一种最优指数幂多项式插值滤波器系数的计算方法技术

本发明专利技术涉及一种最优指数幂多项式插值滤波器系数的计算方法，步骤包括，确定基带信号的归一化带宽和第一镜像的归一化频谱范围、确定去镜像低通滤波器的通带范围和阻带范围、确定指数幂多项式的个数和阶数并据此构造包含指数幂多项式系数的优化变量、定义一个理想低通滤波器、计算加权逼近误差、构造约束条件、建立关于指数幂多项式系数的约束优化问题和计算最优指数幂多项式的系数。本发明专利技术使拟合的去镜像低通滤波器既保留了具有线性相位和不引入样本间串扰的优点，又具有良好的阻带抑制特性。

【技术实现步骤摘要】
一种最优指数幂多项式插值滤波器系数的计算方法
本专利技术涉及数字信号处理
，特别涉及一种最优指数幂多项式插值滤波器系数的计算方法。
技术介绍
在数字通信系统中，实现分数倍数字上下变频功能和符号同步功能都需要对已知样本序列进行分数延迟采样，即从两个相邻已知样本之间的某个位置(由分数延迟量决定)采集一个新样本。然而，在已知样本序列中这样的样本是不存在的，因此，需要通过插值来获取这样的样本。从信号处理的角度分析，插值运算等价于如图1所示的混合数模/模数变换过程：首先，根据已知样本序列对原始连续信号进行重建；然后，根据新的采样速率对重建后的连续信号进行重采样，具体如下：样本序列x[n]通过理想DAC后得到一个连续信号x(t)：连续信号x(t)的频谱为：其中，F表示连续信号的频率，Fx表示采样频率。(1)式表明，X(F)是以Fx为周期的周期函数。由此可知，连续信号x(t)中存在以Fx为周期的镜像信号，而镜像信号的存在会导致重采样后出现频谱混叠问题。因此，需要在DAC后连接一个低通滤波器h(t)来滤除x(t)中的镜像信号。滤除镜像后就得到重建的原始连续信号y(t)：如图2所示，假设新样本序列的采样速率为：需要获取的新样本y[l]与已知样本序列x[nl]的时序关系为：tl＝lTy＝nlTx+μlTx(2)其中，nl是基准点序号，μl是分数延迟量，取值范围是μl∈[0,1)；按照(2)式的时序关系对y(t)进行重采样，得到：y[l]就是通过插值运算得到的位于已知样本x[nl]和x[nl+1]之间的新样本。从物理可实现的角度考虑，通常只选择基准点x[nl]前后有限个已知样本来近似重建y[l]附近的一段原始连续信号，近似重建信号表示为则有：其中，N1和N2为有限正整数。由(3)式可知，用于近似重建的样本数为：N＝N1+N2+1按照(2)式的时序关系对进行重采样，得到：对于冲激响应h[(n+μl)Tx]，一种易于工程计算的方法是通过指数幂多项式来拟合，拟合的冲激响应表示为则有：其中，c0(n),c1(n),…,cM(n)是多项式的系数，M是多项式的阶数。将(5)式代入(4)式可得：(6)式就是指数幂多项式插值滤波器的计算公式，其直接型实现结构(又称Farrow结构)如图3所示。直接型实现结构包含M+1个子滤波器，子滤波器的系数由指数幂多项式的系数组成，形式如下：csf(m)＝[cm(-N1),cm(-N1+1),…,cm(N2-1),cm(N2)]T,m＝0,1,…,M根据以上从混合数模/模数变换角度对插值运算的分析可知，设计插值滤波器的关键问题是设计一个具有良好频域响应特性的去镜像低通滤波器。而在指数幂多项式插值滤波器中，去镜像低通滤波器的冲激响应由一组指数幂多项式拟合得到。因此，设计指数幂多项式插值滤波器的关键就等价于计算一组指数幂多项式系数，使得通过这组指数幂多项式拟合得到的去镜像低通滤波器具有良好的频域响应特性。现有技术中有应用拉格朗日多项式来拟合去镜像低通滤波器的方法，通过这种方法拟合的去镜像低通滤波器具有线性相位、在插值过程中不会引入样本间串扰，并且对窄带镜像分量具有很强的抑制能力。但是，采用拉格朗日多项式拟合的去镜像低通滤波器对宽带镜像分量的抑制能力较差。如图4所示，由4个3阶拉格朗日多项式拟合的去镜像低通滤波器对归一化带宽在f＝0.8附近的镜像分量的抑制能力仅达到-35dB的水平；如图5所示，由6个5阶拉格朗日多项式拟合的去镜像滤波器对归一化带宽在f＝0.8附近的镜像分量的抑制能力也只能达到-45dB的水平。
技术实现思路
本专利技术的目的是，针对上述技术缺点，提供一种最优指数幂多项式插值滤波器系数的计算方法，使拟合的去镜像低通滤波器既保留具有线性相位和不引入样本间串扰的优点，又具有良好的阻带抑制特性。本专利技术通过以下技术方案实现：该方法的基本思想如下：第一步，通过N个一般指数幂多项式拟合出去镜像低通滤波器的冲激响应并根据计算出滤波器的真实幅频响应为保证滤波器具有线性相位，需要关于中心对称，即：由此可知，N为偶数。选取的一般指数幂多项式为：其中，c0,c1,…,cM为多项式的系数，M为多项式的阶数。用多项式近似计算冲激响应在区间[nTx,(n+1)Tx]上的值，得：进而，可得冲激响应在区间上的完整近似表达式：将多项式的系数分为两组，分别表示为：其中，表示实数集。在参数M、N和Tx已知的前提下，是时间t与多项式系数Cp和Cp′的函数，记作：滤波器的真实幅频响应为：根据的对称性可得：在参数M、N和Tx已知的前提下，是频率F和Cp的函数，记作：第二步，建立一个以多项式系数Cp为变量的约束优化问题。在这个约束优化问题中，滤波器的真实幅频响应按照相应的约束条件和优化准则逼近理想幅频响应Hd(F)，具体如下：首先，建立约束条件。为了保证在已知样本点处的插值无畸变，需要满足条件：为了保证在插值过程中不产生样本间串扰，需要满足条件：综上所述，需要满足的约束条件是：根据(7)式和(8)式可知，Cp需要满足如下约束条件：然后，建立优化问题的目标函数。定义在逼近域SF内任意频点F处真实幅频响应与理想幅频响应Hd(F)的加权逼近误差为：其中，W(F)为频点F处的逼近误差的加权系数。在参数W(F)和Hd(F)已知的前提下，ew(F)是的函数，记作：令目标函数为：ε＝f5[ew(F)]＝f5{f4[f3(F,Cp)]}其中，f5(·)与选定的优化准则相关。例如，采用最小二乘准则时，目标函数为：采用最佳一致逼近(又称为切比雪夫逼近)准则时，目标函数为：经过函数f5(·)的运算后，将消去变量F。因此，目标函数ε最终可以表示为多项式系数Cp的函数，记作：ε＝f(Cp)(10)根据(9)式和(10)式，可以建立如下关于多项式系数Cp的约束优化问题：第三步，计算最优指数幂多项式的系数。首先，求解(11)式的约束优化问题，得到一半最优指数幂多项式的系数Cp。根据Cp可得多项式的系数然后，利用的对称性计算另一半最优指数幂多项式的系数。具体方法如下：根据的对称性可得：p-1-n(1-μ)＝pn(μ)进而可得：Tc(-1-n)＝c(n)(13)其中，T是一个(M+1)×(M+1)的常数方阵。将(12)式代入(13)式，即可得到多项式的系数本专利技术的实施步骤为：第一步，确定基带信号的归一化带宽B和第一镜像的归一化频谱范围[1-B,1+B]。第二步，确定去镜像低通滤波器的通带范围和阻带范围参数K满足如下条件：其中，表示上取整。第三步，确定指数幂多项式的个数N和阶数M，定义多项式的系数向量为：根据c(n)构造如下优化变量c：第四步，定义如下理想低通滤波器Hd(f)：第五步，计算加权逼近误差。定义函数λ(k)为：基于函数λ(k)构造如下矩阵Λ：定义如下行向量v：v＝[0,0,…,0,0.5]1×(M+1)基于矩阵Λ和向量v构造如下矩阵V：定义如下频率域Sf：在Sf内均匀选取L个包含边界点的密集频点f0,f1,…,fL-1，并为每个频点对应的逼近误差选择一个加权系数w(fl)，l＝0,1,2,…,L-1，构造如下两个常量：d(fl)＝w(fl)Hd(fl)于是，可以计算出在频点fl处设计滤波器与理想滤波器的幅频响应的加权逼近误差为：ew(fl)＝2rT(fl本文档来自技高网...

【技术保护点】
一种最优指数幂多项式插值滤波器系数的计算方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤1)确定基带信号的归一化带宽B和第一镜像的归一化频谱范围[1‑B,1+B]；步骤2)确定去镜像低通滤波器的通带范围和阻带范围参数K满足如下条件：其中，表示上取整；步骤3)确定指数幂多项式的个数N和阶数M，定义多项式pn(μ)=Σm=0Mcm(n)μm,0≤μ≤1,n=0,1,...,N2-1]]>的系数向量为：c(n)=[cM(n),cM-1(n),...,c1(n),c0(n)]T,n=0,1,...,N2-1]]>根据c(n)构造如下优化变量c：c=[cT(0),cT(1),...,cT(N2-1)]T]]>步骤4)定义如下理想低通滤波器Hd(f)：Hd(f)=1,f∈[0,BK]0,f∈[1-BK,1+BK]]]>步骤5)计算加权逼近误差；定义函数λ(k)为：k＝0,1,2,…,K基于函数λ(k)构造如下矩阵Λ：Λ=λM(1)λM-1(1)...λ0(1)λM(2)λM-1(2)...λ0(2).........λM(K)λM-1(K)...λ0(K)]]>定义如下行向量v：v＝[0,0,…,0,0.5]1×(M+1)基于矩阵Λ和向量v构造如下矩阵V：定义如下频率域Sf：Sf=[0,BK]∪[1-BK,1+BK]]]>在Sf内均匀选取L个包含边界点的密集频点f0,f1,…,fL‑1，并为每个频点对应的逼近误差选择一个加权系数w(fl),l＝0,1,2,…,L‑1，构造如下两个常量：r(fl)=[w(fl),w(fl)cos(2πfl),...,w(fl)cos(2π(NK2fl))]T]]>d(fl)＝w(fl)Hd(fl)于是，可以计算出在频点fl处设计滤波器与理想滤波器的幅频响应的加权逼近误差为：ew(fl)＝2rT(fl)Vc‑d(fl)步骤6)构造约束条件；定义如下行向量：g0＝[λM(0),λM‑1(0),…,λ0(0)]1×(M+1)g1＝[λM(K),λM‑1(K),…,λ0(K)]1×(M+1)构造如下约束矩阵G和约束向量p：p=1000...00N×1]]>优化变量c需要满足的约束条件为：Gc＝p步骤7)建立关于指数幂多项式系数的约束优化问题；根据以下两种优化准则来确定目标函数：第一种是使总体逼近误差最小的最小二乘准则，第二种是使最大逼近误差最小的最佳一致逼近准则；如果采用最小二乘准则，则目标函数为：ϵ=Σl=0L-1|ew(fl)|2]]>如果采用最佳一致逼近准则，则目标函数为：ϵ=maxfl∈Sf|ew(fl)|]]>关于c的约束优化问题可描述如下：argmincϵs.t. Gc=p---(14)]]>步骤8)计算最优指数幂多项式的系数。...

【技术特征摘要】
1.一种最优指数幂多项式插值滤波器系数的计算方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤1)确定基带信号的归一化带宽B和第一镜像的归一化频谱范围[1-B,1+B]；步骤2)确定去镜像低通滤波器的通带范围和阻带范围参数K满足如下条件：其中，表示上取整；步骤3)确定指数幂多项式的个数N和阶数M，定义多项式的系数向量为：根据c(n)构造如下优化变量c：步骤4)定义如下理想低通滤波器Hd(f)：步骤5)计算加权逼近误差；定义函数λ(k)为：基于函数λ(k)构造如下矩阵Λ：定义如下行向量v：v＝[0,0,…,0,0.5]1×(M+1)基于矩阵Λ和向量v构造如下矩阵V：定义如下频率域Sf：在Sf内均匀选取L个包含边界点的密集频点f0,f1,…,fL-1，并为每个频点对应的逼近误差选择一个加权系数w(fl),l＝0,1,2,…,L-1，构造如下两个常量：d(fl)＝w(fl)Hd(fl)于是，可以计算出在频点fl处设计滤波器与理想滤波器的幅频响应的加权逼近误差为：ew(fl)＝2rT(fl)Vc-d(fl)步骤6)构造约束条件；定义如下行向量：g0＝[λM(0),λM-1(0),…,λ0(0)]1×(M+...

【专利技术属性】
技术研发人员：贺俊文，
申请(专利权)人：四川安迪科技实业有限公司，
类型：发明
国别省市：四川;51