一种时变超定线性方程组的最小二乘解求解方法技术

本发明专利技术公开了一种时变超定线性方程组的最小二乘解求解方法，包括如下步骤：1)将时变超定线性方程组转化为时变矩阵方程；2)将步骤1)的时变矩阵方程转化为对应的正规方程组；3)给出步骤2)的正规方程组的误差监测函数，将求解正规方程组转化为求解最优化问题；4)根据神经动力学设计方法给出对应变参神经动力学设计；5)代入步骤3)的误差监测函数，将步骤4)所得的变参神经动力学设计转化为变参收敛微分神经网络求解器，并对步骤3)的最优化问题进行求解。所述方法基于神经动力学对时变超定线性方程组进行求解，具有收敛速度更快、鲁棒性更强、收敛准确度更高、实用性更好的优点。

【技术实现步骤摘要】
一种时变超定线性方程组的最小二乘解求解方法
本专利技术涉及时变超定线性方程组求解领域，具体涉及一种基于神经动力学的时变超定线性方程组的最小二乘解求解方法。
技术介绍
时变超定线性方程组是指线性约束方程数量大于自由变量数量的线性方程组，其在大部分情况下无法求解出精确解，故一般求解其最小二乘解。求解超定线性方程组被广泛应用于线性回归问题、Steklov特征值问题、无线通信问题等。一般的时变超定线性方程组的最小二乘解求解问题可以描述为：其中方程组的维度满足方程组数目m大于自变量数目n，也即m>n；时变参数aij(t)和bi(t)随时间变化(i∈1,2,…,m，j∈1,2,…,n)；连续时间集t∈[0,+∞)。对于该问题可以由传统的数学方法进行求解，然而这些方法在超定线性方程组的系数矩阵变得十分大时会变得不够高效。此外现存的大部分文献中所讨论的超定线性方程组求解往往都是在时不变系统下的，即所求解超定线性方程组对应矩阵方程中的系数矩阵和系数向量都是随时间推移不会发生变化的，而且这些方法大部分也是基于静态系统设计的。这也就意味着，当将这些方法直接应用到时变系统中时，它们也许会变得不够高效、准确和稳定。因此随着求解线性时变系统问题的需求变得越来越普遍和重要，利用更加高效并适合应用于时变系统的求解器也变得越来越紧要。
技术实现思路
本专利技术的目的是针对现有技术的不足，提供了一种时变超定线性方程组的最小二乘解求解方法，所述方法基于神经动力学对时变超定线性方程组进行求解，具有收敛速度更快，鲁棒性更强，收敛准确度更高，与实际情况更符合的优点。本专利技术的目的可以通过如下技术方案实现：一种时变超定线性方程组的最小二乘解求解方法，所述方法包括以下步骤：1)将时变超定线性方程组转化为时变矩阵方程；2)将步骤1)的时变矩阵方程转化为对应的正规方程组；3)给出步骤2)的正规方程组的误差监测函数，将求解正规方程组转化为求解最优化问题；4)根据神经动力学设计方法给出对应变参神经动力学设计；5)代入步骤3)的误差监测函数，将步骤4)所得的变参神经动力学设计转化为变参收敛微分神经网络求解器，并对步骤3)的最优化问题进行求解。进一步地，所述步骤1)中的时变超定线性方程组为：其中方程组的维度满足方程组数目m大于自变量数目n，也即m>n；时变参数aij(t)和bi(t)随时间变化，其中i∈1,2,…,m，j∈1,2,…,n；连续时间集t∈[0,+∞)；由其转化为的时变矩阵方程为：A(t)x(t)＝b(t)其中系数矩阵以及系数向量分别为：其中Rm×n表示维度为m×n维。进一步地，所述步骤2)把时变矩阵方程同时左乘系数矩阵A(t)的转置，转化为其对应的正规方程组，即为：G(t)x(t)＝h(t)其中G(t)＝AT(t)A(t)∈Rn×n是一个方阵，h(t)＝AT(t)b(t)∈Rn，上标T表示矩阵的转置。进一步地，所述步骤3)给出正规方程组的误差监测函数为：ε(t)＝G(t)x(t)-h(t)∈Rn为了求解时变超定线性方程组的最小二乘解，将求解正规方程组转化为求解最小化的最优化问题，其中||·||2表示向量的2-范数。进一步地，所述步骤4)给出的变参神经动力学设计为：其中γ>0为设计参数，Φ(·):Rn→Rn表示一个单调递增的奇激励函数处理阵列，exp(t)＝et为指数函数。进一步地，所述步骤5)中将误差监测函数代入到变参神经动力学设计，得到并利用变参收敛微分神经网络求解器来求得时变超定线性方程组的最小二乘解，其中变参收敛微分神经网络求解器为：其中为G(t)的导数，为h(t)的导数，由于变参收敛微分神经网络求解器中γexp(t)>0随时间会发生变化，故该模型是变参的，利用该模型能够迭代最终求得时变超定线性方程组的最小二乘解。本专利技术与现有技术相比，具有如下优点和有益效果：本专利技术提供的一种时变超定线性方程组的最小二乘解求解方法，基于神经动力学对时变超定线性方程组进行求解，具有收敛速度更快、鲁棒性更强、收敛准确度更高、实用性更好的优点。附图说明图1为本专利技术实施例的时变超定线性方程组的最小二乘解求解方法流程图。图2为本专利技术实施例所使用的变参收敛微分神经网络模型拓扑结构图。具体实施方式下面结合实施例及附图对本专利技术作进一步详细的描述，但本专利技术的实施方式不限于此。实施例：本实施例提供了一种时变超定线性方程组的最小二乘解求解方法，所述方法的流程如图1所示，包括以下步骤：1)将时变超定线性方程组转化为时变矩阵方程；2)将步骤1)的时变矩阵方程转化为对应的正规方程组；3)给出步骤2)的正规方程组的误差监测函数，将求解正规方程组转化为求解最优化问题；4)根据神经动力学设计方法给出对应变参神经动力学设计；5)代入步骤3)的误差监测函数，将步骤4)所得的变参神经动力学设计转化为变参收敛微分神经网络求解器，并对步骤3)的最优化问题进行求解。图2所示为所述变参收敛微分神经网络模型的拓扑结构图，输入为时变超定线性方程组的系数矩阵A(t)和系数向量b(t)，输出为时变超定线性方程组的最小二乘解x(t)。图中A(t)为系数矩阵b(t)为系数向量，G(t)＝AT(t)A(t)∈Rn×n是一个方阵，h(t)＝AT(t)b(t)∈Rn为一矢量，的导数，为h(t)的导数；γ>0为设计参数，et为指数函数，Φ(·):Rn→Rn表示一个单调递增的奇激励函数处理阵列，I为单位矩阵，∫表示积分运算，表示微分运算，+表示加法运算，-表示减法运算以及×表示乘法运算。一个一般性质的时变线性方程组可以写成如公式(1)所示的形式：其中方程组的维度满足方程组数目m大于自变量数目n，也即m>n；时变参数aij(t)和bi(t)随时间变化(i∈1,2,…,m，j∈1,2,…,n)；连续时间集t∈[0,+∞)；由其转化为的时变矩阵方程为：A(t)x(t)＝b(t)(2)其中系数矩阵以及系数向量分别为：其中Rm×n表示维度为m×n维。为了求得矩阵方程(2)的最小二乘解，我们可以同时在公式(2)的等号两端同时左乘AT(t)，则可以得到如公式(3)所示的新的矩阵方程，也称为正规方程组：G(t)x(t)＝h(t)(3)其中G(t)＝AT(t)A(t)∈Rn×n是一个方阵，h(t)＝AT(t)b(t)∈Rn。可以通过求解公式(3)来求得时变超定线性方程组的最小二乘解x*(t)：其中，ε(t)＝G(t)x(t)-h(t)∈Rn,t∈[0,+∞)(5)为正规方程组的误差监测函数，上标T表示矩阵的转置，||·||2表示向量的2-范数。于是正规方程组的求解问题转化为求解最小化的最优化问题；表示求解相应函数式取得最小的时候所对应的最优状态解值x*(t)。根据神经动力学设计方法，可以给出一个如公式(6)所示的变参神经动力学设计：其中γ>0为设计参数，Φ(·):Rn→Rn表示一个单调递增的奇激励函数处理阵列，exp(t)＝et为指数函数。最后，将公式(5)代入公式(6)后，我们可以得到如公式(7)所示的隐式动态微分方程，即针对时变超定问题的变参收敛微分神经网络求解器：其中为G(t)的导数，为h(t)的导数，值得指出的是，变参收敛微分神经网络求解器中γexp(t)>0随时间会发生变化，故称该模型是本文档来自技高网...

【技术保护点】
1.一种时变超定线性方程组的最小二乘解求解方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：1)将时变超定线性方程组转化为时变矩阵方程；2)将步骤1)的时变矩阵方程转化为对应的正规方程组；3)给出步骤2)的正规方程组的误差监测函数，将求解正规方程组转化为求解最优化问题；4)根据神经动力学设计方法给出对应变参神经动力学设计；5)代入步骤3)的误差监测函数，将步骤4)所得的变参神经动力学设计转化为变参收敛微分神经网络求解器，并对步骤3)的最优化问题进行求解。

【技术特征摘要】
1.一种时变超定线性方程组的最小二乘解求解方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：1)将时变超定线性方程组转化为时变矩阵方程；2)将步骤1)的时变矩阵方程转化为对应的正规方程组；3)给出步骤2)的正规方程组的误差监测函数，将求解正规方程组转化为求解最优化问题；4)根据神经动力学设计方法给出对应变参神经动力学设计；5)代入步骤3)的误差监测函数，将步骤4)所得的变参神经动力学设计转化为变参收敛微分神经网络求解器，并对步骤3)的最优化问题进行求解。2.根据权利要求1所述的一种时变超定线性方程组的最小二乘解求解方法，其特征在于，所述步骤1)中的时变超定线性方程组为：其中方程组的维度满足方程组数目m大于自变量数目n，也即m>n；时变参数aij(t)和bi(t)随时间变化，其中i∈1,2,…,m，j∈1,2,…,n；连续时间集t∈[0,+∞)；由其转化为的时变矩阵方程为：A(t)x(t)＝b(t)其中系数矩阵以及系数向量分别为：其中Rm×n表示维度为m×n维。3.根据权利要求2所述的一种时变超定线性方程组的最小二乘解求解方法，其特征在于，所述步骤2)把时变矩阵方程同时左乘系数矩阵A(t)的转置，转化为其对应的正规方程组，即为：G(t)x(t)＝h(t)其中G...

【专利技术属性】
技术研发人员：张智军，邱泰儒，郑陆楠，
申请(专利权)人：华南理工大学，
类型：发明
国别省市：广东,44