一种极小卡方估计方法技术

本发明专利技术涉及一种极小卡方估计方法，该方法在线性无关的基函数集的基础上构造拟合曲线的函数形式，采用迭代计算的方法给出拟合曲线的函数中各项系数，把系数代入拟合函数后得到的理论值具有卡方最小的特点，本发明专利技术极小卡方估计方法，避免了fminsearch函数存在多解问题，具有唯一解且能保证卡方最小的特点，保证了求解的准确性，避免了求解过程中存在的信息缺失问题，并且本发明专利技术极小卡方估计方法，逻辑性强，易于编程，方法简单，易于实现。

A method of minimization of chi square estimation

The invention relates to a minimum chi square estimation method, the fitting curve of the structure form of function base function of the method in the linear independent set, the coefficient function fitting curve method is given by iterative computation of the coefficients into the fitting function of the theory of value is the smallest party card features, the invention is minimal chi square estimation method, to avoid the fminsearch function has multiple solutions, has a unique solution and can ensure the minimum party card features, to ensure the accuracy of the solution, to avoid the loss of information in the process of solving the problems, and the minimum chi square estimation method, logical, easy programming, the method is simple, easy to implement.

【技术实现步骤摘要】
一种极小卡方估计方法
本专利技术涉及一种极小卡方估计方法，属于数值分析和可靠性

技术介绍
在科学试验和工程应用中有很多函数，它的解析表达式是不知道的。比如，惯性器件随着贮存时间的延长，其性能和参数会有所变化，但该变化过程仅能通过实验观测的方法测得一系列节点xi上的值fi。现在的问题是寻求测试点序列的逼近函数y(x)，或用几何语言来说就是寻求一条曲线y(x)来拟合(平滑)这n个点。在拟合度检验的相关理论中，χ2统计量经常用于检验一组独立样本的共同分布是否属于某一具有特定性质的分布族。极小卡方估计是指将极小化χ2统计量所得到的参数作为真值的最佳估计，写成表达式为其中，则称y(x)为f(x)关于权系数{ωi}的卡方逼近，并称上述准则求逼近函数y(x)的方法为卡方估计法。在上式中，{ωj(x)}为线性无关的函数集，{aj}为对应的系数集。定义m+1元函数H(a0,a1,…,am)为由多元函数极值的必要条件可知，最小值点应满足上式等效为但由于上式为一个多元非线性方程组，直接求解系数a0,a1,…,am很困难。在参考文献“温度应力下的加速度计贮存寿命评定”(《装甲兵工程学院学报》，Vol.28No.3,2014，P28)中提出一种方法，通过Matlab软件中的fminsearch函数求解最小值。在文中介绍到，“在Matlab中，函数fminsearch用来求解无约束多维极值问题，其采用单纯形搜索法，不需要计算梯度”。通过在实际应用中对该函数的应用，发现其存在如下缺点：(1)解不唯一，这就意味着该方法并不能确定使卡方最小的系数值；(2)方法机理不清楚，算法不是最优。(3)容易造成信息丢失。因此，需要针对上述情况，提出一种改进的明确的极小卡方估计方法。
技术实现思路
本专利技术的目的在于克服现有技术的上述缺陷，提供一种极小卡方估计方法，该方法能够通过精确迭代解算的方式，给出拟合函数的各项系数，满足卡方极小化的要求。本专利技术的上述目的主要是通过如下技术方案予以实现的：一种极小卡方估计方法，包括：给定测量序列{fi}和权系数序列{ωi}，i＝1,2,…,n；确定线性无关的基函数集构造测量序列{fi}的曲线拟合函数ψ(x)，令其中{aj}为对应的未知系数集；根据最优准则确定所述系数集{aj}的最优值{a*j}，即根据如下公式求解最优值{a*j}：将所述最优值{a*j}代入曲线拟合函数ψ(x)，得到极小卡方估计的最优拟合曲线的函数表达式y(x)：在上述估计方法中，求解最优值{a*j}的具体方法如下：(1)、根据如下公式求解系数a0,a1,…,am的初值；(2)、把系数a0,a1,…,am的初值代入如下公式求解gi：(3)、将gi代入如下公式(5)，并根据如下公式(5)求解得到系数a0,a1,…,am的一组新值：(4)、返回步骤(2)，将所述系数a0,a1,…,am的一组新值作为初值代入公式(4)，循环计算，直至计算得到的系数a0,a1,…,am的第L组新值与上一次计算得到的系数a0,a1,…,am的第L-1组新值之间的偏差满足要求，则取所述第L组新值作为最优值{a*j}；其中：L为正整数。在上述估计方法中，所述步骤(4)中系数a0,a1,…,am的第L组新值与上一次计算得到的系数a0,a1,…,am的第L-1组新值之间的偏差满足要求是指：系数a0,a1,…,am的第L组新值与系数a0,a1,…,am的第L-1组新值中相对应的每一个系数在小数点后前p位的值均相同，即第L组新值中的a0与第L-1组新值中的a0在小数点后前p位的值相同，第L组新值中的a1与第L-1组新值中的a1在小数点后前p位的值相同，……，第L组新值中的am与第L-1组新值中的am在小数点后前p位的值相同，其中：p为正整数。在上述估计方法中，述步骤(1)中系数a0,a1,…,am的初值通过如下公式求解得到：在上述估计方法中，所述步骤(3)中系数a0,a1,…,am的一组新值通过如下公式求解得到：本专利技术与现有技术相比的有益效果如下：(1)、本专利技术提出的极小卡方估计方法，在线性无关的基函数集的基础上构造拟合曲线的函数形式，采用迭代计算的方法给出拟合曲线的函数中各项系数，把系数代入拟合函数后得到的理论值具有卡方最小的特点。(2)、本专利技术提出的极小卡方估计方法，给出了一种不同于运用Matlab软件中的fminsearch函数的方法，避免了fminsearch函数存在多解问题，具有唯一解且能保证卡方最小的特点。(3)、本专利技术采用迭代计算求解拟合函数的系数，解决了非线性方程组无法求解的问题；并且保证了求解的准确性，避免了求解过程中存在的信息缺失问题。(4)、本专利技术给出的极小卡方估计曲线拟合方法，逻辑性强，易于编程，且方法简单，易于实现。附图说明图1为本专利技术基于相对误差极小的曲线拟合流程图；图2为本专利技术实施例中给定的测量序列；图3为本专利技术实施例的迭代过程；图4为本专利技术实施例得到的拟合曲线；图5为本专利技术实施例得到的拟合曲线与最小二乘法比较图。具体实施方式下面结合附图和具体实施例对本专利技术作进一步详细的描述：本专利技术提供了一种极小卡方估计方法，在线性无关的基函数集的基础上构造拟合曲线的函数形式，采用迭代计算的方法给出拟合曲线的函数中各项系数，把系数代入拟合函数后得到的理论值具有卡方最小的特点。如图1所示为本专利技术基于相对误差极小的曲线拟合流程图，本专利技术极小卡方估计方法包括如下步骤，测量序列与拟合序列的相对误差平方和最小：一、给定测量序列{fi}和权系数序列{ωi}，i＝1,2,…,n；二、确定线性无关的基函数集三、构造测量序列{fi}的曲线拟合函数ψ(x)，令其中{aj}为对应的未知系数集；四、根据最优准则确定所述系数集{aj}的最优值{a*j}。为使卡方最小，有定义m+1元函数H(a0,a1,…,am)为由多元函数极值的必要条件可知，最小值点应满足上式等效为但由于在上式中，各项系数a0,a1,…,am出现在分母中，难以求解。拟采用迭代求解。可以通过如下方法求解最优值{a*j}，具体包括如下步骤：(1)、对下式求解系数a0,a1,…,am的初值；定义m+1元函数H1(a0,a1,…,am)为由多元函数极值的必要条件可知，最小值点应满足上式等效为可得对系数初值a0,a1,…,am的一种计算方法为(2)、把系数a0,a1,…,am的初值代入如下公式求解gi：(3)、将gi代入如下公式(5)，并根据如下公式(5)求解得到系数a0,a1,…,am的一组新值：公式(5)推导过程如下：上式等效为：即：可得对系数a0,a1,…,am的一种计算方法为：(4)、返回步骤(2)，将该系数a0,a1,…,am的一组新值作为初值代入公式(4)，再次计算gi，将gi代入公式(5)中求解得到系数a0,a1,…,am的第二组新值，再返回步骤(2)，将该第二组新值作为初值代入公式(4)，依次类推，循环计算，直至计算得到的系数a0,a1,…,am的第L组新值与上一次计算得到的系数a0,a1,…,am的第L-1组新值之间的偏差满足要求，即各项误差系数趋于一个固定值，则取所述第L组新值作为最优值{a*j}；其中：L为正整数。上述步骤(4)中系数a0,a1,…,am的第L组新值与上一次计算得到的系数a0,a1,…,本文档来自技高网...

【技术保护点】
一种极小卡方估计方法，其特征在于：包括：给定测量序列{fi}和权系数序列{ωi}，i＝1,2,…,n；确定线性无关的基函数集

【技术特征摘要】
1.一种极小卡方估计方法，其特征在于：包括：给定测量序列{fi}和权系数序列{ωi}，i＝1,2,…,n；确定线性无关的基函数集构造测量序列{fi}的曲线拟合函数ψ(x)，令其中{aj}为对应的未知系数集；根据最优准则确定所述系数集{aj}的最优值{a*j}，即根据如下公式求解最优值{a*j}：将所述最优值{a*j}代入曲线拟合函数ψ(x)，得到极小卡方估计的最优拟合曲线的函数表达式y(x)：2.根据权利要求1所述的估计方法，其特征在于：求解最优值{a*j}的具体方法如下：(1)、根据如下公式求解系数a0,a1,…,am的初值；(2)、把系数a0,a1,…,am的初值代入如下公式求解gi：(3)、将gi代入如下公式(5)，并根据如下公式(5)求解得到系数a0,a1,…,am的一组新值：(4)、返回步骤(2)，将所述系数a0,a1,…,am的一组新值作为初值代入公式(4)，循环计算，直至计算得到的系数a0,a1,…,am的第L组新值与上一次计算得到的系数a0,a...

【专利技术属性】
技术研发人员：魏宗康，江麒，彭智宏，魏珍虹，
申请(专利权)人：北京航天控制仪器研究所，
类型：发明
国别省市：北京,11