一种基于部分移动有限元节点的奇异最优控制联立求解方法技术

本发明专利技术公开了一种基于部分移动有限元节点的奇异最优控制联立求解方法。奇异最优控制问题求解的难点在于不易于精确地找到奇异弧和非奇异弧之间的切换点，该方法利用有限元正交配置将奇异最优控制问题离散为非线性规划问题，通过基于控制方程的切换函数确定需要移动的有限元节点的位置，并将这部分需要移动的有限元节点位置作为优化变量与控制变量一起寻优从而以很高的精度找到奇异与非奇异弧之间的切换点。对于生产过程中大量存在的奇异最优控制问题，本发明专利技术可以得到高精度的最优控制曲线，并且计算速度快，适合用于求解大规模的奇异最优控制问题。

A Simultaneous Solution Method for Singular Optimal Control Based on Partially Movable Finite Element Nodes

The invention discloses a simultaneous solution method of singular optimal control based on partial mobile finite element nodes. The difficulty of solving the singular optimal control problem is that it is difficult to find the switching point between the singular arc and the non-singular arc accurately. This method discretizes the singular optimal control problem into a non-linear programming problem by using the orthogonal collocation of the finite element method. The switching function based on the control equation is used to determine the location of the finite element nodes that need to move, and the location of the finite element nodes that need to move in this part is determined. As optimization variables and control variables, the switching points between singular and non-singular arcs can be found with high accuracy. For a large number of singular optimal control problems existing in the production process, the present invention can obtain a high-precision optimal control curve with fast calculation speed, and is suitable for solving large-scale singular optimal control problems.

【技术实现步骤摘要】
一种基于部分移动有限元节点的奇异最优控制联立求解方法
本专利技术涉及过程系统控制领域，尤其涉及一种基于部分移动有限元节点的联立求解方法。
技术介绍
奇异最优控制问题在化工、制药等生产过程中是普遍存在的，比如催化剂混合、分批补料培养中代谢产物的优化等等。对于过程系统控制中经常出现的奇异最优控制问题，经典的处理方法是正则化方法，Jacobson提出在目标函数中增加惩罚因子，将求解奇异最优控制问题变成求解一系列非奇异的最优控制子问题[JacobsonD,GershwinS,LeleM.ComputationofOptimalSingularControls[J].IEEETransactionsonAutomaticControl,1970,15(1):67-73]。但是这种方法计算繁琐，计算量大，并且当惩罚因子接近0时，会导致数值计算困难。即使利用目前已有的商业化的伪谱法求解正则化方法的子问题，依然得不到好的结果。另外，伪谱法为提高计算精度，在求解过程中会加入大量的网格节点或者增加插值多项式的阶数，因此其求解子问题的计算量也会很大[DarbyCL,HagerWW,RaoAV.Anhp-AdaptivePseudospectralMethodforSolvingOptimalControlProblems[J].OptimalControlApplicationsandMethods,2011,32(4):476-502]。
技术实现思路
本专利技术的目的在于针对现有技术的不足，提出了一种基于部分移动有限元节点的奇异最优控制联立求解方法。本专利技术的目的是通过以下技术方案来实现的：一种基于部分移动有限元节点的奇异最优控制联立求解方法，包括以下步骤：步骤一：将控制时域等分成M个有限元，在每个有限元上采用P个正交配置点，将原奇异最优控制问题离散为非线性规划问题，求解非线性规划问题得到近似的最优控制曲线；步骤二：检测每个有限元上相邻配置点之间的非配置点上离散误差，若小于指定的容差ε1，则进行步骤三；否则在非配置点上插入有限元节点，重新求解非线性规划问题直到非配置点上的离散误差满足容差ε1为止，并将该步骤得到的最终的有限元个数记为N,有限元节点分布记为a1，a2，…，aN；步骤三：基于得到的近似最优控制曲线，计算各个有限元上切换函数，若切换函数的值与理论上的值不相符则插入新的有限元节点，并将新插入的有限元节点和控制变量一起作为待优化的变量进行寻优，得到改进后最优控制曲线；步骤四：基于改进后最优控制曲线，若第j个有限元上的控制曲线斜率大于预定的阈值，则删除该有限元，否则计算结束；步骤五：若步骤四中有过删除有限元，则固定剩下的所有有限元节点，重新优化控制曲线，并结束计算。进一步地，所述步骤三通过以下子步骤来实现：(3.1)若第i个有限元上切换函数不为零且控制变量又不在上边界和下边界上，则在该有限元[ai-1,ai]中点插入新的有限元节点bi；(3.2)固定原有的节点a0,a1,…,aN，若新插入的有限元节点有K个(记为)，将节点位置作为优化变量与控制变量一起寻优，并要求满足本专利技术的有益效果是，与传统的处理奇异最优控制问题的方法进行比较，本专利技术能更加精确地找到奇异弧和非奇异弧之间的切换点，从而得到找到更好的最优控制曲线，另外本专利技术的计算速度快，适合用于求解大规模的奇异最优控制问题。附图说明图1是基于部分移动有限元节点的奇异最优控制联立求解方法流程图；图2是采用基于部分移动有限元节点的奇异最优控制联立求解方法求解催化剂混合案例得到的最优控制曲线；图3是采用正则化与伪谱法结合方法求解催化剂混合案例得到的最优控制曲线；图4是采用基于部分移动有限元节点的奇异最优控制联立求解方法求解Lee-Ramirez生物反应器案例得到的最优控制曲线；图5是采用正则化与伪谱法结合方法求解Lee-Ramirez生物反应器案例得到的最优控制曲线。具体实施方式下面根据附图详细说明本专利技术。如图1所示，本专利技术基于部分移动有限元节点的奇异最优控制联立求解方法，包括以下步骤：步骤一：将控制时域等分成M个有限元，在每个有限元上采用P个正交配置点，将原奇异最优控制问题离散为非线性规划问题，求解非线性规划问题得到近似的最优控制曲线；步骤二：检测每个有限元上相邻配置点之间的非配置点上离散误差，若小于指定的容差ε1，则进行步骤三；否则在非配置点上插入有限元节点，重新求解非线性规划问题直到非配置点上的离散误差满足容差ε1为止，并将该步骤得到的最终的有限元个数记为N,有限元节点分布记为a1，a2，…，aN；步骤三：基于得到的近似最优控制曲线，计算各个有限元上切换函数，若切换函数的值与理论上的值不相符则插入新的有限元节点，并将新插入的有限元节点和控制变量一起作为待优化的变量进行寻优，得到改进后最优控制曲线。该步骤是本专利技术的核心，分为以下子步骤：1)若第i个有限元上切换函数的绝对值大于容差ε2，且控制变量与上边界的距离和下边界的距离都大于容差ε3，则在该有限元[ai-1,ai]中点插入新的有限元节点bi；2)固定原有的节点a0,a1,…,aN，若新插入的有限元节点有K个(记为)，将节点位置作为优化变量与控制变量一起寻优，并要求满足步骤四：基于改进后最优控制曲线，若第j个有限元上的控制曲线斜率大于预定的阈值ε4，则删除该有限元，否则计算结束；步骤五：若步骤四中有过删除有限元，则固定剩下的所有有限元节点，重新优化控制曲线，并结束计算。实施例以下两个实施例中，专利技术中所涉及到的参数设置为：M＝9，P＝5，ε1＝10-5，ε2＝10-6，ε3＝10-3，ε4＝100。实施例1假设以下反应中：A和B之间是可逆的由催化剂I型进行催化，B到C是不可逆的由II型催化剂进行催化。我们需要考虑的如何对两种催化剂进行混合使得产品C的产量最大，该问题可以描述成以下命题：max1-a(tf)-b(tf)a(0)＝1,b(0)＝0,u(t)∈[0,1]其中，tf表示反应器的总长度，t表示到反应器入口的距离，a(t)和b(t)表示反应物A和B的摩尔分率，和表示对t的变化率；k1，k2和k3表示反应1，2和3反应速率常数；u(t)表示催化剂I型所占的比例。该实施例中，tf＝4,k1＝k3＝1,k2＝10，包括以下步骤：步骤一：将控制时域划等分成9个有限元，其对应的有限元节点为：0.44444，0.88889，1.33333，1.77778，2.22222，2.66667，3.11111，3.55556，4.00，采用正交配置方法，将原奇异最优控制问题离散为非线性规划问题，求解非线性规划问题得到近似的最优控制曲线；步骤二：检测每个有限元上相邻配置点之间的非配置点上离散误差，要求小于指定的容差ε1，该步骤最终得到的有限元个数为15；步骤三：基于得到的近似最优控制曲线，计算各个有限元上切换函数，若切换函数的值与理论上的值不相符则插入新的有限元节点，并将新插入的有限元节点和控制变量一起作为待优化的变量进行寻优，得到改进后最优控制曲线：1)第3,4,5,11,12,13,14个有限元上切换函数的绝对值大于ε2，且控制变量与上边界和下边界的距离大于ε3，则在有限元[0.074211,0.19121]，[0.19121,0.本文档来自技高网...

【技术保护点】
1.一种基于部分移动有限元节点的奇异最优控制联立求解方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤一：将控制时域等分成M个有限元，在每个有限元上采用P个正交配置点，将原奇异最优控制问题离散为非线性规划问题，求解非线性规划问题得到近似的最优控制曲线。步骤二：检测每个有限元上相邻配置点之间的非配置点上离散误差，若小于指定的容差ε1，则进行步骤三；否则在非配置点上插入有限元节点，重新求解非线性规划问题直到非配置点上的离散误差满足容差ε1为止，并将该步骤得到的最终的有限元个数记为N,有限元节点分布记为a1，a2，…，aN。步骤三：基于得到的近似最优控制曲线，计算各个有限元上切换函数，若切换函数的值与理论上的值不相符则插入新的有限元节点，并将新插入的有限元节点和控制变量一起作为待优化的变量进行寻优，得到改进后最优控制曲线。步骤四：基于改进后最优控制曲线，若第j个有限元上的控制曲线斜率大于预定的阈值，则删除该有限元，否则计算结束。步骤五：若步骤四中有过删除有限元，则固定剩下的所有有限元节点，重新优化控制曲线，并结束计算。

【技术特征摘要】
1.一种基于部分移动有限元节点的奇异最优控制联立求解方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤一：将控制时域等分成M个有限元，在每个有限元上采用P个正交配置点，将原奇异最优控制问题离散为非线性规划问题，求解非线性规划问题得到近似的最优控制曲线。步骤二：检测每个有限元上相邻配置点之间的非配置点上离散误差，若小于指定的容差ε1，则进行步骤三；否则在非配置点上插入有限元节点，重新求解非线性规划问题直到非配置点上的离散误差满足容差ε1为止，并将该步骤得到的最终的有限元个数记为N,有限元节点分布记为a1，a2，…，aN。步骤三：基于得到的近似最优控制曲线，计算各个有限元上切换函数，若切换函数的值与理论上的值不相符则插入新的有限元节点，并将新插入的有限元...

【专利技术属性】
技术研发人员：陈伟锋，任银银，
申请(专利权)人：浙江工业大学，
类型：发明
国别省市：浙江,33