元法求解二维非定常或定常对流扩散方程的计算方法，属于计算流体力学


技术介绍

[0002]流体力学主要研究流体流动的机制。流体力学是一个有着悠久历史的传统领域，无论从科学性的角度还是实用性的角度来看，流体力学都具有不容置疑的重要性。早期，流体力学在发展中取得了很多成就，但没有太多规律可循。
[0003]流体力学广泛地渗透于各个方面，涵盖了包括化学工程、大气学、生物工程、土木工程、航空航天、汽车工程、交通运输，发电和转换、材料加工和制造、食品、民用基础设施、机械润滑、燃烧室、聚合物成型、凝固与材料科学、气溶胶电流体动力学、等离子体物理学、人体组织和血管、流体微通道、船舶建造与海上结构、核反应堆的冷却、发动机设计制造等多个行业和领域。数学分析、计算机模拟以及实验均有助于流体力学的发展和进步。流体力学可划分为流体静力学和流体动力学，目前仍有很多尚未完全解决的问题。流体力学中的大多数问题都可以用数学模型简化，并需要根据条件的差别而使用不同的简化方式，然后列出相应的数学方程，然而，流体力学方程中的多变量、多维度、复杂的几何形状、黏性和非线性等特点给流体力学问题的求解带来了很大的困难，实际上只有少量的问题可以用数学的方法求得解析解，绝大多数问题无法得到甚至根本无法找到解析解。为此人们专利技术并改进了各种求解方法。流体力学按照研究方法可分为理论流体力学(Theoretical Fluid Dynamics,简称TFD),实验流体力学(Experimental Fluid Dynamics,简称EFD)和计算流体力学(Computational Fluid Dynamics,简称CFD)。理论流体力学只能解决相当少量的问题；实验流体力学虽然结果最符合实际情况，但是经济性比较差。20世纪50年代以来，计算流体力学使流体力学的发展进入了新纪元，由于电子计算机性能的飞速发展和提高，为这一领域带来了更大的活力。计算流体力学中通常采用的离散方法有有限体积法、有限差分法、有限单元法、谱元法、边界元法等。计算流体力学采用电子计算机并利用各种数值算法对流体流动中的各种问题进行数值模拟和数值分析；计算流体力学的前提是将控制流体流动的偏微分方程离散为相应的代数方程，以对原偏微分方程进行近似并离散化，然后再利用各种数值方法去求解离散后的近似方程，以得到原本无法找到解析解的问题的方程的近似数值解，近二三十年来，计算流体力学这一领域随着计算机性能的提升和基于各种数值理论和数值计算方法的发展，以及人们在实际生产生活中对解决各种复杂流动问题的实际需求，人们开发并使用各种商业软件和计算代码来求解各种流体流动问题如在航空航天领域的燃烧室的设计、用以求解计算流体力学问题的数值方法包括有限单元方法(Finite ElementMethod)、有限体积方法(Finite Volume Method)、有限差分方法(Finite DifferenceMethod)、谱方法(Spectral Methods)和无网格法(Mesh
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less method)等。计算流体力学中常用的方法是有限体积法，有限体积法的优势在于推导过程物理概念清晰，离
散方程系数具有一定的物理意义，并可保证离散方程具有守恒特性，在内存利用和求解速度上，尤其对于高雷诺数湍流和源项占优流体等大计算量问题这些优点显得更为突出，这一数值方法的最大不足为不易解释离散方程数学性质。有限差分法容易开发成计算机程序和软件，然而在对待复杂物理域的边界时，处理不太容易，因此这一方法只在少量专业代码中得以应用。虽然已有很多数值方法甚至商业软件被用于解决流体力学问题，但由于流体流动问题的复杂性，仍需发展新的方法来对流体力学问题进行数值模拟，提高数值模拟的精度和效率。
[0004]Spectral/hp型有限元法包含多域谱方法和高阶有限元方法。高阶数值方法中的谱方法是离散微分方程的加权残数法(MWR)的扩展。测试函数(又称权函数)和试探函数(又称展开式或近似函数)是加权残数法的关键。其中，通过使残量最小化，测试函数成为截断级数展开式尽量满足微分方程的保障，而试探函数则是解截断级数展开式的基函数。试探函数是谱方法,有限元法的差别在于选取的试探函数不同，谱方法的试探函数是整体可微的高阶正交多项式，而有限元法的试探函数则是局部可微的高阶正交多项式，一般情况下，谱方法能够得到高精度的数值解。谱方法根据所选择的测试函数的不同，可以分为伽辽金法、配置法和Tau方法。当选取的测试函数和试探函数相同时，称为伽辽金法。通常，要将测试函数选取无限光滑函数并同时满足边界条件，伽辽金法强迫微分方程的测试函数和残数乘积的内积为零；当选取的测试函数为狄拉克δ函数时，称为配置法，配置法需要在配置点上必须严格满足微分方程；同伽辽金法相同，Tau方法同样要求微分方程满足测试函数和残数的内积为零，然而测试函数均不必满足边界条件，所以在利用边界条件时需要若干补充方程。
[0005]不同于传统有限元方法的线性插值基函数展开，高阶有限元方法采用高阶多项式展开来逼近原问题的解，高阶有限元方法局部展开成阶数为p的多项式空间，高阶有限元方法的阶数，又称基函数的最大阶数。通过同时减小网格尺寸大小h和增加插值多项式的阶数p以减小误差的方法称作hp型有限单元法。Spectral/hp型有限元法，顾名思义，既包含多域谱方法也包含一般的高阶有限单元法。

技术实现思路

[0006]针对上述现有技术存在的问题及不足，本专利技术提供一种基于Spectral/hp型有限元法求解二维非定常或定常对流扩散方程的计算方法。本专利技术通过以下技术方案实现。
[0007]一种基于Spectral/hp型有限元法求解二维非定常或定常对流扩散方程的计算方法，其包括以下步骤：
[0008]步骤1、分析二维非定常或定常对流扩散方程问题的控制方程；
[0009]步骤2、对二维非定常或定常对流扩散方程模型参数设置；
[0010]步骤3、数值计算及后处理：
[0011]根据Spectral/hp型有限元法的数学计算公式，引入二维非定常或定常对流扩散方程相关变量的数值，导入步骤1中对二维非定常或定常对流扩散方程进行数值计算，求解完毕即可进行可视化处理和误差分析后处理得到数值模拟的L2范数和L
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范数误差；
[0012]步骤4、误差对比分析：
[0013]根据步骤3得到的误差分析后处理得到数值模拟的L2范数和L
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范数误差分别绘制
出了速度u的p收敛和h收敛曲线图。
[0014]所述步骤2包括以下几步：
[0015]步骤2.1、物理模型的建立，选取几何体为(0,1)
×
(0,1)的四边形区域作为计算域；
[0016]步骤2.2、几何参数的选取，选取步长为h的结构性网格均匀划分步骤2.1中的几何体。
[0017本文档来自技高网...

【技术保护点】

【技术特征摘要】
1.一种基于Spectral/hp型有限元法求解二维非定常或定常对流扩散方程的计算方法，其特征在于包括以下步骤：步骤1、分析二维非定常或定常对流扩散方程问题的控制方程；步骤2、对二维非定常或定常对流扩散方程模型参数设置；步骤3、数值计算及后处理：根据Spectral/hp 型有限元法的数学计算公式，引入二维非定常或定常对流扩散方程相关变量的数值，导入步骤1中对二维非定常或定常对流扩散方程进行数值计算，求解完毕即可进行可视化处理和误差分析后处理得到数值模拟的L2范数和L
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【专利技术属性】
技术研发人员：张建铭，肖博，
申请(专利权)人：昆明理工大学，
类型：发明
国别省市：