一种三角函数框架下新WENO格式构造方法技术

一种三角函数框架下新WENO格式构造方法，一方面，用三角函数多项式构造的加权基本无振荡格式比用代数多项式构造的经典基本无振荡格式更易于模拟波类或高频振荡类问题，在光滑区域可以获得高阶数值精度，在激波和接触间断处保持基本无振荡的性质；另一方面，新的TWENO格式虽然和经典五阶WENO格式用了同样五个点的信息，但能得到更低的全局L

A new method of constructing WENO format under trigonometric function framework

A new method for constructing WENO schemes in the framework of trigonometric functions is presented. On the one hand, the weighted basic non-oscillatory schemes constructed by trigonometric polynomials are easier to simulate wave or high frequency oscillatory problems than the classical basic non-oscillatory schemes constructed by algebraic polynomials. On the other hand, although the new TWENO scheme uses the same five-point information as the classical fifth-order WENO scheme, it can get lower global L.

【技术实现步骤摘要】
一种三角函数框架下新WENO格式构造方法
本专利技术属于计算流体力学工程
，具体涉及了一种三角函数框架下新WENO格式构造方法。
技术介绍
在工程应用中，流场问题常常出现，比如气体动力系统和浅水建模等。因此，制定解决这类问题的鲁棒的、精确的、高效的数值模拟方法至关重要，也吸引了很多研究者的兴趣。1959年，Godunov为解流场问题提出了一阶精度的数值模拟格式。一阶精度的数值模拟方法在捕捉激波时不会出现非物理的数值振荡但会过度抹平强间断，而往往强间断对问题的后续研究有着重要意义，因此需引进高精度数值计算格式模拟强间断类问题。为了提高格式的精度，模拟解的结构以及准确的捕捉激波位置，Harten于1983年首次提出了TVD(TotalVariationDiminishing)格式，并在此基础上与Osher于1987年提出了ENO(EssentiallyNon-Oscillatory)高精度格式。ENO格式的主要思想是在逐次扩展的模板中选用最光滑的模板构造多项式求出单元边界处的值，进而在光滑区域达到高阶精度、高分辨率，同时在间断附近实现基本无振荡的效果。但是，在方法的实现过程中，ENO格式最终只选用所有候选模板中最优的模板，造成计算结果的浪费，且构造的精度越高浪费的越多，导致计算效率不高。因此，Liu，Osher和Chan等于1994年提出了WENO(WeightedEssentiailyNon-oscillatory)格式，提高了计算结果的利用率并且使得r阶精度的ENO格式提高到r+1阶精度。1996年，Jiang和Shu进一步改善了WENO格式，使得数值精度能够提高到2r-1阶，并设计出新光滑因子和非线性权的构造框架。WENO格式的主要思想是通过低阶重构通量的线性凸组合获得高阶近似。但该经典WENO格式的实现过程中，线性权依赖于母模板，且其求解过程相当复杂，因此，2016年Zhu和Qiu改善了该WENO格式，在维持精度不减的情况下，随机选取大于零且总和为一的线性权。这些格式已被成功地用到很多应用领域，特别是包含激波和复杂解结构的问题，比如模拟可压缩湍流系统和空气声学系统等。波类和高频振荡类问题在工程应用中常常出现。然而，对模拟此类问题的更适合的三角函数多项式插值WENO格式的研究较少。虽然Baron于1976年研究三角函数插值呈现了Neville类方法，Muhlbach提出了牛顿三角函数插值，但是这些成果不能直接应用于ENO类插值格式。为此，Christofi于1996年提出了能直接用于ENO格式中的三角函数重构方法。Zhu和Qiu于2010年提出了用三角函数多项式重构WENO格式的方法，但计算复杂，不易实现。
技术实现思路
本专利技术针对现有技术中的不足，提供一种三角函数框架下新WENO格式构造方法，能针对各种可压流场问题，进行高精度数值模拟。为实现上述目的，本专利技术采用以下技术方案：一种三角函数框架下新WENO格式构造方法，在笛卡尔坐标系下，利用TWENO格式对可压流场问题进行数值模拟，其特征在于，包括以下步骤：步骤一、把双曲守恒律方程离散为空间半离散的有限差分格式，采用TWENO格式重构通量的近似值；步骤二、对控制方程中的时间导数使用三阶TVDRunge-Kutta离散公式将半离散有限差分格式离散成时空全离散有限差分格式；步骤三、根据时空全离散有限差分格式得到下一时间层上的近似值，依次迭代，得到计算区域内终止时刻流场的数值模拟值。为优化上述技术方案，采取的具体措施还包括：所述步骤一中，双曲守恒律方程为：其半离散格式的形式为：其中，U＝(ρ，ρu，E)T表示守恒变量，f(U)＝(ρu，ρu2+p，u(E+p))T表示通量，Ut表示U对t求导，f(U)x表示f(U)对x求导，t表示时间变量，x表示空间变量，ρ、u、p、E分别表示流体密度、速度、压强、能量，T表示转置，U0表示初始状态值，L(U)表示-fx(U)的空间离散形式；把空间离散成统一长度的网格单元单元长度单元中心为其中i为坐标序号，有：其中，和分别表示通量f(U)在目标网格单元Ii的边界和处的五阶近似的数值通量，Ui(t)表示U在目标网格单元Ii内点xi处的值U(xi，t)。所述步骤一中，求通量f(U)在目标网格单元Ii的边界和处的五阶近似值和具体步骤如下：步骤1、采用Lax-Friedrichs分裂把通量分裂为其中，步骤2、将目标网格单元Ii以及其周围共五个网格单元组成一个大模板T1＝[Ii-2，Ii-1，Ii，Ii+1，Ii+2]，从大模板中选择两个包含两个单元的小模板T2＝[Ii-1，Ii]和T3＝[Ii，Ii+1]；步骤3、在T1、T2、T3每个模板上分别重构三角函数多项式p1(x)、p2(x)和p3(x)，使得：p2(x)，p3(x)∈span{1，sin(x-xi)}；步骤4、任意取三组线性权：γ1＝0.98，γ2＝0.01，γ3＝0.01；γ1＝1/3，γ2＝1/3，γ3＝1/3；γ1＝0.01，γ2＝0.495，γ3＝0.495；步骤5、计算光滑指示器βl，用于衡量重构多项式pl(x)在目标单元上的光滑度，计算公式为：其中，l＝1，2，3表示对应模板序号，表示多项式pl(x)对x的α阶导数，r1＝4，r2＝1，r3＝1；步骤6、通过线性权γl和光滑指示器βl计算非线性权ωl，其计算公式为：其中，τ为计算过程中的过渡值，ε＝10-6；步骤7、求出数值通量分裂f+(U)在点处的TWENO重构值：同理，求出数值通量分裂f-(U)在点处的TWENO重构值、数值通量分裂f+(U)在点处的TWENO重构值、数值通量分裂f-(U)在点处的TWENO重构值；将计算结果代入含有时间导数项的半离散有限差分格式，得到关于时间导数的常微分方程。所述步骤3中，具体步骤如下：步骤3.1、在三个模板T1、T2和T3上分别构造三角函数多项式p1(x)、p2(x)和p3(x)，使其满足：步骤3.2、得到每个模板上的三角函数插值多项式p1(x)、p2(x)和p3(x)，如下：其中，Ii-2、Ii-1、Ii、Ii+1、Ii+2分别表示第i-2、i-1、i、i+1、i+2个网格单元，分别表示f+(U)在点xi-2、xi-1、xi、xi+1、xi+2的值。所述步骤二中，利用三阶TVDRunge-Kutta离散公式：得到时空全离散有限差分格式，其中，U(1)，U(2)为中间过渡值，Δt为时间步长，上标n表示第n时间层，L(Um)，L(U(1))，L(U(2))为-fx(U)的高阶空间离散形式的近似值。所述步骤三中，时空全离散有限差分格式为关于时间层的迭代公式，初始状态值已知，通过迭代公式求出下一时间层的近似值，依次得到终止时刻计算区域内的数值模拟值。本专利技术的有益效果是：相比于WENO格式，该TWENO格式通过把三角函数多项式而不是代数多项式作为有限差分TWENO格式的构建模块，模拟了波类和高频振荡类可压流场问题，同时在光滑区域能够达到高阶精度；相比于已有三角函数多项式重构格式，该TWENO格式得到的全局L1截断误差与L∞截断误差更小，同时也避免了在强激波和接触间断处产生非物理振荡，该新五阶TWENO格式中的相关线性权不再需要通过复杂的计算得到而是被设为和为一的任意本文档来自技高网...

【技术保护点】
1.一种三角函数框架下新WENO格式构造方法，在笛卡尔坐标系下，利用TWENO格式对可压流场问题进行数值模拟，其特征在于，包括以下步骤：步骤一、把双曲守恒律方程离散为空间半离散的有限差分格式，采用TWENO格式重构通量的近似值；步骤二、对控制方程中的时间导数使用三阶TVD Runge‑Kutta离散公式将半离散有限差分格式离散成时空全离散有限差分格式；步骤三、根据时空全离散有限差分格式得到下一时间层上的近似值，依次迭代，得到计算区域内终止时刻流场的数值模拟值。

【技术特征摘要】
1.一种三角函数框架下新WENO格式构造方法，在笛卡尔坐标系下，利用TWENO格式对可压流场问题进行数值模拟，其特征在于，包括以下步骤：步骤一、把双曲守恒律方程离散为空间半离散的有限差分格式，采用TWENO格式重构通量的近似值；步骤二、对控制方程中的时间导数使用三阶TVDRunge-Kutta离散公式将半离散有限差分格式离散成时空全离散有限差分格式；步骤三、根据时空全离散有限差分格式得到下一时间层上的近似值，依次迭代，得到计算区域内终止时刻流场的数值模拟值。2.如权利要求1所述的一种三角函数框架下新WENO格式构造方法，其特征在于：所述步骤一中，双曲守恒律方程为：其半离散格式的形式为：其中，U＝(ρ，ρu，E)T表示守恒变量，f(U)＝(ρu，ρu2+p，u(E+p))T表示通量，Ut表示U对t求导，f(U)x表示f(U)对x求导，t表示时间变量，x表示空间变量，ρ、u、p、E分别表示流体密度、速度、压强、能量，T表示转置，U0表示初始状态值，L(U)表示-fx(U)的空间离散形式；把空间离散成统一长度的网格单元单元长度单元中心为其中i为坐标序号，有：其中，和分别表示通量f(U)在目标网格单元Ii的边界和处的五阶近似的数值通量，Ui(t)表示U在目标网格单元Ii内点xi处的值U(xi，t)。3.如权利要求2所述的一种三角函数框架下新WENO格式构造方法，其特征在于：所述步骤一中，求通量f(U)在目标网格单元Ii的边界和处的五阶近似值和具体步骤如下：步骤1、采用Lax-Friedrichs分裂把通量分裂为其中，步骤2、将目标网格单元Ii以及其周围共五个网格单元组成一个大模板T1＝[Ii-2，Ii-1，Ii，Ii+1，Ii+2]，从大模板中选择两个包含两个单元的小模板T2＝[Ii-1，Ii]和T3＝[Ii，Ii+1]；步骤3、在T1、T2、T3每个模板上分别重构三角函数多项式p1(x)、p2(x)和p3(x)，使得：p2(x)，p3(x)∈span{1，sin(x-xi)}；步骤4、任意取三组线性权：γ1＝0.98，γ2＝0...

【专利技术属性】
技术研发人员：王延萌，朱君，熊良林，
申请(专利权)人：南京航空航天大学，
类型：发明
国别省市：江苏,32