有限元插值函数构造方法技术

本发明专利技术涉及模拟仿真技术领域，公开了一种有限元插值函数构造方法，以提高插值函数的性能。本发明专利技术方法包括：以线性变换坐标系与等参坐标系所组成的混合坐标系构造插值函数；根据目标实体单元的特征确定插值函数方程式的坐标元数、项数和次数，所述特征包括已知节点数和节点位移分量数，且所构造插值函数方程式的项数与目标实体单元的插值相关节点位移总数相等；同时，所构造插值函数方程式中对应线性变换坐标系部分为各项次数以覆盖各坐标元组合后从低到高递增的最高次完整多项式，所构造插值函数方程式中对应等参坐标系部分的各项次数在所述线性变换坐标系部分的最高次数上以覆盖各坐标元组合后从低到高递增并呈对称性分布。

【技术实现步骤摘要】
有限元插值函数构造方法
本专利技术涉及模拟仿真
，尤其涉及一种有限元插值函数构造方法。
技术介绍
目前有限元是工程分析和设计必不可少的重要组成部分，有限元计算软件现已广泛应用于结构、固体和流体分析工程的各个领域。事实上，有限元几乎在工程分析的每个领域都得到应用。在工程或物理问题的数学模型(基本变量、基本方程、求解域和边界条件等)确定以后，有限元法作为对其进行分析的数值计算方法可归纳如下三部分：(1)将一个表示结构或连续体的求解域离散为若干个子域(单元)，并通过它们边界上的结点相互联结成为组合体。该部分为有限元软件的前处理部分，即单元划分部分，该部分的技术已很成熟。(2)用每个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解域内待求的未知场变量。而每个单元内的近似函数由未知场函数及其导数在单元各个结点上的数值和与其对应的插值函数来表达。该部分即为有限元软件中的有限元插值函数形成部分，有限元插值函数构造难度大，有很多问题还不能构造出满足基本收敛要求的有限元插值函数，一直是有限元研究领域的难题。同一问题的有限元插值函数构造结果不是唯一，有限元插值函数的选用对有限元软件的计算分析精度影响很大，直接关系到有限元软件计算结果的成败。构造高精度有限元插值函数有三个关键性条件：一是有限元插值函数所用多项式的完备(完整)阶数(次数)越高计算精度越高；二是有限元插值函数在相邻单元公共边界上的位移(含位移的导数)协调，即从相邻单元插值同一公共边界的位移要一致，否则，位移冲突引起能量损失，降低计算精度；三是有限元插值函数要适合曲面(曲线)边界。目前还无法构造能同时满足以上条件的有限元插值函数，构造高阶完备协调的有限元插值函数非常困难。现有的插值函数的构造一般采用等参坐标法，无论是对于平面实体单元、三维实体单元、平面薄板单元或空间壳单元，都存在计算精度低，适用范围有限且不能兼顾协调性和/或不适应曲线边界等问题。例如：1)、基于等参坐标法已构造出的4节点四边形单元。该单元只有1次完备协调，只能满足有限元计算的基本收敛要求，计算精度低。2)、基于等参坐标法构已造出的8节点曲边四边形单元。该单元节点数增加一倍，但还只具有1阶完备协调，只能满足有限元计算的基本收敛要求，计算精度低。当该单元为矩形时，单元能2次完备协调，但又不适合曲线边界，使用范围非常有限。3)、基于等参坐标法已构造出的12节点曲边四边形单元。该单元插值函数只有2次完备协调，计算精度低。当该单元为矩形时，单元插值函数能3次完备协调，但不适合曲线边界，使用范围非常有限。4)、基于等参坐标法构造出的8节点任意六面体单元，当该单元为任意六面体单元时，适合于折线形边界，但单元插值函数只有1阶完备性，只能满足有限元计算的基本收敛要求，计算精度低。当该单元为长方体时，单元插值函数能2次完备协调，但又不适合于折线形边界，使用范围非常有限。5)、基于等参坐标法构造出的20节点曲面六面体单元，不管该单元为任意六面体单元还是长方体，有限单元插值函数都只有2次完备协调，计算精度提高有限。6)、基于等参坐标法构造出的32节点曲面六面体单元，不管该单元为任意六面体单元还是长方体，有限单元插值函数都只有2次完备协调，计算精度低。7)、基于等参坐标法只构造出的4节点(w相关的三节点参数w，θx，θy和四节点参数w，θx，θy，θxy)三次完备矩形薄板单元位移插值函数，尽管单元位移插值函数的完备阶数较高，但单元边界法向转角位移不协调，也不适合任意折线边界，适用范围非常有限。8)、基于等参坐标法，还不能构造出二次完备的4节点任意四边形薄板单元，更无法解决单元协调问题。9)、基于等参坐标法，目前只能将平面4节点非协调矩形和三角形薄板单元位移插值函数，经坐标变换法用于空间薄壳结构，适用范围非常有限，且不协调。10)、基于等参坐标法构已造出的三维8节点协调低阶完备四边形超参数曲面壳单元位移插值函数和三维8节点低阶完备协调曲面四边形相对自由度壳单元位移插值函数。这两种单元位移插值函数协调，厚薄壳结构通用，但只具有1阶完备性，计算精度低，当壳的厚度趋向薄曲壳时，存在剪切“锁死”和薄膜“锁死”等问题。综上，目前结构有限元软件都是基于单一的等参坐标法(或面积坐标法)构造单元求解物理量(位移、温度、流体和电磁等)的插值函数，所构造的单元插值函数不能既高阶完备又协调，即使完备也只是低阶完备，计算精度较低。对于结构问题还没有构造出满足有限元基本收敛要求的高阶完备又协调有限单元插值函数。
技术实现思路
本专利技术目的在于公开一种有限元插值函数构造方法，以提高插值函数的性能。为实现上述目的，本专利技术公开了一种有限元插值函数构造方法，包括：以线性变换坐标系与等参坐标系所组成的混合坐标系构造插值函数；根据目标实体单元的特征确定插值函数方程式的坐标元数、项数和次数，所述特征包括已知节点数和节点位移分量数，且所构造插值函数方程式的项数与目标实体单元的插值相关节点位移总数相等；同时，所构造插值函数方程式中对应线性变换坐标系部分为各项次数以覆盖各坐标元组合后从低到高递增的最高次完整多项式，所构造插值函数方程式中对应等参坐标系部分的各项次数在所述线性变换坐标系部分的最高次数上以覆盖各坐标元组合后从低到高递增并呈对称性分布。本专利技术中，可选的，所构造的插值函数包括以下的任意一项或任意组合：1)、当所述目标实体单元为二维8节点高阶完备协调四边形曲边单元时，所构造单元位移插值函数为：u(v)＝a1+a2T1+a3T2+a4T12+a5T1T2+a6T12+a7ξ2η+a8ξη2；2)、当所述目标实体单元为二维12节点高阶完备协调四边形曲边单元时，所构造单元位移插值函数为：3)、当所述目标实体单元为三维20节点高阶完备协调曲面六面体单元时，所构造单元位移插值函数为：4)、当所述目标实体单元为三维32节点高阶完备协调曲面六面体单元时，所构造单元位移插值函数为：5)、当所述目标实体单元为二维4节点且各节点有3个相关位移分量的高阶完备协调任意四边形薄板单元时，相关位移分量分别为w、θx、θy，所构造单元位移插值函数为：6)、当所述目标实体单元为二维4节点且各节点有4个相关位移分量的高阶完备协调任意四边形薄板单元时，相关位移分量分别为w、θx、θy、θxy，所构造单元位移插值函数为：7)、当所述目标实体单元为二维8节点且各节点有3个相关位移分量(w，θx，θy相关)的高阶完备协调曲边四边形薄板单元时，所构造单元位移插值函数为：8)、当所述目标实体单元为三维4节点高阶完备协调任意四边形平板薄壳单元(其中w，θx，θy相关)时，所构造单元位移插值函数为：9)、当所述目标实体单元为三维8节点高阶完备协调曲线四边形平板薄壳单元(其中w，θx，θy相关)时，所构造单元位移插值函数为：其中，上述各方程式中，T1、T2、T3分别为单元曲面内线性变换坐标系中坐标轴，ξ、η、ζ分别为等参坐标系中坐标轴；u、v、w分别对应单元曲面内三个局部坐标方向上的位移，θx、θy分别为w对单元曲面内局部坐标x、y的偏导数，θxy为w对x、y二阶交叉偏导数。本专利技术中，对于工程上普遍采用的空间薄壳，采用合适的正交曲线坐标及相应的几何方程，根据上述单元的原理，像平面问题一样在空间正交曲线坐标系中直本文档来自技高网...

【技术保护点】
一种有限元插值函数构造方法，其特征在于，包括：以线性变换坐标系与等参坐标系所组成的混合坐标系构造插值函数；根据目标实体单元的特征确定插值函数方程式的坐标元数、项数和次数，所述特征包括已知节点数和节点位移分量数，且所构造插值函数方程式的项数与目标实体单元的插值相关节点位移总数相等；同时，所构造插值函数方程式中对应线性变换坐标系部分为各项次数以覆盖各坐标元组合后从低到高递增的最高次完整多项式，所构造插值函数方程式中对应等参坐标系部分的各项次数在所述线性变换坐标系部分的最高次数上以覆盖各坐标元组合后从低到高递增并呈对称性分布。

【技术特征摘要】
1.一种有限元插值函数构造方法，其特征在于，包括：以线性变换坐标系与等参坐标系所组成的混合坐标系构造插值函数；根据目标实体单元的特征确定插值函数方程式的坐标元数、项数和次数，所述特征包括已知节点数和节点位移分量数，且所构造插值函数方程式的项数与目标实体单元的插值相关节点位移总数相等；同时，所构造插值函数方程式中对应线性变换坐标系部分为各项次数以覆盖各坐标元组合后从低到高递增的最高次完整多项式，所构造插值函数方程式中对应等参坐标系部分的各项次数在所述线性变换坐标系部分的最高次数上以覆盖各坐标元组合后从低到高递增并呈对称性分布。2.根据权利要求1所述的有限元插值函数构造方法，其特征在于，所构造的插值函数包括以下的任意一项或任意组合：1)、当所述目标实体单元为二维8节点高阶完备协调四边形曲边单元时，所构造单元位移插值函数为：u(v)＝a1+a2T1+a3T2+a4T12+a5T1T2+a6T12+a7ξ2η+a8ξη2；2)、当所述目标实体单元为二维12节点高阶完备协调四边形曲边单元时，所构造单元位移插值函数为：3)、当所述目标实体单元为三维20节点高阶完备协调曲面六面体单元时，所构造单元位移插值函数为：4)、当所述目标实体单元为三维32节点高阶完备协调曲面六面体单元时，所构造单元位移插值函数为：5)、当所述目标实体单元为二维4节点且各节点有3个相关位移分量的高阶完备协调任意四边形薄板单元时，相关位移分量分别为w、θx、θy，所构造单元位移插值函数为：6)、当所述目标实体单元为二维4节点且各节点有4个相关位移分量的高阶完备协调任意四边形薄板单元时，相关位移分量分别为w、θx、θy、θxy，所构造单元位移插值函数为：7)、当所述目标实体单元为二维8节点且各节点有3个相关位移分量的高阶完备协调曲边四边形薄板单元时，相关位移分量分别为w、θx、θy，所构造单元位移插值函数为：其中，上述各方程式中，T1、T2、T3分别为单元曲面内线性变换坐标系中坐标轴，ζ、η、ζ分别为等参坐标系中坐标轴；u、v、w分别对应单元曲面内三个局部坐标方向上的位移，θx、θy分别为w对单元曲面内局部坐标x、y的偏导数，θxy为w对x、y二阶交叉偏导数。3.根据权利要求1所述的有限元插值函数构造方法，其特征在于，对于工程上普遍采用的空间薄壳，采用合适的正交曲线坐标及相应的几何方程，根据上述单元的原理，像平面问题一样在空间正交曲线坐标系中直接构造高阶完备协调曲面薄壳单元，计算单元刚度矩阵，再进行空间坐标转换；具体包括：1)、当所述目...

【专利技术属性】
技术研发人员：张国祥，张帆航，
申请(专利权)人：中南大学，
类型：发明
国别省市：湖南,43