一种采用非正交基的GMRES变型算法制造技术

本发明专利技术公开了一种采用非正交基的GMRES变型算法，其实现步骤为：S1、选取初始解向量，计算初始残量，获取Krylov子空间的第一维基向量；S2、计算系数矩阵与第一维基向量的乘积，任意选取该乘积结果中的部分元素，并对第一维基向量作对应抽取，以二者的内积作为此向量在第一维基向量上的投影系数，由其残差向量确定Krylov子空间的第二维基向量；S3、以此类推，通过矩阵向量乘、抽取以及求解最小二乘问题，得第三、四、五

【技术实现步骤摘要】
一种采用非正交基的GMRES变型算法


[0001]本专利技术涉及科学与工程计算如计算电磁学等
，尤其涉及一种采用非正交基的GMRES变型算法。

技术介绍

[0002]在应用数学和科学工程计算领域，许多问题的数学模型都可以用线性方程组来描述。例如目标电磁特性仿真计算问题经由矩量法(MoM)、有限元(FEM)等数值算法离散化电磁场微积分方程即转化为了对矩阵方程的求解，又如流体力学中的Navier
‑
Stokes方程求解、量子色动力学(QCD)中的格点规范理论、惯性约束聚变(ICF)中的三温能量方程求解、油藏数值模拟、地震反演模拟过程中的Helmholtz偏微分方程求解等。
[0003]当系数矩阵为非对称情况时，广义最小残量法(GMRES)特别是带重启的GMRES即GMRES(m)则是当今最常用的一类算法。GMRES的运算量主要由矩阵向量乘积和向量正交化两部分构成，如何进一步降低其计算复杂度一直是一项颇具挑战性的工作。

技术实现思路

[0004]为有效降低了计算复杂度，为此，本专利技术提出了一种采用非正交基的GMRES变型算法，具体方案如下：
[0005]一种采用非正交基的GMRES变型算法，包括以下步骤：
[0006]S1、选取初始解向量，计算初始残量，获取Krylov子空间的第一维基向量；
[0007]S2、计算系数矩阵与第一维基向量的乘积，任意选取该乘积结果中的部分元素，并对第一维基向量作对应抽取，以二者的内积作为此向量在第一维基向量上的投影系数，由其残差向量确定Krylov子空间的第二维基向量；
[0008]S3、计算系数矩阵与第二维基向量的乘积，再次通过抽取以及求解最小二乘问题获取新向量在由第一、第二维基向量张成的子空间上的一个斜投影向量，并由相应的残差向量确定第三维基向量，以此类推，直至获得第n维基向量；
[0009]S4、在每次生成新基向量的同时，根据投影系数向量构建并更新上Hessenberg阵，通过求解其对应的矩阵方程的最小二乘问题，更新残量，直至残量为零或小于既定阈值。
[0010]具体地说，步骤S1具体为：
[0011]S11、建立线性方程组：
[0012]Ax＝b
ꢀꢀ
(1)
[0013]设迭代初值为x0，则初始残量为r0＝b
‑
Ax0；
[0014]S12、任意选取r0中部分元素记作r
0p
，Krylov子空间span{r0,Ar0,A2r0,...,A
n
‑1r0}的第一维基向量Q1由公式(2)确定；
[0015]Q1＝r0/||r
0p
||2ꢀꢀ
(2)
[0016]对Q1做和r
0p
一致的抽取时记作Q
1p
，Q
1p
为一单位化低维向量。
[0017]具体地说，步骤S2具体为：
[0018]S21、计算矩阵向量乘积AQ1，并对相乘所得向量作与r
0p
一致的抽取记作(AQ1)
p
，求解超定方程组
[0019]Q
1p
α1＝(AQ1)
p
ꢀꢀ
(3)的最小二乘解；
[0020]S22、由投影系数α1计算如下残差向量
[0021]Δ1＝AQ1‑
Q1α1ꢀꢀ
(4)
[0022]S23、进而对Δ1作和r
0p
一致的抽取记作Δ
1p
，由
[0023]Q2＝Δ1/||Δ
1p
||2ꢀꢀ
(5)
[0024]确定Krylov子空间span{r0,Ar0,A2r0,...,A
n
‑1r0}的第二维基向量Q2；记对Q2作与r
0p
一致的抽取所得低维向量为Q
2p
，Q
2p
为单位化低维向量且Q
2p
⊥
Q
1p
。
[0025]具体地说，步骤S3具体为：
[0026]S31、计算矩阵向量乘积AQ2，求解超定方程组
[0027][Q
1p Q
2p
]α2＝(AQ2)
p
ꢀꢀ
(6)的最小二乘解，其中(AQ2)
p
由对AQ2作和r
0p
一致的抽取所得；
[0028]S32、再以α2作为投影系数向量，计算AQ2的残差分量
[0029]Δ2＝AQ2‑
[Q
1 Q2]α2ꢀꢀ
(7)
[0030]S33、由
[0031]Q3＝Δ2/||Δ
2p
||2ꢀꢀ
(8)
[0032]确定Krylov子空间span{r0,Ar0,A2r0,...,A
n
‑1r0}的第三维基向量Q3，其中Δ
2p
表示由对Δ2作和r
0p
一致的抽取所得低维向量；
[0033]S34、以此类推，生成第四、第五、
……
、第n维基向量Q4、Q5、...、Q
n
；对Q3、Q4、...、Q
n
作与r
0p
一致的抽取分别记作Q
3p
、Q
4p
、...、Q
np
，Q
3p
、Q
4p
、...、Q
np
皆为单位化低维向量且Q
np
⊥
...
⊥
Q
3p
⊥
Q
2p
⊥
Q
1p
。
[0034]具体地说，步骤S4具体为：
[0035]S41、在步骤S1
‑
S3中的每次迭代生成新基向量的同时，利用α
i
及||Δ
ip
||2(i＝1,2,...,n
‑
1)更新上Hessenberg阵H，H
i
表示H的第i列，H
i
中的非零部分为[α
iT
,||Δ
ip
||2]T
)，则有
[0036]A[Q1...Q
i
‑1]＝[Q1...Q
i
]H (i＝1,2,...,n)
ꢀꢀ
(9)
[0037]S42、通过计算
[0038]Hy
k
＝[||r
0p
||2,0,...,0]T
(k＝1,2,...,n
‑
1)
ꢀꢀ
(10)的最小二乘解，更新原矩阵方程(1)的迭代解，即
[0039]x
k
＝x0+[Q1...Q<本文档来自技高网...

【技术保护点】

【技术特征摘要】
1.一种采用非正交基的GMRES变型算法，其特征在于，包括以下步骤：S1、选取初始解向量，计算初始残量，获取Krylov子空间的第一维基向量；S2、计算系数矩阵与第一维基向量的乘积，任意选取该乘积结果中的部分元素，并对第一维基向量作对应抽取，以二者的内积作为此向量在第一维基向量上的投影系数，由其残差向量确定Krylov子空间的第二维基向量；S3、计算系数矩阵与第二维基向量的乘积，再次通过抽取以及求解最小二乘问题获取新向量在由第一、第二维基向量张成的子空间上的一个斜投影向量，并由相应的残差向量确定第三维基向量，以此类推，直至获得第n维基向量；S4、在每次生成新基向量的同时，根据投影系数向量构建并更新上Hessenberg阵，通过求解其对应的矩阵方程的最小二乘问题，更新残量，直至残量为零或小于既定阈值。2.根据权利要求1所述的一种采用非正交基的GMRES变型算法，其特征在于，步骤S1具体为：S11、建立线性方程组：Ax＝b
ꢀꢀ
(1)设迭代初值为x0，则初始残量为r0＝b
‑
Ax0；S12、任意选取r0中部分元素记作r
0p
，Krylov子空间span{r0,Ar0,A2r0,...,A
n
‑1r0}的第一维基向量Q1由公式(2)确定；Q1＝r0/||r
0p
||2ꢀꢀ
(2)对Q1做和r
0p
一致的抽取时记作Q
1p
，Q
1p
为一单位化低维向量。3.根据权利要求1所述的一种采用非正交基的GMRES变型算法，其特征在于，步骤S2具体为：S21、计算矩阵向量乘积AQ1，并对相乘所得向量作与r
0p
一致的抽取记作(AQ1)
p
，求解超定方程组Q
1p
α1＝(AQ1)
p
ꢀꢀ
(3)的最小二乘解；S22、由投影系数α1计算如下残差向量Δ1＝AQ1‑
Q1α1ꢀꢀ
(4)S23、进而对Δ1作和r
0p
一致的抽取记作Δ
1p
，由Q2＝Δ1/||Δ
1p
||2ꢀꢀ
(5)确定Krylov子空间span{r0,Ar0,A2r0,...,A
n
‑1r0}的第二维基向量Q2；记对Q2作与r
0p
一致的抽取所得低维向量为Q
2p
，Q
2p
为单位化低维向量且Q
2p
⊥
Q
1p
。4.根据权利要求1所述的一种采用非正交基的GMRES变型算法，其特征在于，步骤S3具体为：S31、计算矩阵向量乘积AQ2，求解超定方程组[Q
1p Q

【专利技术属性】
技术研发人员：曹欣远，陈明生，齐琦，王道平，况晓静，孔勐，张量，张忠祥，陈兵兵，范程华，
申请(专利权)人：合肥师范学院，
类型：发明
国别省市：