用于简化离散速度空间中传统数值积分的方法技术

本发明专利技术公开了一种用于简化离散速度空间中传统数值积分的方法，基于MCI积分的基础，借助黄金分割数论积分原理进行离散速度坐标点的选取，将数论的一致分布理论引入多重积分计算方法，对传统数值积分进行简化。本发明专利技术提供一种用于简化离散速度空间中传统数值积分的方法，简化了用于离散速度空间的传统数值积分，提高了高维流动中多重积分的计算效率，特别是优化离散速度坐标点的分布，将为研制新型的Boltzmann方程碰撞积分计算方法提供一条有效的技术途径。效的技术途径。效的技术途径。

【技术实现步骤摘要】
用于简化离散速度空间中传统数值积分的方法


[0001]本专利技术属于飞行器空气动力
，主要涉及数值积分方法，该方法用于简化离散速度空间的传统数值积分。

技术介绍

[0002]计算流体力学是通过数值方法求解流体力学控制方程，得到流场的离散的定量描述，并以此预测流体运动规律的学科。在CFD中，把流体运动控制方程中的积分、微分项近似地表示为离散的代数形式(大概意思是将连续的曲线转化为一个个点)，使得积分或微分形式的控制方程转化为代数方程组；然后，通过电子计算机求解这些代数方程组，从而得到流场在离散的时间/空间点上的数值解(numerical solution)。CFD有时也称流场的数值模拟、数值计算、或数值仿真等。而本专利技术针对的便是离散速度数值积分过程的优化。
[0003]传统的离散速度数值积分法，如Gauss-Hermite无穷积分法、Newton
–ꢀ
Cotes复合积分法及Gauss-Legendre数值积分法等，在用于高维积分时，计算效率并不高。该类积分方法用于求解重积分的思想是，将s维重积分化为s 个单重积分的累次积分，即I(f)＝∫
D
f(x)dV＝∫dx1∫dx2…
∫f(x1,
…
,x
s
)dx
s
式中，D 为定义在s维相空间R
s
上的有界闭区域，在此可取为s维立方体C
s
；f(x)为一个在D上定义的函数；dV表示D的体积元素dV＝dx1dx2…
dx
s
。然后运用单重积分的求积公式来逐次应用于式(3-36)的每一个单重积分上。如果对于每个单重积分用m个点，则用来近似计算(3-36)式的总点数为n＝ms。当s较大时，n 增加得很快。在条件连续下，如果每一个单重积分用Simpson公式求解，则重积分的数值计算误差为O(n
2/s
)。可见，用古典的平均网格法处理某类函数积分的近似计算时，误差依赖于积分的重数，而当积分重数增大时，误差亦随之迅速增大，故用这种经典的积分方法来处理高维空间的积分近似计算时，计算精度较低。
[0004]为了提高计算精度，基于统计实验的Monte-Carlo积分(MCI)技术已被广泛用于各类多重积分计算中。Monte-Carlo方法的基本思想是将一个分析问题转化为一个有同样解答的概率问题，然后用统计模拟来研究后一问题。假定为在C
s
上均匀分布的随机矢量，则f(x)为一个随机变数，其期望与标准偏差分别为：
[0005]与
[0006]如果取的n个独立样本则I(f)的无偏估计就是它的样本均值：
[0007]由强大数律，当n
→
∞时I(f,n)以概率为1地收敛到I(f)。由中心极限定理，当n很大时，I(f,n)是近似正态分布的，所以可以得到，例如|I(f,n)-I(f)|≤1.96σ(f)n-1/2
，成立的概率约为0.95。当s＞4时，上式中的误差项O(n-1/2
)比经典积分方法
的误差项O(n-2/s
)好得多。由重对数律可以证明成立的概率为1，所以Monte-Carlo积分方法的收敛速度在任何情况下可以说不低于
[0008]但是MCI方法的误差往往是概率误差，而不是真正的绝对误差，并且积分节点的选取在各个方向是随机的会导致大量机时的浪费，成为MCI技术的不足。

技术实现思路

[0009]本专利技术的一个目的是解决至少上述问题和/或缺陷，并提供至少后面将说明的优点。
[0010]为了实现根据本专利技术的这些目的和其它优点，提供了一种用于简化离散速度空间中传统数值积分的方法，基于MCI积分的基础，借助黄金分割数论积分原理进行离散速度坐标点的选取，将数论的一致分布理论引入多重积分计算方法，对传统数值积分进行简化。
[0011]优选的是，所述离散速度坐标点的选取是借助黄金分割数论积分原理对速度坐标进行离散，在某一速度方向按分数递增原理确定离散速度坐标点，而其它方向由黄金分割数论积分法控制进行离散速度坐标点的选取。
[0012]优选的是，所述简化的步骤被配置为包括：
[0013]S1、在MCI积分的基础上，引入黄金分割单和来逼近重积分的求积分公式；
[0014]S2、将所述求积分公式推广至多维情况，得到一个s维的求积公式；
[0015]S3、将s维求积公式应用于离散速度坐标法计算过程，得到相应的离散速度坐标点。
[0016]优选的是，在S1中，所述求积分公式被配置为采用：
[0017][0018]优选的是，在S2中，所述求积公式的获得包括以下步骤：
[0019]S20、将与黄金数相关联的斐波那契数进行推广；
[0020]S20、基于闵可夫斯基定理，找到满足闵可夫斯基条件的h
1,l
，h
2,l
，
…
， h
s-1,l
及n
l
；
[0021]S21、用公式一：
[0022][0023]代替用于二重积分的积分结点集公式二：
[0024][0025]进而得到用单和逼近重积分的一个s维求积公式：
[0026][0027]优选的是，在S3中，所述离散速度坐标点的获得步骤被配置为包括：
[0028]S30、用单和逼近三重积分，可得到公式三：
[0029][0030]S31、将基于离散速度域的重积分化为[0,1]区间的重积分，通过对公式三进行积分变量替换，实现对离散速度坐标点的选取和宏观流动量的实时演化更新求和确定。
[0031]优选的是，所述公式三在积分变量替换后得到对应的公式四：
[0032][0033]其中，离散速度坐标点的选取公式为：
[0034][0035][0036][0037]离散速度域为：V
x1
≤V
x
≤V
x2
，V
y1
≤V
y
≤V
y2
，V
z1
≤V
z
≤V
z2
[0038]本专利技术至少包括以下有益效果：其一、本专利技术的方法简化了用于离散速度空间的传统数值积分，提高了高维流动中多重积分的计算效率，特别是优化离散速度坐标点的分布，将为研制新型的Boltzmann方程碰撞积分计算方法提供一条有效的技术途径。
[0039]其二、本专利技术的误差项比传统方法误差项数值要低，误差范围显著较小，精度较高。在实际使用中，专利所使用的方法与传统方法相比，误差范围能进一步缩小80％以上。
[0040]其三，采用本专利技术所使用的简化方法，因为优化离散速度坐标点的分布，简化了积分过程，因此对人工代码编写效率以及计算机程序计算效率大有益处。
[0041]本专利技术的其它优点、目标和特征将部分通过下面的说明体现，部分还将通过对本专利技术的研究和实本文档来自技高网...

【技术保护点】

【技术特征摘要】
1.一种用于简化离散速度空间中传统数值积分的方法，其特征在于，基于MCI积分的基础，借助黄金分割数论积分原理进行离散速度坐标点的选取，将数论的一致分布理论引入多重积分计算方法，对传统数值积分进行简化。2.如权利要求1所述的用于简化离散速度空间中传统数值积分的方法，其特征在于，所述离散速度坐标点的选取是借助黄金分割数论积分原理对速度坐标进行离散，在某一速度方向按分数递增原理确定离散速度坐标点，而其它方向由黄金分割数论积分法控制进行离散速度坐标点的选取。3.如权利要求2所述的用于简化离散速度空间中传统数值积分的方法，其特征在于，所述简化的步骤被配置为包括：S1、在MCI积分的基础上，引入黄金分割单和来逼近重积分的求积分公式；S2、将所述求积分公式推广至多维情况，得到一个s维的求积公式；S3、将s维求积公式应用于离散速度坐标法计算过程，得到相应的离散速度坐标点。4.如权利要求3所述的用于简化离散速度空间中传统数值积分的方法，其特征在于，在S1中，所述求积分公式被配置为采用：5.如权利要求4所述的用于简化离散速度空间中传统数值积分的方法，其特征在于，在S2中，所述求积公式的获得包括以下步骤：S20、将与黄金数相关联的斐波那契数进行推广；S20、基于闵可夫斯基定理，找到满足闵可夫斯基(Minkowski)条件的h
1,l

【专利技术属性】
技术研发人员：李志辉，彭傲平，吴俊林，蒋新宇，张子彬，李凡，
申请(专利权)人：中国人民解放军三二八零四部队，
类型：发明
国别省市：