一种基于插值小波的多分辨梁单元的构造方法技术

本发明专利技术公开了一种基于插值小波的多分辨梁单元的构造方法，从而显式建立了一种具有埃尔米特插值性质与精确重构低阶多项式能力的小波多分辨逼近格式。继而，以此逼近格式为位移插值函数，基于拉格朗日运动学定理推导得到了描述梁单元运动的控制方程，从而提出了一种基于插值小波的多分辨梁单元的构造方法，用于相关结构的力学分析。可通过调节单元的分辨率水平调控整体或局部的求解精度，无需复杂的网格划分；轴向自由度数量与横向自由度数量可独立配置，以实现不同工况下的最优求解；本发明专利技术提出的小波多分辨梁单元的求解效率明显优于目前常用的基于三次多项式插值的梁单元，尤其是在自由振动分析与屈曲分析中优势非常明显。是在自由振动分析与屈曲分析中优势非常明显。是在自由振动分析与屈曲分析中优势非常明显。

A construction method of multiresolution beam element based on interpolating wavelet

【技术实现步骤摘要】
一种基于插值小波的多分辨梁单元的构造方法


[0001]本专利技术属于有限元分析
，具体涉及一种基于插值小波的多分辨梁单元的构造方法。

技术介绍

[0002]杆件是土木工程、机械与航天航空等工程领域中常用的一种结构类型，在仿真模拟分析时，主要使用基于低阶多项式插值的梁单元对其进行力学分析。由于此类梁单元自身的分辨率水平无法调节，因此在求解中只能通过调整网格划分来调控结构分析精度，导致在实际应用中需反复调整网格划分才能获得满足要求的结果。而网格划分需消耗大量的时间，由此造成整体分析效率不高。特别是对于涉及裂纹或复杂载荷等存在局部大梯度的问题，生成所需的局部细化网格颇为耗时。同时，由于低阶多项式无法高效地逼近三角函数，导致上述以低价多项式为插值函数的梁单元在自由振动与屈曲分析中的效率不高。此外，在许多结构中杆件的轴向变形远比弯曲变形简单，且转角可由横向位移的一阶导数有效表征(欧拉伯努利梁理论)，显然对于此类问题只需使用较少的轴向自由度(相较于横向自由度)，并在杆件连接处与结构支撑处设置转角自由度即可满足要求。但在上述目前最常用的梁单元中，其轴向、横向与转角自由度数量总是相等，由此造成在这些结构分析中计算资源的浪费。
[0003]小波分析作为一种新型的数学工具，其最大的优势是具有局部多分辨分析特性。以小波级数为位移近似格式的有限元单元可以通过调控小波基函数的分辨率水平来便利地调节整体和局部分析，无需反复进行网格划分。特别是对于存在局部大梯度的问题，可以通过在相应的局部区域添加高分辨率水平的小波基函数来有效求解，无需进行局部细化有限元网格。这是一种优于传统网格加密与阶次升高的多分辨分析技术，具有优良的分析效率、求解精度与数值稳定性。然而，构造要求位移插值函数具有连续导数的小波梁单元并非易事。目前主要有两种构造途径，一是通过转换矩阵建立小波展开系数与节点位移之间的联系，如区间B样条小波梁单元，但这一方式需计算转换矩阵的逆，导致计算量大且存在数值失稳的风险(转换矩阵的可逆性依赖于单元内部节点分布)。另一方式是采用具有埃尔米特插值性质的三角小波来构造梁单元，但由于基于三角小波的位移插值函数无法精确重构低阶多项式，违背了有限元理论中所要求的位移插值函数需可精确表征刚体位移与常应变状态这一基本要求，因此存在解不收敛的风险，且其分析精度将会依赖于具体问题，如对于结构中经常出现的无横向载荷作用的梁，其分析精度从理论上来说不如采用低阶多项式插值的传统梁单元，因为此时后者可以获得数值意义上的精确解。

技术实现思路

[0004]本专利技术基于插值小波分析理论，提出了一种新型边界延拓方式，从而建立了一种具有埃尔米特插值性质与精确重构低阶多项式能力的小波多分辨逼近格式。继而，以此逼近格式为位移插值函数，基于拉格朗日运动学定理推导得到了描述梁单元运动与变形的控
制方程，从而建立了一种基于插值小波的多分辨梁单元的构造方法，用于相关结构的力学分析。本专利技术的详细技术方案如下：一种基于插值小波的多分辨梁单元的构造方法，计算过程按以下步骤进行：1）生成描述单元拉伸变形的内部节点：a.选定分析拉伸变形的基础分辨率水平，生成描述拉伸的基础节点，；b.在需要提高精度的区域添加局部节点；c.识别所有节点的二分点式表征参数p
t
(n)与k
t
(n)，其中函数p
t
(n)为不小于并使得为整数的最小整数；d.合并所有位于同一位置的节点，并将所有节点按坐标从小到大依次编号为；2）生成描述单元弯曲变形的内部节点：a.选定描述弯曲变形的基础分辨率水平，生成描述弯曲的基础节点；b.在需要提高精度的区域添加局部节点；c.识别所有节点的二分点式表征参数p
t
(n)与k
b
(n)，其中函数p
t
(n)为不小于并使得为整数的最小整数；d.合并所有位于同一位置的节点，并删除所有以及 或的局部节点，最后将所有节点按坐标从小到大依次编号为；3）生成单元形函数：基于单元内部节点，分别生成描述拉伸变形的单元形函数：式中：为二阶插值小波函数；同时生成描述弯曲变形的单元形函数：
其中式中为四阶插值小波函数；4）计算单元刚度矩阵：其中子矩阵各元素具体为：
其中与分别为梁单元的抗拉刚度与抗弯刚度，j
ku
和j
kw
为控制单元刚度矩阵积分精度的独立参数，l
e
为单元长度；其中，当抗拉刚度与抗弯刚度分别为常数时，有：和5）计算单元质量矩阵：其中子矩阵各元素具体为：其中为梁单元的线密度，j
u
和j
w
为控制单元质量矩阵积分精度的独立参数；其中，当线密度为常数时，有：
6）计算单元几何刚度矩阵：其中子矩阵各元素具体为：式中为梁单元的轴力，j
g
为控制单元几何刚度矩阵积分精度的独立参数；其中，当轴力为常数时，有：7）计算单元内部载荷的广义等效节点载荷：其中：式中
其中、与分别为梁单元上作用的轴向分布力，横向分布力与分布弯矩，j
p
、j
q
和j
θ
为控制载荷积分精度的独立参数，、与为梁单元内部的轴向集中力、横向集中力与集中弯矩，分别为其作用点；其中，当轴向分布力、横向分布力或分布弯矩均匀分布时，分别有：，或8）生成全局坐标系下的单元运动控制方程：式中整体坐标系下的质量矩阵、刚度矩阵、几何刚度矩阵与广义等效节点载荷分别为：广义节点位移与端部集中载荷的等效节点载荷分别为：广义节点位移与端部集中载荷的等效节点载荷分别为：其中坐标转换矩阵为，式中，，这里与
分别为单元起点与终点坐标，分别为单元起点处沿全局坐标系x方向的位移、y方向的位移与转角，分别为单元终点处沿全局坐标系x方向的位移、y方向的位移与转角，分别为作用在单元起点处沿全局坐标系x方向的集中力、y方向的集中力与集中弯矩，分别为作用在单元终点处沿全局坐标系x方向的集中力、y方向的集中力与集中弯矩；9）基于步骤8）获取的单元运动方程，依据标准有限元的分析流程直接组装获得结构的总体运动方程，求解便可获得整体广义节点位移，继而获得相应的单元节点位移，由此基于形函数重构获得单元位移场。
[0005]一、[0, 1]区间上C1型小波多分辨格式的构造基于插值小波多分辨理论，在[0, 1]区间上逼近连续函数f(x)的一个多分辨格式可写为：，其中θ(x) 为四阶插值小波，奇数集可为集合的任意子集，d
j,k
为展开系数。
[0006]上述展开格式中需用到实际中并不存在的域外节点值，，需结合边界延拓技术用域内节点值插值给出此四个虚拟节点值。但目前所有边界延拓技术只能保证改进后的插值格式具有C0连续性，即保证在x=0和1处，插值格式恒等于原函数，而无法保证其一阶导数值相等。
[0007]在区间与区间上分别基于节点值f(0)，f'(0)，构造三次艾米特插值多项式可得：
将上述值代入原小波多分辨近似格式可得：其中基函数从上述推导可以看出，为了保证本文档来自技高网...

【技术保护点】

【技术特征摘要】
1.一种基于插值小波的多分辨梁单元的构造方法，其特征在于，计算过程按以下步骤进行：1）生成描述单元拉伸变形的内部节点：a.选定分析拉伸变形的基础分辨率水平，生成描述拉伸的基础节点，；b.在需要提高精度的区域添加局部节点；c.识别所有节点的二分点式表征参数p
t
(n)与k
t
(n)，其中函数p
t
(n)为不小于并使得为整数的最小整数；d.合并所有位于同一位置的节点，并将所有节点按坐标从小到大依次编号为；2）生成描述单元弯曲变形的内部节点：a.选定描述弯曲变形的基础分辨率水平，生成描述弯曲的基础节点；b.在需要提高精度的区域添加局部节点；c.识别所有节点的二分点式表征参数p
t
(n)与k
b
(n)，其中函数p
t
(n)为不小于并使得为整数的最小整数；d.合并所有位于同一位置的节点，并删除所有以及或的局部节点，最后将所有节点按坐标从小到大依次编号为；3）生成单元形函数：基于单元内部节点，分别生成描述拉伸变形的单元形函数：式中：为二阶插值小波函数；同时生成描述弯曲变形的单元形函数：
其中式中为四阶插值小波函数；4）计算单元刚度矩阵：其中子矩阵各元素具体为：其中与分别为梁单元的抗拉刚度与抗弯刚度，j
ku
和j
kw
为控制单元刚度矩阵积分精度的独立参数，l
e
为单元长度；其中，当抗拉刚度与抗弯刚度分别为常数时，
有：和5）计算单元质量矩阵：其中子矩阵各元素具体为：其中为梁单元的线密度，j

【专利技术属性】
技术研发人员：刘小靖，刘聪，王记增，周又和，
申请(专利权)人：兰州大学，
类型：发明
国别省市：