一种基于小样本的三参数威布尔分布参数估计的迭代方法技术

本发明专利技术的一种基于小样本的三参数威布尔分布参数估计的迭代方法，包括：步骤1：设定待估计产品寿命的形状参数范围在1.5和2.5之间；步骤2：位置参数与最小样本值、样本量之间模型的推导，为了获得保守估计，得到带有置信度95％的第一理论模型；步骤3：为了获得点估计，得到第二理论模型；步骤4：根据设定的形状参数、初始位置参数和随机样本根据极大似然法对尺度参数估计计算获得尺度参数的初始估计值，将尺度参数的初始估计值带入步骤2或3的理论模型中进行多次迭代计算获得稳定的尺度参数和位置参数。该方法建立一个理论模型描述位置参数、最小样本值和样本量之间的关系，并提出了一种迭代方法，估计位置参数和尺度参数。估计位置参数和尺度参数。估计位置参数和尺度参数。

【技术实现步骤摘要】
一种基于小样本的三参数威布尔分布参数估计的迭代方法


[0001]本专利技术属于产品寿命评估方法
，涉及一种基于小样本的三参数威布尔分布参数估计的迭代方法。

技术介绍

[0002]威布尔分布是描述实际现象概率行为的最流行的统计模型之一，在可靠性分析中起着重要作用。对于在类似环境下运行的同一类型产品而言，其形状参数大致为常数，因此对于小样本情况尤为有用。由于两参数威布尔分布更为简单而被广泛应用。
[0003]通常，参数估计需要大量的样本。然而，对于大型复杂设备，由于经济和时间的限制，只提供小样本数据，这使得参数估计困难。目前，三参数威布尔分布参数估计问题备受国内外学者关注，针对此类问题，比较常用的方法有极大似然方法和相关系数法。
[0004]极大似然法主要是求似然函数的极大值，即使每个参数的偏导等于0，即求解以下三个方程：
[0005][0006][0007][0008]式中，γ,β,η其中分布是威布尔分布的位置参数、形状参数和尺度参数。上述三个方程求解较为复杂，若形状参数不固定时，在小样本情况下，用极大似然方法进行三参数威布尔分布参数估计时有可能是无解的。
[0009]相关系数法的主要思想是使得样本的相关系数最大时，求出对应的位置参数，再使用最小二乘法分别求出形状参数和尺度参数。在使用此方法时，有可能求得位置参数为0，使得三参数威布尔分布退化成为两参数威布尔分布，过于保守。

技术实现思路

[0010]为解决上述技术问题，本专利技术从三参数威布尔分布的最小样本值入手，建立了位置参数和最小样本值、样本量的关系模型，提出了一种新的三参数威布尔分布的参数估计的方法。
[0011]本专利技术的一种基于小样本的三参数威布尔分布参数估计的迭代方法，包括：
[0012]步骤1：形状参数的确定，设定待估计产品寿命的形状参数范围在1.5和2.5之间；
[0013]步骤2：位置参数与最小样本值、样本量之间模型的推导，如果为了获得保守估计，得到带有置信度95％的第一理论模型；
[0014]步骤3：位置参数与最小样本值、样本量之间模型的推导，为了获得点估计，则得到第二理论模型；
[0015]步骤4：根据设定的形状参数、初始位置参数和随机样本根据极大似然法对尺度参数计算获得尺度参数的初始估计值，根据不同估计需求将尺度参数的初始估计值带入步骤2或3的理论模型中，利用极大似然法和相应的理论模型进行多次迭代计算获得稳定的尺度参数和位置参数，即为位置参数与尺度参数的估计值。
[0016]在本专利技术的基于小样本的三参数威布尔分布参数估计的迭代方法中，所述步骤2中带有置信度95％的第一理论模型推导过程为：
[0017](1)三参数威布尔分布的概率密度函数为：
[0018][0019]式中，γ,β,η其中分布是威布尔分布的位置参数、形状参数和尺度参数，满足γ＞0,β＞0,η＞0,t≥γ；t为样本；
[0020](2)三参数威布尔分布的累积分布函数为：
[0021][0022](3)根据f(t
(1,n)
)＝n[1
‑
F(t)]n
‑1f(t)，三参数威布尔分布最小样本值t
(1,n)
的概率密度函数为：
[0023][0024]三参数威布尔分布最小样本值t
(1,n)
的累积分布函数为：
[0025][0026]为了使位置参数保守估计，置信水平取为95％，即F(t
(1,n)
)设置为95％，获得位置参数与最小样本值、样本量之间的第一理论模型为：
[0027][0028]其中，n为样本量。
[0029]在本专利技术的基于小样本的三参数威布尔分布参数估计的迭代方法中，所述步骤3中为了获得点估计，第二理论模型推导为：
[0030]为了获得点估计，根据公式(4)，F(t
(1,n)
)可以采用50％，获得位置参数与最小样本值、样本量之间的第二理论模型为：
[0031][0032]其中，n为样本量。
[0033]在本专利技术的基于小样本的三参数威布尔分布参数估计的迭代方法中，所述步骤4具体为：
[0034]步骤4.1：当形状参数和位置参数确定时，用极大似然法对尺度参数估计为：
[0035][0036]步骤4.2：用Monte Carlo随机抽取三参数威布尔分布Weibull(2,1000,1000～4000)，即形状参数β＝2，尺度参数η＝1000，位置参数γ＝1000～4000，获得5个样本，分别为t1,t2,
…
,t5；
[0037]步骤4.3：设置迭代次数N取1000，两次迭代结果之差的绝对值取10e
‑
5；
[0038]步骤4.4：将位置参数的初始估计值设置为0，即：
[0039]步骤4.5：将形状参数、样本值和位置参数的初始估计值代入公式(7)中，计算出尺度参数的初始估计值
[0040][0041]步骤4.6：根据不同估计需要将尺度参数的初始估计值代入公式(5)或(6)的模型中，可计算出新的位置参数的估计值
[0042]步骤4.7：将新的位置参数的估计值代入公式(7)中，可计算出新的尺度参数的估计值
[0043]步骤4.8：重复步骤4.6
‑
4.7，计算出本次的位置参数的估计值和尺度参数的估计值，与上次计算的位置参数的估计值、尺度参数的估计值分别进行对比，若两个参数的两次迭代结果之差的绝对值都小于10e
‑
5，则停止计算，本次结果即为最终估计值，否则继续迭代计算1000次，为最终结果。
[0044]在本专利技术的基于小样本的三参数威布尔分布参数估计的迭代方法中，所述步骤4.2中抽取的样本服从三参数威布尔分布，形状参数β＝2，尺度参数η＝1000，位置参数γ＝2000。
[0045]在本专利技术的基于小样本的三参数威布尔分布参数估计的迭代方法中，在滚动轴承寿命分布参数估计中，形状参数取经验值2.0。
[0046]本专利技术的一种基于小样本的三参数威布尔分布参数估计的迭代方法，至少具有以下有益效果：
[0047]1)本专利技术方法计算迭代过程简单且收敛，在形状参数使用经验值时，可以得到稳定的位置参数和尺度参数。
[0048]2)与传统方法极大似然法和相关系数法相比，本专利技术进行参数估计结果更稳定和更准确。
附图说明
[0049]图1是本专利技术的一种基于小样本的三参数威布尔分布参数估计的迭代方法的流程图；
[0050]图2是本专利技术步骤4中所采用的迭代流程图；
[0051]图3a
‑
3d是本专利技术中四个随机抽取样本进行点估计的迭代图；其中，图3a为第一组样本的迭代过程图，图3b为第二组样本的迭代过程图，图3c为第三组样本的迭代过程图，图3d为第四组样本的迭代过程图。
具体实施方式
[0052]如图1所示，本专利技术本文档来自技高网...

【技术保护点】

【技术特征摘要】
1.一种基于小样本的三参数威布尔分布参数估计的迭代方法，其特征在于，包括：步骤1：形状参数的确定，设定待估计产品寿命的形状参数范围在1.5和2.5之间；步骤2：位置参数与最小样本值、样本量之间模型的推导，为了获得保守估计，得到带有置信度95％的第一理论模型；步骤3：位置参数与最小样本值、样本量之间模型的推导，为了获得点估计，则得到第二理论模型；步骤4：根据设定的形状参数、初始位置参数和随机样本根据极大似然法对尺度参数计算获得尺度参数的初始估计值，根据不同估计需求将尺度参数的初始估计值带入步骤2或3的理论模型中，利用极大似然法和相应的理论模型进行多次迭代计算获得稳定的尺度参数和位置参数，即为位置参数与尺度参数的估计值。2.如权利要求1所述的基于小样本的三参数威布尔分布参数估计的迭代方法，其特征在于，所述步骤2中带有置信度95％的第一理论模型推导过程为：(1)三参数威布尔分布的概率密度函数为：式中，γ,β,η其中分布是威布尔分布的位置参数、形状参数和尺度参数，满足γ＞0,β＞0,η＞0,t≥γ；t为样本；(2)三参数威布尔分布的累积分布函数为：(3)根据f(t
(1,n)
)＝n[1
‑
F(t)]
n
‑1f(t)，三参数威布尔分布最小样本值t
(1,n)
的概率密度函数为：三参数威布尔分布最小样本值t
(1,n)
的累积分布函数为：为了使位置参数保守估计，置信水平取为95％，即F(t
(1,n)
)设置为95％，获得位置参数与最小样本值、样本量之间的第一理论模型为：其中，n为样本量。3.如权利要求2所述的基于小样本的三参数威布尔分布参数估计的迭代方法，其特征在于，所述步骤3中为了获得点估计，第二理论模型推导为：为了获得点估计，根据公式(4)，F(t
(1,n)
...

【专利技术属性】
技术研发人员：杨小玉，谢里阳，赵丙峰，宋佳昕，孔祥伟，吴宁祥，
申请(专利权)人：东北大学，
类型：发明
国别省市：