一种基于IQR_OMP的高维稀疏向量重构方法技术

本发明专利技术公开了一种基于IQR_OMP的高维稀疏向量重构方法。根据OMP算法每步都要计算最小二乘解的特点，基于Greville递推过程提出增量IGR_OMP算法，并得到一系列有用的递推性质，有效地提高了计算速度；在分析IGR_OMP算法的基础上，利用Greville递推算法与QR分解的关系，建立了在QR分解基础上的增量IQR_OMP算法，该算法有效地减少了计算工作量，提高了算法解大型问题的有效性；高维稀疏向量重构简单地讲，就是在过完备向量系上给出高维向量最稀疏的系数表示。

A high dimensional sparse vector reconstruction method based on IQR_OMP

The invention discloses a high-dimensional sparse vector reconstruction method based on IQR_OMP. According to the characteristic that the least square solution must be computed in every step of the OMP algorithm, the incremental IGR_OMP algorithm is proposed based on Greville recursive process, and a series of useful recursive properties are obtained, which can effectively improve the computing speed. Based on the analysis of IGR_OMP algorithm, the relationship between Greville recursive algorithm and QR decomposition is used to establish the QR decomposition basis. Based on the incremental IQR_OMP algorithm, the algorithm reduces the computational workload effectively and improves the effectiveness of the algorithm to solve large-scale problems. High-dimensional sparse vector reconstruction simply means that the sparsest coefficient representation of high-dimensional vectors is given on the over-complete vector system.

【技术实现步骤摘要】
一种基于IQR_OMP的高维稀疏向量重构方法
本专利技术涉及一种基于IQR_OMP的高维稀疏向量重构方法。
技术介绍
压缩感知(compressiveSensing，简称CS)是图像或者信号处理领域的一项新的关键技术。其本质是利用远低于信号向量或者图像向量维数的信息，有效地确定这高维向量在过完备字典上的最稀疏的系数表示，其核心问题就是求解一个亚定线性系统的稀疏解，以重构信号或图像向量(参考文献：闫敬文等，压缩感知及应用，2015，国防工业出版社，北京.E.J.Candès,M.Wakin,“peoplehearingwithoutlistening”Anintroductiontocompressivesampling,IEEESignalProcessingMagazine,2008,25(2),21-30.)。高维稀疏向量重构是信号处理、图像处理领域的一个十分重要的问题。经典的OMP(OrthogonalMatchingPursuit，正交匹配追踪)算法虽然相对于其他非贪婪算法的复杂度较低，但是在实际应用中距离实时的信号处理仍有一段距离。
技术实现思路
本专利技术针对现有技术的不足，公开了一种基于IGR_OMP(IncrementalGrevilleRecursionbasedOrthogonalMatchingPursuit，增量型基于Greville递推的正交匹配追踪算法)的高维稀疏向量重构方法，包括如下步骤：设矩阵A＝[a1，a2，…，aK]∈RM×K，K＜＜M，rank(A)＝K(RM×K：M×K维实数矩阵集合，ai(i＝1,2…,K)：字典矩阵A中的第i个实数列向量，rank(A)：矩阵A的秩)；记A1＝[a1]，Ak＝[Ak-1,ak]，k＝2,3,…,K(a1：矩阵A的第一个列向量，A1：第1次迭代矩阵A，Ak：有k个列向量的第k个矩阵A，Ak-1：第k-1次迭代矩阵A)；通过Greville递推算法计算A+，即矩阵A的广义逆(参考文献：Ben-IsrealA.,GrevilleT.N.E,GeneralizedInverseTheoryandApplications,Wiley,NewYork,1974.)：初试值递推步对k＝2,3,…,Kbk＝ak-Ak-1dk；其中dk是求解临时代替的向量，bk是维度与ak相同求解临时代替的列向量。这个算法的特点是由递推得到，也就是从逐次计算而不是对每次迭代都直接计算对于压缩感知中的增量IGR_OMP高维向量稀疏恢复步骤是：步骤A1，输入观测数据向量y∈RM和字典矩阵A＝[a1，a2，…，aN]∈RM×N，令初始支撑集指标令初始残差向量r0等于观测数据向量y，即r0＝y，令k＝1。其中RM为M×1维实数列向量集合，RM×N为M×N维实数矩阵集合，ai代表字典矩阵A中的第i个实数列向量，i＝1,2…,N；步骤A2，求字典矩阵A中与第k-1次迭代残差向量rk-1的第k次迭代最强相关的列jk：jk∈argmaxj|(rk-1，aj)|，Ωk＝Ωk-1∪{jk}，其中Ωk为第k次迭代支撑集指标，Ωk-1为第k-1次迭代支撑集指标，aj为字典矩阵A中的第j个实数列向量；步骤A3，由第k-1次迭代支撑指标Ωk-1对应的字典矩阵的广义逆矩阵增量计算第k次迭代支撑指标Ωk对应的字典矩阵的广义逆矩阵如果k＝1，则jk为j1，则向量的广义逆等于的广义逆，即转向步骤A4；如果k≠1，则顺序执行如下计算：c＝bT/(bTb)，其中是字典矩阵中第jk个实数列向量，是向量的广义逆矩阵，d是临时代替的一个向量，b是临时代替的维度与向量相同的M×1维向量，c是临时代替的1×M维向量。步骤A4，求解最小化问题的解xk：其中代表向量的欧几里得范数；步骤A5，更新第k次迭代残差向量步骤A6，判断是否满足停止准则，即判断第k次迭代残差向量的欧几里得范数是否满足‖rk‖2≤ε(ε是一个非常小的数，如：10-6)，如果满足，执行步骤A7，否则将k更新为k+1，并重复步骤A2至步骤A5；步骤A7，输出稀疏的系数向量x∈RN：其中x(i)为稀疏的系数向量x中的第i个元素，xk(i)为向量xk中的第i个元素，RN是N×1维实数向量。bk＝0的充要条件是ak∈R(Ak-1)＝span{a1，a2，…，ak-1}，即ak与a1，a2，…，ak-1线性相关，Ak-1＝[a1，a2，…，ak-1](ak表示矩阵Ak中第k个列向量，R(Ak-1)代表以矩阵Ak-1的k-1个列向量生成的空间，span{a1，a2，…，ak-1}代表以向量a1，a2，…，ak-1生成的向量空间，Ak-1为第k-1次迭代A矩阵，为Ak-1的广义逆矩阵)；bk∈R(Ak-1)⊥是ak在R(Ak-1)正交补上的正交投影，如果bk＝0，表示ak∈R(Ak-1)，则ak与R(Ak-1)线性相关(IM是M×M的单位矩阵，表示矩阵Ak-1的广义逆矩阵，R(Ak-1)⊥表示生成空间R(Ak-1)的正交补空间)。表示bk是ak在R(Ak-1)⊥上的正交投影，则有(ai(i＝1,2,…,k-1)为矩阵Ak-1中第i列向量)：(bk，ai)＝0,i＝1,2,…,k-1(4.7)即bk与a1，a2，…，ak-1是正交的。本专利技术还公开了一种基于IQR_OMP(IncrementalQRdecompositionbasedOrthogonalMatchingPursuit，增量型基于QR分解的正交匹配追踪算法)的高维稀疏向量重构方法，包括如下步骤：步骤B1，输入观测数据向量y∈Rm和字典矩阵A＝[a1，a2，…，an]∈Rm×n；令初始支撑集指标令初始残差向量等于观测数据向量，即r0＝y，令k＝1，其中Rm表示m×1维实数列向量，Rm×n表示m×n维实数矩阵，ai代表字典矩阵A中的第i个m×1维实数列向量，i＝1,2…,n；步骤B2，求字典矩阵A中与第k-1次迭代残差向量rk-1的第k次迭代最强相关的列jk：jk∈argmaxj|(rk-1，aj)|，Ωk＝Ωk-1∪{jk}，其中Ωk为第k次迭代支撑集指标，Ωk-1为第k-1次迭代支撑集指标，aj为字典矩阵A中的第j列实数列向量；步骤B3，由第k-1次迭代的Qk-1和Rk-1递推计算第k次迭代的Qk和Rk：如果k＝1，则jk＝j1，则Q1矩阵的第一列为Q1(:,1)或q1等于即转向步骤B4，如果k≠1，则依次执行如下计算：qk＝q1/αk，Qk＝[Qk-1:qk]，其中向量是字典矩阵A的第jk个列向量，qk是矩阵Q的第k个列向量，βk为第k次迭代的临时代替向量，αk为第k次迭代的临时代替数值；步骤B4，更新第k次迭代残差向量其中qk是第k次迭代矩阵Qk的第k个列向量；步骤B5，判断是否满足停止准则，即判断第k次残差向量的欧几里得范数是否满足‖rk‖2≤ε(ε是一个非常小的数，如：10-6)，如果满足，执行步骤B6；否则将k更新为k+1，并重复步骤B2至步骤B4；步骤B6，求解最小化问题的解xk：其中为第k次迭代支撑指标Ωk对应的字典矩阵，j1，j2，…，jk∈Ωk，代表向量的欧几里得范数；是矩阵Rk的广义逆，是矩阵Qk的转置；步骤B7，输出稀疏的系数向量x：其中x(i)表示稀疏的系数向量x中的第i本文档来自技高网...

【技术保护点】
1.一种基于IQR_OMP的高维稀疏向量重构方法，其特征在于，包括如下步骤：步骤B1，输入观测数据向量y∈R

【技术特征摘要】
1.一种基于IQR_OMP的高维稀疏向量重构方法，其特征在于，包括如下步骤：步骤B1，输入观测数据向量y∈Rm和字典矩阵A＝[a1，a2，…，an]∈Rm×n，令初始支撑集指标令初始残差向量r0等于观测数据向量y，即r0＝y，令k＝1，其中Rm表示m×1维实数列向量，Rm×n表示m×n维实数矩阵，ai代表字典矩阵A中的第i个m×1维实数列向量，i＝1,2…,n；步骤B2，求字典矩阵A中与第k-1次迭代残差向量rk-1的第k次迭代最强相关的列jk：jk∈argmaxj|(rk-1，aj)|，Ωk＝Ωk-1∪{jk}；其中Ωk为第k次迭代支撑集指标，Ωk-1为第k-1次迭代支撑集指标，aj为字典矩阵A中的第j列实数列向量；步骤B3，由第k-1次迭代的Qk-1和Rk-1递推计算第k次迭代的Qk和Rk；步骤B4，更新第k次迭代残差向量其中qk是第k次迭代矩阵Qk的第k个列向量；步骤B5，判断是否满足停止准则，即第k次残差...

【专利技术属性】
技术研发人员：赵健，申富饶，董珍君，赵金煕，
申请(专利权)人：南京大学，
类型：发明
国别省市：江苏,32