一种并行求解有限元问题中大型带状线性方程组的方法技术

本发明专利技术公开了一种并行求解有限元问题中大型带状线性方程组的方法及系统，该方法包括：根据有限单元集合体构建偏微分方程并使用有限元法进行求解；对初步刚度矩阵进行分块处理，得到刚度矩阵；对刚度矩阵和右矩阵进行分解处理，得到分解后的刚度矩阵和分解后的右矩阵；通过递归分治方法对分解后的刚度矩阵和分解后的右矩阵进行化简处理，并构建简化线性方程组；对简化线性方程组中的解矩阵进行求解，得到解值。通过使用本发明专利技术，在确保解值的准确度下，进一步提高密集带状线性方程组的求解效率。本发明专利技术作为一种并行求解有限元问题中大型带状线性方程组的方法及系统，可广泛应用于仿真模拟和数学工业软件领域。真模拟和数学工业软件领域。真模拟和数学工业软件领域。

A parallel method for solving large band linear equations in finite element problems

【技术实现步骤摘要】
一种并行求解有限元问题中大型带状线性方程组的方法


[0001]本专利技术涉及仿真模拟和数学工业软件领域，尤其涉及一种并行求解有限元问题中大型带状线性方程组的方法。

技术介绍

[0002]计算机的问世推进了新一轮的工业革命，利用这一有力的计算工具能够解决一些复杂的力学和物理问题，很长一段时间科学家都在研究一种近似求解微分方程的方法——数值解法，有限单元法就是当前数值解法中较为流行的方法，其基本思想就是将连续的求解区域离散为一组有限个、且按一定方式相互联结在一起的单元组合体，在工程应用方面，气体弹性力学是现代飞行器或飞行在空中的对象研制中必须考虑的一个重要问题.经典空气弹性力学只研究作用于飞行物体结构上的弹性力、惯性力和空气动力间的相互作用，以及由此引起的各种静态、动态稳定性及结构响应间的问题。例如，开启降落伞伞衣过程的研究是气动弹性力学最复杂的问题之一，使用并行计算方法，对流体采用稳定的时空有限元公式，对弹性结构采用源于虚拟工作的有限元公式，之后对有限元公式产生的带状线性方程组进行并行求解，这些单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，所以可模型化几何形状复杂的求解域，但对于大多数这些问题中的方程，它们的某些特征具有非线性性质，而且求解区域的几何形状较为复杂，也就无法得到精确的解析解。

技术实现思路

[0003]为了解决上述技术问题，本专利技术的目的是提供一种并行求解有限元问题中大型带状线性方程组的方法，本专利技术利用递归分治算法对求解密集带状线性方程组进行求解，能够在不降低求解值准确度的情况下提高密集带状线性方程组的求解效率。
[0004]本专利技术所采用的第一技术方案是：一种并行求解有限元问题中大型带状线性方程组的方法，包括以下步骤：
[0005]根据有限单元集合体构建偏微分方程并使用有限元法进行求解，得到初步刚度矩阵和右矩阵；
[0006]对初步刚度矩阵进行分块处理，得到刚度矩阵；
[0007]对刚度矩阵和右矩阵进行分解处理，得到分解后的刚度矩阵和分解后的右矩阵；
[0008]通过递归分治方法对分解后的刚度矩阵和分解后的右矩阵进行化简处理，并构建简化线性方程组；
[0009]对简化线性方程组中的解矩阵进行求解，得到解值。
[0010]进一步，所述根据有限单元集合体构建偏微分方程并使用有限元法进行求解，得到初步刚度矩阵和右矩阵这一步骤，其具体包括：
[0011]根据静力等效原则将作用于有限单元集合内的每个有限单元的外力简化至每个有限单元的结点上，得到等效结点力；
[0012]根据弹性力学导出在等效结点力作用下结点位移与等效结点力之间的关系，构建
偏微分方程；
[0013]基于偏微分方程的系数构建初步刚度矩阵和右矩阵。
[0014]进一步，所述对初步刚度矩阵进行分块处理，得到刚度矩阵这一步骤，其具体包括：
[0015]对初步刚度矩阵内的元素进行编号处理，得到带编号的初步刚度矩阵；
[0016]对带编号的初步刚度矩阵的性质进行分析，判断带编号的刚度矩阵是否正定；
[0017]判断到带编号的刚度矩阵具有正定性质，选取对应的分块方案，输出刚度矩阵。
[0018]进一步，所述对刚度矩阵和右矩阵进行分解处理，得到分解后的刚度矩阵和分解后的右矩阵这一步骤，其具体包括：
[0019]对刚度矩阵进行DS分解，得到分解后的刚度矩阵；
[0020]对右矩阵进行DY分解，得到分解后的右矩阵。
[0021]进一步，所述DS分解公式具体如下所示：
[0022][0023]V
i
＝A
i
‑1B
i
；W
i
＝A
i
‑1C
i
[0024]上式中，D
i
表示刚度矩阵A的对角分块矩阵，I
i
表示单位矩阵，V
i
和W
i
表示“长钉”矩阵。
[0025]进一步，所述DY分解公式具体如下所示：
[0026][0027]上式中，p表示分块总数。
[0028]进一步，所述通过递归分治方法对分解后的刚度矩阵和分解后的右矩阵进行化简处理，并构建简化线性方程组这一步骤，其具体包括：
[0029]基于递归分治方法，对分解后的刚度矩阵进行迭代化简处理，直至刚度矩阵的分区数小于预设阈值，得到最终的刚度矩阵；
[0030]基于递归分治方法，对分解后的右矩阵进行迭代化简处理，直至右矩阵的分区数小于预设阈值，得到最终的右矩阵；
[0031]整合最终的刚度矩阵和最终的右矩阵，构建简化线性方程组。
[0032]进一步，所述简化线性方程组表示如下：
[0033]S
[nLevel]X＝Y
[nLevel][0034]上式中，表示最终的刚度矩阵，表示最终的右矩阵，X表示解矩阵。
[0035]进一步，所述所述递归分治公式表示如下：
[0036][0037][0038]上式中，表示最终的刚度矩阵，表示最终的右矩阵，表示简化后的刚度矩阵，表示简化后的右矩阵，D
[1]、D
[2]和D
[nLevel
‑
1]表示刚度矩阵从第一个至第nLevel
‑
1个上、下分块矩阵。
[0039]进一步，所述对简化线性方程组中的解矩阵进行求解，得到解值这一步骤，其具体包括：
[0040]对最终的线性方程组中的解矩阵的上、下分块矩阵值进行求解，得到上分块矩阵值和下分块矩阵值；
[0041]根据恢复公式求解解矩阵的中分块的矩阵值，得到中分块的矩阵值；
[0042]整合上分块的矩阵值、中分块的矩阵值和下分块的矩阵值，得到解值。
[0043]本专利技术方法及系统的有益效果是：本专利技术通过递归分治算法对密集带状线性方程组进行求解，对密集带状线性方程组进行编码、分块和分解处理，能够在确保解值的准确度的同时，提高密集带状线性方程组的求解效率。
附图说明
[0044]图1是本专利技术一种并行求解有限元问题中大型带状线性方程组的方法的步骤流程图；
[0045]图2是本专利技术一种并行求解有限元问题中大型带状线性方程组的方法恢复公式示意图；
[0046]图3是本专利技术在实验测试递归化简阶段刚度矩阵数据之间传递的示意图；
[0047]图4是本专利技术在实验测试递归化简阶段右矩阵数据之间传递的示意图。
具体实施方式
[0048]下面结合附图和具体实施例对本专利技术做进一步的详细说明。对于以下实施例中的步骤编号，其仅为了便于阐述说明而设置，对步骤之间的顺序不做任何限定，实施例中的各步骤的执行顺序均可根据本领域技术人员的理解来进行适应性调整。
[0049]参照图1，本专利技术提供了一种并行求解有限元问题中大型带状线性方程组的方法，该方法包括以下步骤：
[0050]S1、根据有限单元集本文档来自技高网...

【技术保护点】

【技术特征摘要】
1.一种并行求解有限元问题中大型带状线性方程组的方法，其特征在于，包括以下步骤：根据有限单元集合体构建偏微分方程并使用有限元法进行求解，得到初步刚度矩阵和右矩阵；对初步刚度矩阵进行分块处理，得到刚度矩阵；对刚度矩阵和右矩阵进行分解处理，得到分解后的刚度矩阵和分解后的右矩阵；通过递归分治方法对分解后的刚度矩阵和分解后的右矩阵进行化简处理，并构建简化线性方程组；对简化线性方程组中的解矩阵进行求解，得到解值。2.根据权利要求1所述一种并行求解有限元问题中大型带状线性方程组的方法，其特征在于，所述根据有限单元集合体构建偏微分方程并使用有限元法进行求解，得到初步刚度矩阵和右矩阵这一步骤，其具体包括：根据静力等效原则将作用于有限单元集合内的每个有限单元的外力简化至每个有限单元的结点上，得到等效结点力；根据弹性力学导出在等效结点力作用下结点位移与等效结点力之间的关系，并构建偏微分方程；基于偏微分方程的系数构建初步刚度矩阵和右矩阵。3.根据权利要求2所述一种并行求解有限元问题中大型带状线性方程组的方法，其特征在于，所述对初步刚度矩阵进行分块处理，得到刚度矩阵这一步骤，其具体包括：对初步刚度矩阵内的元素进行编号处理，得到带编号的初步刚度矩阵；对带编号的初步刚度矩阵的性质进行分析，判断带编号的刚度矩阵是否正定；判断到带编号的刚度矩阵具有正定性质，选取对应的分块方案，输出刚度矩阵。4.根据权利要求3所述一种并行求解有限元问题中大型带状线性方程组的方法，其特征在于，所述对刚度矩阵和右矩阵进行分解处理，得到分解后的刚度矩阵和分解后的右矩阵这一步骤，其具体包括：对刚度矩阵进行DS分解，得到分解后的刚度矩阵；对右矩阵进行DY分解，得到分解后的右矩阵。5.根据权利要求4所述一种并行求解有限元问题中大型带状线性方程组的方法，其特征在于，所述DS分解公式具体如下所示：V
i
＝A
i
‑1B
i
；W
i
＝A
i
‑1C
i
上式中，D
i
表示刚度矩阵A的对角分块矩阵，I
i
表示单位矩阵，V

【专利技术属性】
技术研发人员：衡益，施宏伟，江颖，
申请(专利权)人：中山大学，
类型：发明
国别省市：