一种多重分辨率WENO格式结合ILW边界处理的定点快速扫描方法技术

本发明专利技术公开了一种多重分辨率WENO格式结合ILW边界处理的定点快速扫描方法，包括：把定常双曲守恒律问题转化为依赖时间的双曲守恒律问题，用新型的五阶ILW边界处理方法处理物面边界；将双曲守恒律方程空间部分用有限差分多重分辨加权基本无振荡格式离散；对控制方程中的时间部分用三阶龙格库塔方法和定点快速扫描法离散；根据时空全离散方法得到下一时间层每一个点的近似值，得到计算区域内守恒变量的残差在趋于稳定时的数值模拟结果。该方法能保持物面边界附近计算格式高阶精度不降低的优点，有效减少空间模板的使用数量和减少需要人为调整的参数，实施更加简单且易于实现。实施更加简单且易于实现。实施更加简单且易于实现。

【技术实现步骤摘要】
一种多重分辨率WENO格式结合ILW边界处理的定点快速扫描方法


[0001]本专利技术属于计算流体力学工程
，具体涉及一种多重分辨率WENO格式结合ILW边界处理的定点快速扫描方法。

技术介绍

[0002]双曲守恒律方程的稳态问题是流体力学领域中经常遇到的数学问题，在工程应用中也占据重要的位置。因此，构造解决此类问题的高鲁棒性和高精度数值模拟方法变得很重要，很多学者也在这一领域攻坚克难。由于实际的问题当中计算区域多种多样，导致其物理量残差很难收敛到机器零。因此设计一种可以使残差下降到机器零的物面边界的高精度算法显得格外重要。在计算大型定常问题时，虽然大型超级计算机的广泛应用可以使计算对时间没那么敏感，但在算法设计中，程序运行的效率依然非常重要。
[0003]为捕捉流场内的激波，很多激波捕捉格式被设计出来。Godunov最先提出了一阶精度的激波捕捉格式。一阶精度的数值方法能抑制非物理振荡但会把大梯度处过度抹平，而强间断对物理现象的描述十分重要，因此需构造高阶精度的数值格式来更精确捕捉强间断。Harten于1983年首次提出了全变差减少(TVD)格式，之后Osher接着提出了本质无振荡格式(ENO)格式。ENO格式的主要思想是在逐次扩展的模板中选用最光滑的模板构造多项式求出单元半点的值，进而在光滑区域达到高阶精度，同时在间断附近实现基本无振荡的效果。但通过格式的构造过程可以看到，ENO格式是选用所有候选模板中的最优模板，其他的模板全部浪费掉，且数值精度越高浪费得越多，严重影响了计算效率。为了提高模板更有效的使用，Liu，Osher和Chan等于1994年提出了加权本质无振荡(WENO)格式，提高了一阶的计算精度。1996年，Jiang和Shu进一步改善了WENO格式，使得数值精度能够提高到2r-1阶，并设计出了光滑因子和非线性权的构造框架。WENO格式的主要思想是通过低阶重构通量的线性凸组合获得高阶近似。但该经典WENO格式的实现过程中，线性权的计算复杂，且在很多定常问题中残差无法下降到机器零。因此，2018年Zhu和Shu提出了多重分辨WENO格式，通过设计了不等距模板，让线性权可以任取为和为1的正数，且在光滑区域格式的数值精度保持最优，可使许多经典的定常问题算例残差可以下降到接近机器零。
[0004]但是对于复杂的计算区域的数值模拟，有限差分方法最大的困难就是物面边界的处理。目前非贴体网格的主要方法有浸入边界法、嵌入边界法、SharpInterface方法、虚拟单元法。但这些方法都有各自的局限性，而且有一个共同的缺点，数值精度达不到高阶。于是2010年Sirui Tan提出了ILW边界处理方法，通过泰勒展开构造虚拟流场点上的值，耦合高阶WENO外推成功模拟了静止和运动物体的流动问题，数值结果显示对于静止问题可以达到五阶精度，对于运动问题可以达到三阶精度。之后ILW边界处理方法又被推广到了求带源项的欧拉方程，使得求解带粘性的NS方程也成为可能。后来又被改进为了简化的ILW边界处理方法，即高阶导数可直接由多项式外推得到，不用ILW过程依然不影响精度。
[0005]对于欧拉方程经典的三阶TVD Runge-Kutta时间离散，迭代次数较多和迭代的CPU
时间较长，迭代效率有些低。为了提高迭代效率，于是在时间离散上提出了很多新的离散方法，比如快速行进算法和快速扫描算法。快速行进算法是让解严格按照递增或递减的顺序更新点值，这又会增加排序的时间复杂度。为了继续加快迭代效率就提出了快速扫描算法。与快速行进法相比，快速扫描法是一种并行的算法。由迎风性扫描覆盖了每一个特征方向，这样就省去了排序的时间，再结合Gauss-Seidel迭代，可以很大程度加快迭代的收敛。快速扫描法最开始使被用来求解静态的Hamilton-Jacobi方程。2016年Wu和Zhang将该快速扫描算法应用到求解双曲守恒律方程，也可以明显地加快格式的迭代速度。2020年Li和Zhu又将该算法与多重分辨WENO结合求解简单计算区域的定常流问题，达到了快速的完全收敛。

技术实现思路

[0006]本专利技术所要解决的技术问题是针对上述现有技术的不足，提供一种多重分辨率WENO格式结合ILW边界处理的定点快速扫描方法。
[0007]为实现上述技术目的，本专利技术采取的技术方案为：
[0008]一种多重分辨率WENO格式结合ILW边界处理的定点快速扫描方法，其特征在于，所述方法用于针对多种复杂计算区域的可压定常流场问题进行高精度数值模拟，包括：
[0009]步骤1.在笛卡尔坐标系下，把定常双曲守恒律问题转化为依赖时间的双曲守恒律问题，用新型的五阶ILW边界处理方法处理物面边界；
[0010]步骤2.将双曲守恒律方程空间部分用有限差分多重分辨加权基本无振荡格式进行离散；
[0011]步骤3.对控制方程中的时间部分用三阶龙格库塔方法和定点快速扫描法离散成全离散的有限差分格式；
[0012]步骤4.根据时空全离散方法得到下一时间层每一个点的近似值，依次迭代，得到计算区域内守恒变量的残差在趋于稳定时的数值模拟结果。
[0013]为优化上述技术方案，采取的具体措施还包括：
[0014]上述的步骤1中，对于一维双曲守恒律方程：
[0015][0016]其半离散格式的形式为：
[0017][0018]其中，U＝(ρ,ρu,E)
T
表示守恒变量，f(U)＝(ρu,ρu2+p,u(E+p))
T
表示通量，U
t
表示U对t求导，f(U)
x
表示f(U)对x求导，ρ，u，p，E分别表示流体密度，速度，压强，能量，T表示转置，U0表示初始状态值，L(U)表示-f
x
(U)的空间离散形式；
[0019]把空间离散成统一长度的网格单元单元长度单元中心为其中i为坐标序号，a+h/2＝x0＜x1＜...＜x
N
＝b－h/2。
[0020]上述的步骤1中，用新型的五阶ILW边界处理方法处理物面边界，物面边界外的虚拟点用ILW边界处理,虚拟点由物面边界点经泰勒展开求出，包括：
[0021]步骤1.1虚拟点用泰勒展开公式求出，U的第m个分量在点x
N+1
处的值为：
[0022][0023]然后通过已知的边界条件确定该边界是出流还是入流，如果U1(b,t)＝g1(t),U2(b,t)＝g2(t)，那么第一个和第二个分量为入流边界；
[0024]入流边界用时间导数转换成空间导数求，出流边界用多项式外推求得；
[0025]记L(U
N
)为的左特征向量；
[0026]记(V3)
j
＝l3(U
N
)U
j
，j＝N,N-1,...,N-4.用这五个点通过新的WENO外推求出k＝0,1,2
[0027]3,4.用g1,g2和通过原方程求出边界点的各阶导数；
[0028]步本文档来自技高网...

【技术保护点】

【技术特征摘要】
1.一种多重分辨率WENO格式结合ILW边界处理的定点快速扫描方法，其特征在于，所述方法用于针对多种复杂计算区域的可压定常流场问题进行高精度数值模拟，包括：步骤1.在笛卡尔坐标系下，把定常双曲守恒律问题转化为依赖时间的双曲守恒律问题，用新型的五阶ILW边界处理方法处理物面边界；步骤2.将双曲守恒律方程空间部分用有限差分多重分辨加权基本无振荡格式进行离散；步骤3.对控制方程中的时间部分用三阶龙格库塔方法和定点快速扫描法离散成全离散的有限差分格式；步骤4.根据时空全离散方法得到下一时间层每一个点的近似值，依次迭代，得到计算区域内守恒变量的残差在趋于稳定时的数值模拟结果。2.根据权利要求1所述的一种多重分辨率WENO格式结合ILW边界处理的定点快速扫描方法，其特征在于，步骤1中，对于一维双曲守恒律方程：其半离散格式的形式为：其中，U＝(ρ,ρu,E)
T
表示守恒变量，f(U)＝(ρu,ρu2+p,u(E+p))
T
表示通量，U
t
表示U对t求导，f(U)
x
表示f(U)对x求导，ρ，u，p，E分别表示流体密度，速度，压强，能量，T表示转置，U0表示初始状态值，L(U)表示-f
x
(U)的空间离散形式；把空间离散成统一长度的网格单元单元长度单元中心为其中i为坐标序号，a+h/2＝x0＜x1＜...＜x
N
＝b－h/2。3.根据权利要求2所述的一种多重分辨率WENO格式结合ILW边界处理的定点快速扫描方法，其特征在于，步骤1中，用新型的五阶ILW边界处理方法处理物面边界，物面边界外的虚拟点用ILW边界处理,虚拟点由物面边界点经泰勒展开求出，包括：步骤1.1虚拟点用泰勒展开公式求出，U的第m个分量在点x
N+1
处的值为：然后通过已知的边界条件确定该边界是出流还是入流，如果U1(b,t)＝g1(t),U2(b,t)＝g2(t)，那么第一个和第二个分量为入流边界；入流边界用时间导数转换成空间导数求，出流边界用多项式外推求得；记L(U
N
)为的左特征向量；记(V3)
j
＝l3(U
N
)U
j
，j＝N,N-1,...,N-4.用这五个点通过新的WENO外推求出
3,4.用g1,g2和通过原方程求出边界点的各阶导数；步骤1.2通过原方程时间和空间的转换得到方程：通过(4)这个线性方程求出边界值的一阶导数，其余各阶导数也同样的方式求出；然后代入(3)式求出物面边界附近虚拟点的值。4.根据权利要求3所述的一种多重分辨率WENO格式结合ILW边界处理的定点快速扫描方法，其特征在于，V
m*(k)
的具体计算步骤如下：步骤a：选取三个模板T3＝[I
N-4
,I
N-3
,I
N-2
,I
N-1
,I
N
]，T2＝[I
N-2
,I
N-1
,I
N
]，T1＝[I
N
]。在每个模板上分别重构代数多项式q1(x)、q2(x)和q3(x)，使得其在单元边界有一阶，三阶，五阶精度；步骤b：计算光滑指示器β
l
，用于衡量重构多项式p
l
(x)在目标单元上的光滑度，计算公式为：其中l＝2,3表示对应模板序号，表示多项式p
l
(x)对x的α阶导数，r＝2，但是β1＝0；步骤c：通过线性权γ
l
和光滑指示器β
l
计算非线性权ω
l
，其计算公式为：其中l＝1,2,3表示对应模板序号，τ为计算过程中的过渡值，β
l
为光滑指示器，ε＝10-6
防止分母为零；步骤d：通过非线性权和多项式函数p,可以得到V函数的各阶导数：5.根据权利要求4所述的一种多重分辨率WENO格式结合ILW边界处理的定点快速扫描方法，其特征在于，步骤a具体过程如下：在三个模板T1、T2和T3上分别构造代数多项式q1(x)，q2(x)和q3(x)，使其满足:(x)，使其满足:
取线性权为:γ
12
＝1/11,γ
22
＝10/11，γ
13
＝1/111，γ
23
＝10/111，γ
33
＝100/111.重新构造出p1(x)，p2(x)和p3(x)，满足：p1(x)＝q1(x)，
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(8)(8)6.根据权利要求1所述的一种多重分辨率WENO格式结合ILW边界处理的定点快速扫描方法，其特征在于，步骤1中，对于二维双曲守恒律方程：其半离散格式的形式为其中，U＝(ρ,ρu,ρv,E)
T
表示守恒变量，F(U)，G(U)是通量，F(U)＝(ρu,ρu2+p,ρuv,u(E+p))
T G(U)＝(ρu,ρuv,ρv2+p,v(E+p))
T
，U
t
表示U对t求导，f(U)
x
表示f(U)对x求导，G(U)
y
表示f(U)对y求导，ρ，u，v,p,E分别表示流体密度，速度，压强，能量，T表示转置，U0表示初...

【专利技术属性】
技术研发人员：李良，朱君，
申请(专利权)人：南京航空航天大学，
类型：发明
国别省市：