一种基于单位分解积分的直流电阻率无单元正演方法技术

本发明专利技术提供了一种基于单位分解积分的直流电阻率无单元正演方法，包括以下步骤：根据二维地电模型中介质电阻率的分布、电阻率异常体的几何形态和地形起伏形态建立计算域，利用不规则分布的节点离散地电模型；利用单位分解积分，将直流电阻率法的全局计算域积分方程转化为节点局部域积分方程；构造节点局部积分域，在每一个节点局部积分域内采用高斯积分计算积分式，获得计算域离散方程；求解离散方程获得节点电场场值，计算获得观测点的视电阻率参数。本发明专利技术能够基于任意节点分布离散模型，利用单位分解积分将全局域积分转化为节点局部域积分，不再需要节点间连接信息和单元，摆脱了网格束缚，对任意复杂的地电模型适应性和灵活性强。

【技术实现步骤摘要】
一种基于单位分解积分的直流电阻率无单元正演方法
本专利技术涉及一种勘探地球物理领域的直流电阻率正演方法，特别涉及复杂地电模型的高精度、高灵活性和高适应性的基于单位分解积分的直流电阻率无单元正演方法。
技术介绍
直流电阻率法勘探是地球物理勘探中的一种重要方法，被广泛应用于固体矿产资源勘探、水文地质勘察、环境治理与监测、工程地球物理勘查等领域。测量的视电阻率与地下介质的电阻率有着直接的关系，通过人工向地下供电，在地表或者井中观测视电阻率可以对地下电阻率异常体的分布进行判断。随着直流电阻率法勘探技术的发展，人们对复杂地电模型的高精度、高适应性和灵活性的正演方法的需求日益增长，无单元法是一种新兴的数值模拟方法(Belytschko,etal.,1994；HadiniaandJafari,2015)，其仅需局部支持域内的节点信息，不依赖网格链接信息，摆脱了网格的约束而具有高灵活性和适应性的特点，同时由于采用高精度的插值方法其具有高精度的特点，被广泛研究，目前无单元法在直流电阻率正演模拟中已获得了应用，例如麻昌英和柳建新等人2017年在地球物理学报上发表的《基于全局弱式无单元法直流电阻率正演模拟》，但在采用基于局部弱式的无单元法直流电阻率正演模拟的过程中，需要在计算域上进行背景单元剖分，仍然对单元有依赖，一定程度上损失了无单元的性质，同时背景单元分布情况直接影响模拟精度，很难采用统一标准的背景单元剖分方法，获得针对不同模型和节点分布的最优化背景单元分布，往往采用密集的背景单元剖分适应不同模型和节点分布，以保证模拟精度。因此背景单元的使用，降低了无单元法的无单元属性，降低了无单元法对任意模型和任意节点分布的适应性。因此，有必要设计一种进一步降低对单元的依赖、无需背景单元剖分的、更高适应性和数值稳定性的直流电阻率无单元正演方法。
技术实现思路
本专利技术旨在克服现有技术的不足，提供一种基于单位分解积分的直流电阻率无单元正演方法，利用单位分解积分将全局域积分转化为节点局部域积分，在节点局部域内计算积分，不再需要背景单元剖分，进一步降低对单元的依赖。为实现上述目的，本专利技术提供了一种基于单位分解积分的直流电阻率无单元正演方法，包括以下步骤：步骤1、建立二维地电模型：首先，根据二维地电模型中介质电阻率的分布、电阻率异常体的几何形态和地形起伏形态建立计算域，并设置好电极位置、观测装置和观测点位置；在计算域中将二维地电模型采用一组任意分布的节点进行离散，根据电阻率异常体的位置、几何形态和地形起伏形态以及电极位置布置节点；并根据正演模拟需求，在局部域任意加密节点，在场值变化不大或者远离场源电性不变的区域使用稀疏的节点分布；步骤2、利用单位分解积分将全局域积分转化为节点局部域积分：步骤2.1、采用第三类边界条件的2.5维直流电阻率边值问题对应的变分问题为式1)：其中，Γ为边界符号，ΓT为截断边界；σ为介质电导率；Ω为计算域，U为波数域电位，λ为波数；I0为电流；δ为Kroneckerdelta函数；x为计算域内任意一点；A为场源点位置；▽为梯度运算符；rA为点源与截断边界上任意一点的直线距离，n为截断边界外法线单位向量，cos(rA,n)为rA与n的夹角余弦；K0、K1分别为第二类零阶、一阶修正贝塞尔函数；δ为变分符号；步骤2.2、计算域Ω内设有N个节点，构造单位分解函数ψk(x)：0≤ψk(x)≤1,x∈Ωk3)；其中，k表示节点编号，k＝1,2,…,N；Ωk为节点k局部积分域；式2)～4)为单位分解性质；步骤2.3、f(x)是定义在计算域Ω上的可积函数，则有如下等式成立：式5)为单位分解积分；步骤2.4、利用单位分解函数和单位分解积分将式1)中的第一式转化为节点局部域积分：其中，为截断边界ΓT与节点k局部积分域Ωk相交部分的子边界；步骤3、构造节点局部积分域，计算离散方程：步骤3.1、根据计算域内的节点分布情况，构造节点局部积分域；步骤3.2、在每一个节点局部积分域内采用高斯积分计算积分式，首先为每一个高斯点构造支持域，然后使用支持域内包含的节点构造形函数对高斯点处场值进行插值，形成高斯点对应的子离散方程；步骤3.3、将计算域内所有高斯点对应的子离散方程按照节点整体编号组装起来，获得计算域对应的离散方程；步骤4、计算视电阻率：对步骤3中获得的计算域对应的离散方程进行求解，获得节点电场场值，再根据观测装置观测到的相关参数计算获得观测点的视电阻率参数。进一步的，对所述步骤2中式6)的电位函数U进行变分：对式7)展开变分并进行整理可得：对于单个节点k则有：进一步的，为节点局部积分域内任意一点x构造支持域，支持域内设有n个节点，使用该n个节点构造形函数(φi(x),i＝1,2,…,n)对x点处场值进行插值：式中，ΦT＝[φ1(x)φ2(x)…φn(x)]为形函数向量，UT＝[U1U2…Un]为支持域内节点的波数域电位向量；将式10)代入式9)可得：对式11)进行整理可得：对式12)进行整理可得：式13)中：由于δU是任意的，故式13)成立的条件为：其中，和为节点k局部积分域Ωk的子系数矩阵，Fk为节点k局部积分域Ωk的子离散方程式17)的右端项；节点k局部积分域Ωk中采用Ng个高斯点xg＝(xg,zg)进行积分计算，高斯点对应的权重wg和雅可比值Jg，g＝1,2,…,Ng；高斯点支持域Ωq内包含n个节点，则有：其中，A＝σ▽Φ(xg)·[▽Φ(xg)]T20)；B＝σλ2Φ(xg)ΦT(xg)21)；将式20)～22)分别展开可得：式23)～25)中φi为高斯点支持域内第i个节点对应的形函数，i＝1,2,…,n；对于单个高斯点有：此时，高斯点对应的子离散方程表达式为：其中，Ukg为高斯点支持域节点的电位场值构成的电位向量，Fkg为高斯点支持域节点构成的子离散方程的右端项；式26)和式27)为高斯点对应的子系数矩阵，两个矩阵元素分别为：其中，i和j表示高斯点支持域Ωq中的节点局部编号，i＝1,2,…,n，j＝1,2,…,n；采用节点局部积分域包含高斯点xg的节点作为xg的支持域，则计算单位分解函数ψk(xg)使用的节点与构造形函数φi(xg)使用的节点相同，由于无单元法形函数满足单位分解性质，即因此采用无单元法形函数作为单位分解函数，即ψk(xg)＝φk(xg)，其中φk(xg)为当前计算节点k对应的无单元法形函数；此时29)式和30)式分别写为：将所有的节点局部积分域内所有高斯点的子系数矩阵按照节点整体编号组装起来，获得总系数矩阵K：将所有的节点局部积分域内所有高斯点的子离散方程右端项Fkg组装起来，获得离散方程右端项F：结合Kroneckerdelta函数δ(A)的积分性质，当无单元法形函数具有Kroneckerdelta性质时，离散方程的右端项F的元素表达式为式36)，当无单元法形函数不具有Kroneckerdelta性质时，离散方程的右端项F的元素表达式为式37)：其中，fi表示右端项F的第i个元素。最终获得计算域对应的离散方程：KU＝F38)。相比于现有技术，本专利技术具有以下有益效果：(1)、本专利技术的一种基于单位分解积分的直流电阻率无单元正演方法，利用单位分解积分将全局域积分转化为节点局部域积分，在节点局部域内计算积分，不再需要本文档来自技高网...

【技术保护点】
1.一种基于单位分解积分的直流电阻率无单元正演方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤1、建立二维地电模型：首先，根据二维地电模型中介质电阻率的分布、电阻率异常体的几何形态和地形起伏形态建立计算域，并设置好电极位置、观测装置和观测点位置；在计算域中将二维地电模型采用一组任意分布的节点进行离散，根据电阻率异常体的位置、几何形态和地形起伏形态以及电极位置布置节点；并根据正演模拟需求，在局部域任意加密节点，在场值变化不大或者远离场源电性不变的区域使用稀疏的节点分布；步骤2、利用单位分解积分将全局域积分转化为节点局部域积分：步骤2.1、采用第三类边界条件的2.5维直流电阻率边值问题对应的变分问题为式1)：

【技术特征摘要】
1.一种基于单位分解积分的直流电阻率无单元正演方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤1、建立二维地电模型：首先，根据二维地电模型中介质电阻率的分布、电阻率异常体的几何形态和地形起伏形态建立计算域，并设置好电极位置、观测装置和观测点位置；在计算域中将二维地电模型采用一组任意分布的节点进行离散，根据电阻率异常体的位置、几何形态和地形起伏形态以及电极位置布置节点；并根据正演模拟需求，在局部域任意加密节点，在场值变化不大或者远离场源电性不变的区域使用稀疏的节点分布；步骤2、利用单位分解积分将全局域积分转化为节点局部域积分：步骤2.1、采用第三类边界条件的2.5维直流电阻率边值问题对应的变分问题为式1)：其中，Γ为边界符号，ΓT为截断边界；σ为介质电导率；Ω为计算域，U为波数域电位，λ为波数；I0为电流；δ为Kroneckerdelta函数；x为计算域内任意一点；A为场源点位置；▽为梯度运算符；rA为点源与截断边界上任意一点的直线距离，n为截断边界外法线单位向量，cos(rA,n)为rA与n的夹角余弦；K0、K1分别为第二类零阶、一阶修正贝塞尔函数；δ为变分符号；步骤2.2、计算域Ω设内有N个节点，构造单位分解函数ψk(x)：0≤ψk(x)≤1,x∈Ωk3)；其中，k表示节点编号，k＝1,2,…,N；Ωk为节点k局部积分域；式2)～4)为单位分解性质；步骤2.3、f(x)是定义在计算域Ω上的可积函数，则有如下等式成立：式5)为单位分解积分；步骤2.4、利用单位分解函数和单位分解积分将式1)中的第一式转化为节点局部域积分：其中，为截断边界ΓT与节点k局部积分域Ωk相交部分的子边界；步骤3、构造节点局部积分域，计算离散方程：步骤3.1、根据计算域内的节点分布情况，构造节点局部积分域；步骤3.2、在每一个节点局部积分域内采用高斯积分计算积分式，首先为每一个高斯点构造支持域，然后使用支持域内包含的节点构造形函数对高斯点处场值进行插值，形成高斯点对应的子离散方程；步骤3.3、将计算域内所有高斯点对应的子离散方程按照节点整体编号组装起来，获得计算域对应的离散方程；步骤4、计算视电阻率：对步骤3中获得的计算域对应的离散方程进行求解，获得节点电场场值，再根据观测装置观测到的相关参数计算获得观测点的视电阻率参数。2.根据权利要求1所述的基于单位分解积分的直流电阻率无单元正演方法，其特征在于，对所述步骤2中式6)的电位函数U进行变分：对式7)展开变分并进行整理可得：对于单个节点k则有：3.根...

【专利技术属性】
技术研发人员：柳建新，麻昌英，刘海飞，柳卓，
申请(专利权)人：中南大学，
类型：发明
国别省市：湖南,43