一种基于启发式训练数据采样的偏微分方程数值求解方法技术

本发明专利技术公开一种基于启发式训练数据采样的偏微分方程数值求解方法，涉及人工智能和数值算法领域包括如下步骤：步骤1，设置偏微分方程和计算域，将方程信息输入神经网络，并训练网络至收敛；步骤2，利用基于启发式算法的训练数据增补采样方法，在误差较大区域循环增补训练数据点，直至满足预设条件；步骤3，完成训练，得到最终求解结果。本发明专利技术实现了基于启发式训练数据增补采样的偏微分方程数值求解方法，解决了偏微分方程神经网络求解方法局部求解精度不足的问题，提高了方程求解的精度；同时，本发明专利技术在使用时，通过。通过。通过。

【技术实现步骤摘要】
一种基于启发式训练数据采样的偏微分方程数值求解方法


[0001]本专利技术涉及人工智能和数值算法领域，具体的是一种基于启发式训练数据采样的偏微分方程数值求解方法。

技术介绍

[0002]偏微分方程是数学建模的常用工具之一，自然科学和应用科学中的许多实际问题都能以偏微分方程的形式建立数学模型。求解偏微分方程通常使用数值计算的方法，经典的偏微分方程数值计算方法包括有限差分法、有限元法等。在这些方法中，方程未知数的个数、网格的节点数以及计算的开销，都将随着偏微分方程的维数呈指数级增长，导致维数灾难。同时，传统数值计算方法仍存在网格剖分以及方程高阶离散的问题，对复杂方程的求解较为困难。
[0003]近年来随着人工智能技术的发展，涌现出一些基于深度神经网络的偏微分方程求解方法，此类方法无需对网格进行剖分，也无需对方程进行高阶离散，求解过程更加便捷。但此类方法在求解偏微分方程时，训练数据点通常在计算域内随机或均匀采样得到，这样的采样方式在许多问题的求解中存在较大的局部误差。因此，亟需一种能够改善采样点分布进而提升求解精度的新方法。
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【技术保护点】

【技术特征摘要】
1.一种基于启发式训练数据增补采样的偏微分方程数值求解方法，其特征在于，包括如下步骤：S1、设置偏微分方程和计算域，将方程信息输入神经网络，并训练网络至收敛；S2、利用基于启发式算法的训练数据增补采样方法，在误差较大区域循环增补训练数据点，直至满足预设条件；S3、完成训练，得到最终求解结果。2.根据权利要求1所述的一种基于启发式训练数据增补采样的偏微分方程数值求解方法，其特征在于，所述步骤S2包括：基于一般二维偏微分方程：基于一般二维偏微分方程：式中，u(x,y)为待求二维函数，x、y分别为横、纵坐标，F(
·
)表示线性或非线性组合的运算，f(x,y)为关于x、y的已知函数，Ω为计算域，为计算域边界，式(2)为边界条件，H(
·
)表示线性或非线性组合的运算，h(x,y)为关于x、y的已知函数，记式(1)和式(2)中等号左边部分分别为：分别为：依据上述PDE，将神经网络的损失函数设计为：式中，n、m分别为计算域内和边界上的采样点数，λ1、λ2为平衡计算域和边界采样点的权重，第一项对应PDE，第二项对应边界条件，为神经网络输出的解，网络的训练目标是得到Loss的最小值，随着迭代的进行，Loss逐渐收敛，当收敛完成时，认为网络的输出满足了PDE和边界条件，从而实现方程的求解。3.根据权利要求1所述的一种基于启发式训练数据增补采样的偏微分方程数值求解方法，其特征在于，所述步骤S2包括：S201、初始化候选的训练数据增补采样点；S202、更新候选增补采样点的速度、位置以及历史信息；S203、增补训练数据；S204、在增补后的训练集上训练；S205、满足预设条件时，终止采样点增补，否则重复步骤S202至S204。4.根据权利要求3所述的一种基于启发式训练数据采样的偏微分方程数值求解方法，其特征在于，所述步骤S201初始化候选的训练数据增补采样点，具体为：设候选训练数据增补采样点的规模为s，通过随机采样在计算域和边界上选取s个点，
得到各个点的坐标x
i
＝(x
i
,y
i
)以及各个点处对应的损失函数值Loss
i
(i＝0,1,2,
…
,s
‑
1)，为每个候选增补采样点设置初始速度初始速度以随机方式设置，记录各个候选点自身到达过的位置中最大的Loss值，记为Lpbi；记录所有候选点到达过的位置中最大的Loss值，记为Lgb。5.根据权利要求3所述的一种基于启发式训练数据采样的偏微分方程数值求解方法，其...

【专利技术属性】
技术研发人员：仲林林，王逸凡，吴冰钰，
申请(专利权)人：东南大学，
类型：发明
国别省市：