一种非线性系统的稳定性评估及不确定性边界估计方法技术方案

本发明专利技术涉及非线性系统控制领域，更具体地说是一种非线性系统的稳定性评估及不确定性边界估计方法；步骤一：计算标称非线性控制系统在均衡点处的Jacobi矩阵，并依此描绘出闭环系统在均衡点的一阶Taylor展开形式，得到其高阶余项的数学描述以及系统在均衡点附近局部稳定的隐含状态约束；步骤二：根据系统状态构造Lyapunov函数V(x)＝x

【技术实现步骤摘要】
一种非线性系统的稳定性评估及不确定性边界估计方法


[0001]本专利技术涉及非线性系统控制领域，更具体地说是一种非线性系统的稳定性评估及不确定性边界估计方法。

技术介绍

[0002]现实世界的物理特性往往表述为非线性模型，在设计控制器时不可避免的会涉及模型的不确定性，例如模型误差、未知的系统参数、外部干扰等，从而导致控制性能的退化甚至不稳定。因而，从理论
‑
工程结合的视角出发，分析计算非线性控制系统的稳定区域与不确定性及控制边界具有重要的实际意义，特别是对于自动驾驶、无人飞行器和水下航行器等智能控制系统的安全、高效运行具有决定性价值；
[0003]由于实际控制系统中非线性和不确定性的存在，即使在系统动力学模型已知的情景下，复杂非线性所伴随的非凸性问题仍会导致直接精确计算系统的吸引域具有明显的困难。此外，未知不确定性会使控制器的闭环控制效用衰弱，无法精确建模其带来的影响，而传统的鲁棒控制往往蕴含着保守性。所以用吸引域的内近似估计代替精确的吸引域计算，将不确定性的可容许度量与闭环系统稳定性相联系、通过最大吸引域的估算过程刻画出状态依赖和无关的两类不确定性以及控制输入边界评估策略，对实际控制系统的鲁棒性分析与评估具有重要意义。

技术实现思路

[0004]本专利技术的目的是提供一种非线性系统的稳定性评估及不确定性边界估计方法，可以解决当前由于非线性模型的模型误差、未知的系统参数、外部干扰等不确定性，对控制器性能造成的退化甚至不稳定，需要可视化非线性控制系统的稳定区域与不确定性及控制边界的问题。
[0005]本专利技术的目的通过以下技术方案来实现：
[0006]一种非线性系统的稳定性评估及不确定性边界估计方法，该方法包括以下步骤：
[0007]步骤一：计算标称非线性控制系统在均衡点处的Jacobi矩阵，并依此描绘出闭环系统在均衡点的一阶Taylor展开形式，得到其高阶余项的数学描述以及系统在均衡点附近局部稳定的隐含状态约束；
[0008]步骤二：根据系统状态构造Lyapunov函数V(x)＝x
T
Px，求其导数，得到满足均衡点附近局部稳定性的可行解P；
[0009]步骤三：考虑局部状态有界性约束和/或其他物理约束影响，通过求解最优凸规划问题得到理想的最大次水平集参数c
*
，得到椭球V(x)≤c
*
为最大的吸引域内近似估计；
[0010]步骤四：对于具有状态依赖型不确定性的非线性闭环系统，设计基于仿真实验的方法，通过重复步骤一至三，求解该类不确定性的可容许边界估计；
[0011]步骤五：对于具有状态无关型不确定性的非线性闭环系统，采用凸松弛放缩技术，通过重复步骤一至三，求解该类不确定性的可容许边界估计；
[0012]步骤六：考虑具有基准控制输入的非线性闭环系统，依据步骤五所描述的思路，求解出此情景下的控制输入边界估计。
[0013]这里，步骤四至步骤六分别考虑状态依赖型不确定性、状态无关型不确定性以及基准输入下的控制信号不确定性三种不确定性情况，根据基于Lyapunov函数的非线性控制理论，分别刻画出控制系统的吸引域最大内近似以及相应的不确定性边界估计。
[0014]所述步骤一具体为：
[0015]对于一般的标称非线性控制系统假设通过坐标迁移等预处理方法能够保证其均衡点为原点，计算系统在均衡点处的Jacobi矩阵为
[0016]将闭环标称系统在均衡点处一阶Taylor展开为f(x)＝Ax+g(x)，其中高阶余项g(x)满足该条件作为均衡点局部线性化条件，通过施加约束||g(x)||≤γ||x||,γ>0来保证稳定性成立，计算吸引域大小。
[0017]所述步骤二具体为：
[0018]根据系统状态构造Lyapunov函数V(x)＝x
T
Px，对其求一阶导数能够得到：
[0019][0020]依据已知的均衡点处Jacobi矩阵A和给定的正定矩阵Q，通过求解Lyapunov方程A
T
P+PA＝
‑
Q<0能够得到可行解P，从而对进行凸放缩得到；
[0021][0022]根据步骤一可知对于||x||≤r有||g(x)||≤γ||x||成立，因而能够得出：
[0023][0024]选取保证严格成立，而就是系统稳定稳定性的判据，确定不等式中蕴含的局部状态约束为||x||≤r(γ)，局部稳定性定义在以原点为中心、r(γ)为半径的球体内。
[0025]所述步骤三具体为：
[0026]基于步骤二求出的可行解P以及选取得到局部稳定性的隐含状态约束||x||≤r(γ)；考虑吸引域的最大内近似为椭球V(x)≤c，其中参数c为子水平集参数，则需要优化待定参数c以确保内近似区域在状态约束范围内，具体通过求解如下凸优化问题得到：
[0027][0028]最终得到标称情形下非线性控制系统的最大吸引域内近似为：
[0029][0030]所述步骤四具体为：具有状态依赖型不确定性的非线性闭环系统，设计基于仿真实验的方法，通过重复步骤一至三，求解该类不确定性的可容许边界估计；
[0031]考虑状态依赖型不确定性φ(x,δ)的存在对控制系统的吸引域内近似估计的影响；
[0032]闭环系统在均衡点处的Jacobi矩阵为具体为：
[0033][0034]则不确定控制系统在均衡点处Taylor展开为:
[0035][0036]其中高阶余项g(x)满足
[0037]基于Lyapunov函数V(x)＝x
T
Px，根据已知的矩阵A和固定的Q，矩阵P满足Lyapunov方程
[0038]对应步骤三，保持矩阵Q的数值不变，则讨论稳定性时系统的收敛率不变，从而使得基于实验的不确定边界估计具有意义；
[0039]在该类不确定性的诱导下，参数的值发生改变直到Lyapunov方程无可行解P，无法进一步确定出参数使得稳定性分析没有意义，此时确定出相应的状态依赖型不确定性边界；
[0040]对于临界情景对应的可行解P
*
，求解如下的凸优化问题：
[0041][0042]最终得到状态依赖型不确定非线性控制系统的最大吸引域内近似为：
[0043][0044]所述步骤五具体为：具有状态无关型不确定性的非线性闭环系统，采用凸松弛放缩技术，通过重复步骤一至三，求解该类不确定性的可容许边界估计。
[0045]状态无关型不确定性β(t)的存在会对控制系统的吸引域内近似估计产生影响；
[0046]在其作用下，输入状态稳定性将作为该类不确定性边界估计的理论依据，||x(t)||≤f1(||x(0),t||)+d，其中f1表征类KL函数，d为一个非负常数；
[0047]该类不确定性对于非线性系统均衡点处的Jacobi矩阵计算不产生影响，因而能将非线性控制系统分解为f(x)＝Ax+g(x)本文档来自技高网...

【技术保护点】

【技术特征摘要】
1.一种非线性系统的稳定性评估及不确定性边界估计方法，其特征在于：该方法包括以下步骤：步骤一：计算标称非线性控制系统在均衡点处的Jacobi矩阵，并依此描绘出闭环系统在均衡点的一阶Taylor展开形式，得到其高阶余项的数学描述以及系统在均衡点附近局部稳定的隐含状态约束；步骤二：根据系统状态构造Lyapunov函数V(x)＝x
T
Px，求其导数，得到满足均衡点附近局部稳定性的可行解P；步骤三：考虑局部状态有界性约束和/或其他物理约束影响，通过求解最优凸规划问题得到理想的最大次水平集参数c
*
，得到椭球V(x)≤c
*
为最大的吸引域内近似估计；步骤四：分别考虑状态依赖型不确定性、状态无关型不确定性以及基准输入下的控制信号不确定性三种不确定性情况，根据基于Lyapunov函数的非线性控制理论，分别刻画出控制系统的吸引域最大内近似以及相应的不确定性边界估计。2.根据权利要求1所述的一种非线性系统的稳定性评估及不确定性边界估计方法，其特征在于：所述步骤一具体为：对于一般的标称非线性控制系统假设通过坐标迁移等预处理方法能够保证其均衡点为原点，计算系统在均衡点处的Jacobi矩阵为将闭环标称系统在均衡点处一阶Taylor展开为f(x)＝Ax+g(x)，其中高阶余项g(x)满足该条件作为均衡点局部线性化条件，通过施加约束||g(x)||≤γ||x||,γ>0来保证稳定性成立，计算吸引域大小。3.根据权利要求2所述的一种非线性系统的稳定性评估及不确定性边界估计方法，其特征在于：所述步骤二具体为：根据系统状态构造Lyapunov函数V(x)＝x
T
Px，对其求一阶导数能够得到：依据已知的均衡点处Jacobi矩阵A和给定的正定矩阵Q，通过求解Lyapunov方程A
T
P+PA＝
‑
Q<0能够得到可行解P，从而对进行凸放缩得到；根据步骤一可知对于||x||≤r有||g(x)||≤γ||x||成立，因而能够得出：选取保证严格成立，而就是系统稳定稳定性的判据，确定不等式中蕴含的局部状态约束为||x||≤r(γ)，局部稳定性定义在以原点为中心、r(γ)为半径的球体内。4.根据权利要求3所述的一种非线性系统的稳定性评估及不确定性边界估计方法，其特征在于：
所述步骤三具体为：基于步骤二求出的可行解P以及选取得到局部稳定性的隐含状态约束||x||≤r(γ)；考虑吸引域的最大内近似为椭球V(x)≤c，其中参数c为子水平集参数，则需要优化待定参数c以确保内近似区域在状态约束范围内，具体通过求解如下凸优化问题得到：最终得到标称情形下非线性控制系统的最大吸引域内近似为：5.根据权利要求1所述的一种非线性系统的稳定性评估及不确定性边界估计方法，其特征在于：具有状态依赖型不确定性的非线性闭环系统，设计基于仿真实验的方法，通过重复步骤一至三，求解该类不确定性的可容许边界估计。6.根据权利要求5所述的一种非线性系统的稳定性评估及不确定性边界估计方法，其特征在于：考虑状态依赖型不确定性φ(x,δ)的存在对控制系统的吸引域内近似估计的影响；闭环系统在均衡点处的Jacobi矩阵为具体为：则不确定控制系统在均衡点处Taylor展开为:其中高阶余项g(x)满足基于Lyapunov函数V(x)＝x
T
Px，根据已知的矩阵A和固定的Q，矩阵P满足Lyapunov方程对应步骤三，保持矩阵Q的数值不变，则讨论稳定性时系统的收敛率不变，从而使得基于实验的不确定边界估计具有意义；在该类不确定性的诱导下，参数的值发生改变直到Lyapunov方程无可行解P，无法进一步确定出参数使得稳定性分析没有意义，此时确定出相应的状态依赖型不确定性边界；对于临界情景对应的可行解P
*
，求解如下的凸优化问题：最终得到状态依赖型不确定非线性控制系统的最大吸引域内近似为：7.根据权利要求1所述的一种非线性系统的稳定性评估及不确定性边界估计方法，其
特征在于：具有状态无关型不确定性的非线性闭环系统，采用凸松弛放缩技术，通过重复步骤一至三，求解该类不确定性的可容许边界估计。8.根...

【专利技术属性】
技术研发人员：马仁杰，胡志坚，高亚斌，乔健鑫，陆嘉，
申请(专利权)人：哈尔滨工业大学，
类型：发明
国别省市：