一种线性高阶比例制导系统脱靶量的幂级数解技术方案

本发明专利技术公开一种线性高阶比例制导系统脱靶量的幂级数解，步骤一：高阶线性比例制导系统建模。步骤二：求解伴随系统的微分方程的幂级数解；包括求解幂级数解系数递推公式和幂级数收敛半径。步骤三：选择合适指数项衰减常数k。本发明专利技术优点在于：(1)推导了一般高阶比例制导系统脱靶量的幂级数解系数的递推关系；对于不同有效导引比、不同形式的高阶制导系统，幂级数解系数递推求解过程具有一致性。(2)求出了幂级数的收敛半径并给出了指数型衰减常数的选取方案；利用收敛幂级数的部分和可以得到脱靶量解析的、形式统一的逼近公式。(3)给出的幂级数解是脱靶量一种精确的解的形式，可用来研究脱靶量的性质以及寻找某些特殊条件下的解析解。

【技术实现步骤摘要】
一种线性高阶比例制导系统脱靶量的幂级数解
本专利技术提供了一种线性高阶比例制导系统脱靶量的幂级数解，属于航天技术、武器

技术介绍
比例导引是最经典的制导律，由于其简洁、有效和易于物理实现，目前世界上战术导弹几乎都采用比例导引制导。导弹通常包含导引头、弹体环节、自动驾驶仪等系统，数学上最简化的导弹制导系统也要三阶微分方程来描述，很难得到这些高阶微分方程的解析解(有限项初等函数显示表示)，所以一般采用计算机数值仿真的方法来研究比例导引制导系统。脱靶量是衡量导弹拦截目标或者目标逃逸策略的最重要最直观的性能指标，也是设计分析制导系统的关键核心。利用伴随法进行数值仿真是评估导弹系统设计和求解脱靶量的通用方法。对于线性一阶比例导引制导系统，当有效导引比为正整数时，利用伴随方程可直接得到脱靶量的解析解；但是对于一般的高阶制导系统，并不存在脱靶量的解析解。幂级数法是求解常微分方程组的有效手段，通常先假设微分方程的解为系数待定的收敛的幂级数，然后将其代入微分方程，利用幂级数恒等条件，得到待定系数序列的递推关系；通常还要求出该幂级数的收敛半径，以确定幂级数解的适用区间。幂级数法在求解特殊线性微分方程、非线性微分方程和实际工程问题中都有重要应用。但是利用幂级数法来研究比例制导系统的工作还很少。
技术实现思路
本专利技术的目的是提供一种线性高阶比例制导系统脱靶量的幂级数解，以填补现有技术中利用幂级数法来研究比例制导系统的空白。本专利技术首先建立通用的线性高阶比例导引制导系统模型，由伴随构造得到相应的伴随系统，并对伴随系统的状态量和输出量(即脱靶量)进行无量纲化或归一化。假设伴随系统的状态量和脱靶量为幂级数和指数函数乘积的形式，得到幂级数系数的递推关系，并求出了幂级数解的收敛半径。由于脱靶量幂级数解是无穷级数表示的精确解，但实际应用中只能取级数的部分和来近似计算，还分析了参数对一般高阶制导系统幂级数解收敛速度的影响，并给出了参数的选择方案，从而得到了脱靶量的幂级数解。本专利技术为一种线性高阶比例制导系统脱靶量的幂级数解，它包括以下三个步骤：步骤一：线性高阶比例制导系统建模；考虑一般的线化比例导引制导系统，研究目标阶跃机动和导弹初始瞄准误差角引起的脱靶量。伴随系统的微分方程为：其中，N为有效导引比，t表示剩余飞行时间或总的飞行时间；z1、z2、zu和ζ是伴随系统的状态量，其初值分别为z1(0)＝1、z2(0)＝0、zu(0)＝0和ζ(0)＝0，其中z1的初值为1是由伴随系统的脉冲输入转化而来。伴随系统的输出量，即脱靶量为其中，nT为目标机动水平大小，VM为导弹速度，θHE为导弹初始瞄准误差角；MnT表示目标阶跃机动引起的脱靶量，MHE表示导弹初始瞄准误差角引起的脱靶量。G(s)为表征制导系统动态特性的稳定传递函数，包含导引头动力学、噪声滤波、飞控系统等环节；通常G(s)可以表示成如下形式其中，Q为制导系统阶数，T为参考时间常数或总制导系统时间常数，λq(q＝0,1,...Q)是多项式系数。进一步，将伴随系统的微分方程进行无量纲化，以得到归一化的脱靶量便于应用。引入如下无量纲变量，将伴随系统的状态量、脱靶量以及时间变量转化为无量纲和归一化变量：传递函数替换为：因此，为了简化表达式，如无特别说明，后文中无量纲或归一化的变量仍使用原变量符号，方程的求解和结果讨论都是针对无量纲化的变量。步骤二：求解伴随系统的微分方程的幂级数解；包括求解幂级数解系数递推公式和幂级数收敛半径。1.幂级数解的系数递推公式假设无量纲方程有如下形式的幂级数解其中，an、bn、cn、dn分别为各级数的待定系数，e表示自然指数，参数k表示指数项衰减常数，可用来调节幂级数解整体收敛速度。注意ζ的级数解中含有tQ项，这是因为关于ζ动态是由传递函数G(s)来描述的，等价于如下微分方程其中ζ(q)表示变量ζ的q阶导数。利用关于时间多项式各次幂的系数相等，并结合伴随系统的微分方程的状态初值，可以得到如下递推关系当n≥1时，其中这里Bn和Pn都是中间变量，用于简化表达式书写；A和C及其上下标表示排列数和组合数。cn和dn分别是归一化脱靶量MHE和MnT幂级数的系数。2.幂级数解的收敛半径首先求k＝0时，幂级数的收敛半径，其中an,0代表k＝0时幂级数系数an的值。记状态向量则伴随系统的微分方程可以写成如下状态空间描述其中式中，OQ×1，OQ×Q，O1×Q分别代表Q行1列，Q行Q列，1行Q列的零矩阵。以及状态初值X(0)＝[000...01]T显然，矩阵R的特征值只有0，任何正整数都不是R的特征值；函数矩阵A(t)是常值矩阵，在t＝0处是解析的，而且其幂级数展开收敛半径为无穷大，则可得，上述微分方程的解可以表示为收敛半径为无穷大的幂级数其中Xn是向量值级数系数，维数与X相同。，利用幂级数恒等条件，可以得到递推关系式中，I是大小为(Q+1)×(Q+1)的单位矩阵。由此系数序列Xn唯一确定。向量Xn中最后一个分量是状态z1幂级数的系数，通过递推关系消掉Xn其它分量，可以验证最后一个分量序列与幂级数递推关系在k＝0时所确定的序列an,0相同，由此可得k＝0时z1的级数是收敛的且收敛半径无穷大。其次，证明k为任意数时，幂级数是收敛的。设当为任意数时，幂级数系数序列记为和级数正是k＝0时收敛的级数与ekt的麦克劳林级数的柯西积：级数和同理。所以，当为任意数时，幂级数仍然收敛。事实上，e-kt麦克劳林级数收敛半径为无穷大，只要k取某一值幂级数解收敛，则k取其它值时相应的幂级数解仍收敛，且收敛半径相同。步骤三：选择合适指数项衰减常数k；前两个步骤得到了伴随系统的微分方程的幂级数解，解中包含一个指数项，其随时间的衰减速度由参数k决定，为了使幂级数解能够尽快收敛，需要进一步分析参数k对幂级数解收敛速度的影响，给出选取参数k的方案。引入用来衡量幂级数解的收敛速度指标变量ncr，其意义是使得部分和逼近误差余式Rn小于指定精度ε的索引变量n的最小值，换句话说，至少需要ncr+1项部分和，才会使得逼近精确解的误差小于ε；ncr与k有关，我们将ncr表示成关于k的函数形式从定义可以看出ncr越小越好，意味着收敛速度越快。使得ncr取值最小的k是最优的，记为同时考虑幂级数精度、收敛速度和递推关系的简化，可以按照如下方案选取参数k：一阶制导系统选取k＝1，欠阻尼二阶制导系统选取k＝ξ/β，Q阶二项式系统选取k＝Q，对于一般的高阶系统可选取上述各式中，αi(i＝1,2,...Q1)为一阶环节特征参数，ξj(j＝1,2,...Q2)和βj(j＝1,2,...Q2)为二阶环节特征参数。而相应的部分和项数可由式(15)确定。本专利技术的优点在于：(1)推导了一般比例高阶制导系统脱靶量的幂级数解系数的递推关系；对于不同有效导引比、不同形式的高阶制导系统，幂级数解系数递推求解过程具有一致性。(2)求出了幂级数的收敛半径并给出了指数型衰减常数的选取方案；利用收敛幂级数的部分和可以得到脱靶量解析的、形式统一的逼近公式。(3)给出的幂级数解是脱靶量一种精确的解的形式，可以用来研究脱靶量的性质以及寻找某些特殊条件下的解析解。附图说明图1是本专利技术流程图。图2是线性比例制导系统及其伴随系统框图。图3a是k＝3时含有一个二阶环节的五阶制本文档来自技高网...

【技术保护点】
1.一种线性高阶比例制导系统脱靶量的幂级数解，其特征在于：其包括以下三个步骤：步骤一：线性高阶比例制导系统建模；伴随系统的微分方程为：

【技术特征摘要】
1.一种线性高阶比例制导系统脱靶量的幂级数解，其特征在于：其包括以下三个步骤：步骤一：线性高阶比例制导系统建模；伴随系统的微分方程为：其中，N为有效导引比，t表示剩余飞行时间或总的飞行时间；z1、z2、zu和ζ是伴随系统的状态量，其初值分别为z1(0)＝1、z2(0)＝0、zu(0)＝0和ζ(0)＝0，其中z1的初值为1是由伴随系统的脉冲输入转化而来；伴随系统的输出量，即脱靶量为其中，nT为目标机动水平大小，VM为导弹速度，θHE为导弹初始瞄准误差角；MnT表示目标阶跃机动引起的脱靶量，MHE表示导弹初始瞄准误差角引起的脱靶量；G(s)为表征制导系统动态特性的稳定传递函数，包含导引头动力学、噪声滤波、飞控系统等环节；通常G(s)可以表示成如下形式其中，Q为制导系统阶数，T为参考时间常数或总制导系统时间常数，λq(q＝0,1,...Q)是多项式系数；进一步，将伴随系统的微分方程进行无量纲化，以得到归一化的脱靶量便于应用；引入如下无量纲变量，将伴随系统的状态量、脱靶量以及时间变量转化为无量纲和归一化变量：传递函数替换为：步骤二：求解伴随系统的微分方程的幂级数解；包括求解幂级数解系数递推公式和幂级数收敛半径；(一)幂级数解的系数递推公式假设无量纲方程有如下形式的幂级数解其中，an、bn、cn、dn分别为各级数的待定系数，e表示自然指数，参数k表示指数项衰减常数，可用来调节幂级数解整体收敛速度；注意ζ的级数解中含有tQ项，这是因为关于ζ动态是由传递函数G(s)来描述的，等价于如下微分方程其中ζ(q)表示变量ζ的q阶导数；利用关于时间多项式各次幂的系数相等，并结合伴随系统的微分方程的状态初值，可以得到如下递推关系当n≥1时，其中这里Bn和Pn都是中间变量，用于简化表达式书写；A和C及其上下标表示排列数和组合数；cn和dn分别是归一化脱靶量MHE和MnT幂级数的系数；(二)幂级数解的收敛半径首先，求k＝0时，幂级数的收敛半径，其中an,0代表k＝0时幂级数系数an的值；记状态向量X＝[ζζ(1)ζ(2)…...

【专利技术属性】
技术研发人员：陈万春，赵石磊，赫泰龙，
申请(专利权)人：北京航空航天大学，
类型：发明
国别省市：北京,11