基于微分代数与高斯和的非线性系统状态偏差演化方法技术方案

本发明专利技术公开了一种基于微分代数与高斯和的非线性系统状态偏差演化方法，步骤包括：采用微分代数方法预报非线性系统的终端状态，并表示为关于初始状态偏差的高阶泰勒展开多项式；确定子高斯分布协方差矩阵，针对各个子高斯分布打靶拟合高斯和模型；计算子高斯分布高阶中心矩；确定各子高斯分布在终端时刻的均值和协方差矩阵，给出高斯和形式的终端状态偏差分布概率密度函数。本发明专利技术能够自动拓展至任意指定阶偏差演化精度，无需手动推导动力学方程的高阶偏导数，适用于非线性强和长时间预报的非线性系统偏差演化分析问题，在精确描述偏差分布及其非高斯性的同时，仍能保持相对Monte Carlo仿真方法的显著效率优势，具有使用方便、计算精度高的优点。

【技术实现步骤摘要】
基于微分代数与高斯和的非线性系统状态偏差演化方法
本专利技术涉及航天器轨道动力学领域，具体涉及一种基于微分代数与高斯和的非线性系统状态偏差演化方法，用于非线性系统的状态及其偏差预报。
技术介绍
航天器轨迹偏差演化技术是开展空间碰撞预警、航天器轨道确定、导航滤波以及航天器轨迹安全性分析与设计等航天任务的重要基础技术。轨迹偏差的预报精度直接影响了预警、定轨和导航结果的可信度，甚至决定着航天任务的成败。由于航天器轨道动力学模型的实质就是一个常微分方程组或状态转移方程形式的非线性系统，因此航天器轨迹偏差演化问题实质就是非线性系统状态偏差预报问题。经典的非线性系统偏差演化方法是线性化协方差分析方法和MonteCarlo仿真方法。线性化协方差分析法，先将非线性动力学系统线性化，再采用线性系统协方差分析方法进行偏差预报计算，该方法使用简单、计算量小，但是对强非线性系统或长时间偏差演化预报问题计算误差较大。MonteCarlo仿真方法，通过统计多次打靶试验结果可以得到高精度的状态偏差演化结果，但是使用该方法需要进行大量抽样仿真，计算量大，很多情况下计算效率难以满足任务需求。微分代数方法是一种在数值环本文档来自技高网...

【技术保护点】
一种基于微分代数与高斯和的非线性系统状态偏差演化方法，其特征为步骤包括：1)输入非线性系统的动力学方程、偏差演化阶数N、初始状态相对标称值

【技术特征摘要】
1.一种基于微分代数与高斯和的非线性系统状态偏差演化方法，其特征为步骤包括：1)输入非线性系统的动力学方程、偏差演化阶数N、初始状态相对标称值和初始偏差协方差矩阵P0；2)采用微分代数方法，针对非线性系统的动力学方程预报非线性系统的终端状态，并表示为关于初始状态偏差δx0的高阶泰勒展开多项式；3)针对初始偏差协方差矩阵P0确定子高斯分布协方差矩阵Pi，针对子高斯分布协方差矩阵Pi中的多个子高斯分布进行打靶拟合初始偏差分布生成高斯和模型；4)针对生成高斯和模型计算给定阶数的子高斯分布高阶中心矩；5)基于终端状态关于初始状态偏差的高阶多项式和子高斯分布的各阶中心矩，确定各子高斯分布在终端时刻的均值和协方差矩阵，进而给出高斯和形式的终端状态偏差分布概率密度函数。2.根据权利要求1所述的基于微分代数与高斯和的非线性系统状态偏差演化方法，其特征为，步骤1)中非线性系统的动力学方程为非线性映射形式xf＝f(x0)或常微分方程形式且所述非线性映射形式的函数f(·)或者常微分方程形式的函数g(·)均为任意从n维实数域Rn到Rn的非线性映射。3.根据权利要求1所述的基于微分代数与高斯和的非线性系统状态偏差演化方法，其特征为，步骤2)的详细步骤包括：2.1)将初始状态x0初始化为式(1)所示包含初始状态相对标称值的偏差形式；式(1)中，x0为初始状态，为初始状态相对标称值，δx0为初始偏差；2.2)将初始状态x0代入非线性系统的动力学方程，应用微分代数方法，求而出关于初始偏差δx0的高阶泰勒展开多项式描述的终端状态如式(2)所示；式(2)中，xf为终端状态，T为高阶泰勒展开多项式，T的上标N为偏差演化阶数、T的下标xf为高阶泰勒展开多项式描述的内容为终端状态，δx0为初始偏差。4.根据权利要求1所述的基于微分代数与高斯和的非线性系统状态偏差演化方法，其特征为，步骤3)的详细步骤包括：3.1)针对初始偏差协方差矩阵P0的逆进行Cholesky分解求平方根信息矩阵R0，且满足P0＝R0-1R0-T；3.2)给定子高斯分布的平方根信息矩阵的下界Rmin，求子高斯分布协方差矩阵Pi；3.3)将多个子高斯分布打靶生成高斯和模型来拟合初始高斯分布。5.根据权利要求4所述的基于微分代数与高斯和的非线性系统状态偏差演化方法，其特征为，步骤3.2)中求子高斯分布协方差矩阵Pi的详细步骤包括：3.2.1)采用式(3)所示函数表达式计算矩阵的奇异值分解，其中R0为初始偏差协方差矩阵，Rmin为子高斯分布的平方根信息矩阵的下界；式(3)中，Ui和Vi为标准正交矩阵，对角阵Si＝diag(σi1,...,σin)，其中对角线元素σi1,...,σin是正奇异值，R0为初始偏差协方差矩阵，Rmin为子高斯分布的平方根信息矩阵的下界；3.2.2)对任意k＝1,...,n，判断对角阵Si中的第k个对角线元素σik大于或等于1是否成立，如果成立则所求子高斯分布的平方根信息矩阵Ri为初始偏差协方差矩阵R0，跳转执行步骤3.2.5)；否则，跳转执行下一步；3.2.3)建立式(4)所示n维对角矩阵，删除n维对角矩阵的全0行，得到奇异值变化矩阵δSi；式(4)中，δSi_full为n维对角矩阵，σi1为对角阵Si中的第1个对角线元素，σin为对角阵Si中的第n个对角线元素；3.2.4)根据式(5)求取信息变化矩阵δRi，并根据式(6)求解子高斯分布的平方根信息矩阵Ri；δRi＝δSiViTRmin(5)式(5)中，δRi为信息变化矩阵，δSi为奇异值变化矩阵，Vi为标准正交矩阵，Rmin为子高斯分布的平方根信息矩阵的下界；式(6)中，Qi是标准正交矩阵，Ri是子高斯分布的平方根信息矩阵，δRi为信息变化矩阵，R0为初始偏差协方差矩阵。3.2.5)根据式(7)计算子高斯分布协方差相比初始高斯分布协方差的减小量；δPi＝P0-Pi＝R0-1R0-T-Ri-1Ri-T＝δYi(δYi)T(7)式(7)中，δPi为子高斯分布协方差相比初始高斯分布协方差的减小量，δYi为协方差减小量的平方根，δPi半正定且δYi是其矩阵平方根，δYi的函数表达式如式(8)所示；式(8)中，δYi为协方差减小量的平方根，R0为初始偏差协方差矩阵，δRi为信息变化矩阵，矩阵Rdi通过如式(9)所示QR分解得到；式(9)中，Qdi是标准正交矩阵，Rdi是上三角方阵，R0为初始偏差协方差矩阵，δRi为信息变化矩阵，I为n维单位矩阵；3.2.6)根据初始偏差协方差矩阵P0、子高斯分布协方差相比初始高斯分布协方差的减小量δPi确定子高斯分布协方差矩阵Pi。6.根据权利要求5所述的基于微分代数与高斯和的非线性系统状态偏差演化方法，其特征为，步骤3.3)的详细步骤包括：3.3.1)记nδY为协方差减小量的平方根矩阵δYi的列数、奇异值变化矩阵δSi的行数，设定打靶次数M作为子高斯分布个数，初始化i；3.3.2)记当前打靶次数为第i次；3.3.3)产生nδY维列向量ηi，其各分量服从标准高斯分布，且相互独立；3.3.4)根据μi＝μ0+δYiηi计算第i个子高斯分布的均值μi，其中μ0为初始状态均值，δYi为协方差减小量的平方根，ηi为nδY维列向量；3.3.5)确定第i个子高斯分布对应的平方根信息矩阵...

【专利技术属性】
技术研发人员：罗亚中，孙振江，张进，杨震，
申请(专利权)人：中国人民解放军国防科学技术大学，
类型：发明
国别省市：湖南,43