一种基于谱有限元的矩形板振动模态计算方法技术

本发明专利技术公开了一种基于谱有限元的矩形板振动模态计算方法，包括以下步骤：基于能量函数变分原理得到板振动的边界值问题模型，再基于变量分离方法得到两个方向的自由振动方程；确定矩形板两个方向的边界条件，在预设定的模态阶数下采用不同方向相互迭代来计算振动频率和振型，直至两个方向计算得到的振动频率误差在某个指定范围时停止；利用最终得到的两个方向的振动模态进行叠加得到矩形板振动模态。本发明专利技术针对多种组合边界条件进行板振动模态的计算，并考虑板内任意位置点两个方向的转角对板振动模态计算效果的影响，得到以振幅和两个转角为变量的振动方程，计算出来的结果更加准确，具有实用性广、方便应用的优点。

A vibration mode calculation method for rectangular plates based on spectral finite element method

The invention discloses a calculation method of rectangular plate vibration spectrum based on finite element method, which comprises the following steps: energy function variational principle of plate boundary value problem based on the model, then the free vibration equation of variable separation method based on two directions of the rectangular plate; determine the direction of the two boundary conditions, the modal order the number of pre setting the calculation of vibration frequencies and modes with different direction iteration, vibration frequency error is calculated until the two direction stop within a specified range; using two direction vibration modes obtained are superimposed by vibration modes of rectangular plate. Calculation of the invention for a variety of boundary conditions of plate vibration, affect the calculation effect of corner plate anywhere within the two direction and consider on the plate vibration mode, with two amplitude and angle vibration equation of variable, the calculated result is more accurate, and has the advantages of wide practicability and convenient application.

【技术实现步骤摘要】
一种基于谱有限元的矩形板振动模态计算方法
本专利技术涉及一种基于谱有限元的矩形板振动模态计算方法。
技术介绍
板结构在工程应用中占有非常重要的地位，其在航空、土木、电子工程中均有广泛的应用。对于板结构进行振动分析是工程应用设计中的关键，也是振动响应分析的基础和重要组成部分。针对板结构的自由振动模态计算的问题，众多学者已经开展了卓有成效的研究。Y.Xiang针对一边带有简支边界条件的阶梯矩形Mindlin板采用域分解计算方法对其振动频率进行了计算，得到其分析解。YufengXing利用直接分离变量的方法获得了矩形Mindlin板自由振动闭环形式的解。J.M.Lee基于铁木辛柯梁函数采用Kantorovich方法获得了Mindlin板特征函数，利用迭代法对矩形均质板进行了自由振动分析。GangWang对板的自由振动问题和振动模态计算问题进行了一系列的研究，主要有采用Kantorovich–Krylov变分方法针对矩形板的板内振动模态，弯曲振动问题进行了研究，也采用谱有限元法对阶梯板的自由振动问题进行了研究，但是其在计算过程中并没有考虑板中任意一点两个方向剪切角的影响，针对相对较厚的板进行计算时精度有待提高。M.Boscolo采用一阶剪切理论得到板动态刚度元对矩形板的自由振动进行了准确分析，然而此方法只考虑了矩形板某对边是简支边界条件的情况，尚未考虑应用到矩形板具有其他边界条件的情形。
技术实现思路
为了解决上述技术问题，本专利技术提供一种准确性高、实用性强的基于谱有限元的矩形板振动模态计算方法。本专利技术解决上述问题的技术方案是：一种基于谱有限元的矩形板振动模态计算方法，包括以下步骤：步骤一：基于能量函数变分原理得到板振动的边界值问题模型，再基于变量分离方法得到两个方向的自由振动方程；步骤二：确定矩形板两个方向的边界条件，在预设定的模态阶数下采用不同方向相互迭代来计算振动频率和振型，直至两个方向计算得到的振动频率误差在某个指定范围时停止；步骤三：利用最终得到的两个方向的振动模态进行叠加得到矩形板振动模态。上述基于谱有限元的矩形板振动模态计算方法，所述步骤一具体步骤为建立矩形板直角坐标系(x,y,z)，分别定义x,y,z三个方向的位移多元函数u(x,y,t)，v(x,y,t)，w(x,y,t)如下:u(x,y,t)＝zθy(x,y,t)；v(x,y,t)＝-zθx(x,y,t)；w(x,y,t)＝w0(x,y,t)；其中w0(x,y,t)表示板(x,y)位置在z方向t时刻的振动幅值，θx表示板(x,y)位置在t时刻绕x轴的旋转角，θy表示板(x,y)位置在t时刻绕y轴的旋转角；定义能量函数：Π＝U+T，其中表示w(x,y,t)的对时间的导数表示θx(x,y,t)对时间的导数表示θy(x,y,t)对时间的导数常数常数参数定义为：E：板抗弯刚度，a：板长度，b：板宽度，h：板厚度，v：泊松比，ρ:板材料密度；对w(x,y,t)，θx(x,y,t)和θy(x,y,t)进行时空变量分离：w(x,y,t)＝W(x,y)ejωt,其中二元变量W(x,y)表示板(x,y)位置的振动幅值，二元变量表示板(x,y)位置绕x轴的旋转角，二元变量表示板(x,y)位置绕y轴的旋转角；ω:圆频率(rad/s)；求Π的变分且令变分等于0，即对变量W(x,y),进行二元变量分离有：W(x,y)＝Wx(x)Wy(y)其中Wx(x)，Wy(y)分别表示W(x,y)在x,y方向的分离模态函数，分别表示在x,y方向的分离模态函数，分别表示在x,y方向的分离模态函数假定已知y向振动模态函数Wy,利用如下变分公式：δW(x,y)＝WyδWx得到关于x向三个变量的常微分方程组Ⅰ：其中假定已知x向振动模态函数Wx,则利用如下变分公式：δW(x,y)＝WxδWy得到关于y向三个变量的常微分方程组Ⅱ：其中上述基于谱有限元的矩形板振动模态计算方法，所述步骤二中，针对x方向的边界条件定义为三种：简支边界：Wx＝0,Mxx＝0；夹紧边界：Wx＝0,自由边界：Vxz＝0,Mxx＝0,Mxy＝0；其中力矩经过计算后得到如下的计算用边界条件：简支边界：Wx＝0,夹紧边界：Wx＝0,自由边界：针对y方向的边界条件定义为三种：简支边界：Wy＝0,Myy＝0；夹紧边界：Wy＝0,自由边界：Vyz＝0,Myy＝0,Mxy＝0；其中力矩经过计算后得到如下的计算用边界条件：简支边界：Wy＝0,夹紧边界：Wy＝0,自由边界：上述基于谱有限元的矩形板振动模态计算方法，所述步骤二中，采用不同方向相互迭代计算振动频率和振型函数的具体步骤如下2-1)设定y向为第m阶模态，根据y向边界条件选择相应自由振动梁的模态函数作为y向的模态函数；2-2)利用给定的y向模态函数计算得到x向的常微分方程组Ⅰ，根据常微分方程特征值的情况确定x向模态函数的形式，根据边界条件建立以模态函数未知系数为变量的线性方程组，对线性方程组6×6系数矩阵行列式值为0的非线性方程进行优化求解，得到频率值wx,再利用wx代入线性方程组进行求解得到模态函数系数，从而得到x向的模态函数；2-3)利用步骤2-2中计算得到的x向的模态函数，计算得到y向的常微分方程组Ⅱ，根据常微分方程特征值的情况确定y向模态函数的形式，根据边界条件建立以模态函数未知系数为变量的线性方程组，利用系数矩阵的行列式为0进行优化求解得到频率值wy，再利用wy代入线性方程组进行求解得到模态函数系数，从而得到y向的模态函数；2-4)比较步骤2-2和2-3得到的频率值的大小，如果满足|wx-wy|≤ε，则退出迭代，ε为误差值，取值为0.0001；如果不满足条件，则将步骤2-3中得到的y向的模态函数作为给定的步骤2-2中模态函数进行迭代计算。上述基于谱有限元的矩形板振动模态计算方法，所述步骤2-2中，基于已知y向模态函数计算得到频率值wx和x向的模态函数方法如下：根据常微分方程组Ⅰ，令表示微分算子d/dx，则有如下的式子：展开式(3)中的行列式得到如下的方程:其中ψ＝wx,ord1＝a3+b3+c3-b1c1-a1c2；d2＝a3b3+a3c3+b3c3+a2b1c2+a1b2c1-a3b1c1-a2b2-a1b3c2；d3＝a3b3c3-a2b2c3；将试验解ψ＝eλ代入方程(4)，由于表示微分算子，可产生如下的方程：λ6+d1λ4+d2λ2+d3＝0(5)令μ＝λ2，则μ3+d1μ2+d2μ+d3＝0(6)令判别式Δ＝18d1d2d3-4d13d3+d12d22-4d23-27d32，定义wx(x)与函数表达式中的系数关系数值δ1,δ2,δ3，与函数表达式中的系数关系数值γ1,γ2,γ3如下其中i＝1,2,3，k为调节系数，为展开式用到的正弦函数频率值，根据展开式不同的项来进行取整数值，m＝1,2,…,∞；ri为根据式(6)的解计算得到的值；根据判别式的符号以及式(6)中解μ1,μ2,μ3的情形得到如下10种x向振动模态函数形式：(1)判别式小于0，μ1>0：实根，μ2,μ3：共轭复根r2,r3为共轭复数，Re表示实部，Im表示虚部；wx(x)＝-δ1B2cosh(r1x)-δ1B1sinh(r1x)-δ2B4cosh(Re(r2)x)-δ2B3sinh(Re本文档来自技高网...

【技术保护点】
一种基于谱有限元的矩形板振动模态计算方法，包括以下步骤：步骤一：基于能量函数变分原理得到板振动的边界值问题模型，再基于变量分离方法得到两个方向的自由振动方程；步骤二：确定矩形板两个方向的边界条件，在预设定的模态阶数下采用不同方向相互迭代来计算振动频率和振型，直至两个方向计算得到的振动频率误差在某个指定范围时停止；步骤三：利用最终得到的两个方向的振动模态进行叠加得到矩形板振动模态。

【技术特征摘要】
1.一种基于谱有限元的矩形板振动模态计算方法，包括以下步骤：步骤一：基于能量函数变分原理得到板振动的边界值问题模型，再基于变量分离方法得到两个方向的自由振动方程；步骤二：确定矩形板两个方向的边界条件，在预设定的模态阶数下采用不同方向相互迭代来计算振动频率和振型，直至两个方向计算得到的振动频率误差在某个指定范围时停止；步骤三：利用最终得到的两个方向的振动模态进行叠加得到矩形板振动模态。2.根据权利要求1所述的基于谱有限元的矩形板振动模态计算方法，其特征在于：所述步骤一具体步骤为建立矩形板直角坐标系(x,y,z)，分别定义x,y,z三个方向的位移多元函数u(x,y,t)，v(x,y,t)，w(x,y,t)如下:u(x,y,t)＝zθy(x,y,t)；v(x,y,t)＝-zθx(x,y,t)；w(x,y,t)＝w0(x,y,t)；其中w0(x,y,t)表示板(x,y)位置在z方向t时刻的振动幅值，θx表示板(x,y)位置在t时刻绕x轴的旋转角，θy表示板(x,y)位置在t时刻绕y轴的旋转角；定义能量函数：Π＝U+T，其中表示w(x,y,t)的对时间的导数表示θx(x,y,t)对时间的导数表示θy(x,y,t)对时间的导数常数常数参数定义为：E：板抗弯刚度，a：板长度，b：板宽度，h：板厚度，v：泊松比，ρ:板材料密度；对w(x,y,t)，θx(x,y,t)和θy(x,y,t)进行时空变量分离：w(x,y,t)＝W(x,y)ejωt,其中二元变量W(x,y)表示板(x,y)位置的振动幅值，二元变量表示板(x,y)位置绕x轴的旋转角，二元变量表示板(x,y)位置绕y轴的旋转角；ω:圆频率(rad/s)；求Π的变分且令变分等于0，即对变量W(x,y),进行二元变量分离有：W(x,y)＝Wx(x)Wy(y)其中Wx(x)，Wy(y)分别表示W(x,y)在x,y方向的分离模态函数，分别表示在x,y方向的分离模态函数，分别表示在x,y方向的分离模态函数假定已知y向振动模态函数Wy,利用如下变分公式：δW(x,y)＝WyδWx得到关于x向三个变量的常微分方程组Ⅰ：其中假定已知x向振动模态函数Wx,则利用如下变分公式：δW(x,y)＝WxδWy得到关于y向三个变量的常微分方程组Ⅱ：其中3.根据权利要求1所述的基于谱有限元的矩形板振动模态计算方法，其特征在于：所述步骤二中，针对x方向的边界条件定义为三种：简支边界：Wx＝0,Mxx＝0；夹紧边界：Wx＝0,自由边界：Vxz＝0,Mxx＝0,Mxy＝0；其中力矩经过计算后得到如下的计算用边界条件：简支边界：Wx＝0,夹紧边界：Wx＝0,自由边界：针对y方向的边界条件定义为三种：简支边界：Wy＝0,Myy＝0；夹紧边界：Wy＝0,自由边界：Vyz＝0,Myy＝0,Mxy＝0；其中力矩经过计算后得到如下的计算用边界条件：简支边界：Wy＝0,夹紧边界：Wy＝0,自由边界：4.根据权利要求3所述的基于谱有限元的矩形板振动模态计算方法，其特征在于：所述步骤二中，采用不同方向相互迭代计算振动频率和振型函数的具体步骤如下2-1)设定y向为第m阶模态，根据y向边界条件选择相应自由振动梁的模态函数作为y向的模态函数；2-2)利用给定的y向模态函数计算得到x向的常微分方程组Ⅰ，根据常微分方程特征值的情况确定x向模态函数的形式，根据边界条件建立以模态函数未知系数为变量的线性方程组，对线性方程组6×6系数矩阵行列式值为0的非线性方程进行优化求解，得到频率值wx,再利用wx代入线性方程组进行求解得到模态函数系数，从而得到x向的模态函数；2-3)利用步骤2-2中计算得到的x向的模态函数，计算得到y向的常微分方程组Ⅱ，根据常微分方程特征值的情况确定y向模态函数的形式，根据边界条件建立以模态函数未知系数为变量的线性方程组，利用系数矩阵的行列式为0进行优化求解得到频率值wy，再利用wy代入线性方程组进行求解得到模态函数系数，从而得到y向的模态函数；2-4)比较步骤2-2和2-3得到的频率值的大小，如果满足|wx-wy|≤ε，则退出迭代，ε为误差值，取值为0.0001；如果不满足条件，则将步骤2-3中得到的y向的模态函数作为给定的步骤2-2中模态函数进行迭代计算。5.根据权利要求4所述的基于谱有限元的矩形板振动模态计算方法，其特征在于：所述步骤2-2中，基于已知y向模态函数计算得到频率值wx和x向的模态函数方法如下：根据常微分方程组Ⅰ，令表示微分算子d/dx，则有如下的式子：展开式(3)中的行列式得到如下的方程:其中ψ＝wx,d1＝a3+b3+c3-b1c1-a1c2；d2＝a3b3+a3c3+b3c3+a2b1c2+a1b2c1-a3b1c1-a2b2-a1b3c2；d3＝a3b3c3-a2b2c3；将试验解ψ＝eλ代入方程(4)，由于表示微分算子，可产生如下的方程：λ6+d1λ4+d2λ2+d3＝0(5)令μ＝λ2，则μ3+d1μ2+d2μ+d3＝0(6)令判别式Δ＝18d1d2d3-4d13d3+d12d22-4d23-27d32，定义wx(x)与函数表达式中的系数关系数值δ1,δ2,δ3，与函数表达式中的系数关系数值γ1,γ2,γ3如下其中i＝1,2,3，k为调节系数，为展开式用到的正弦函数频率值，根据展开式不同的项来进行取整数值，m＝1,2,…,∞；ri为根据式(6)的解计算得到的值；根据判别式的符号以及式(6)中解μ1,μ2,μ3的情形得到如下10种x向振动模态函数形式：(1)判别式小于0，μ1>0：实根，μ2,μ3：共轭复根r2,r3为共轭复数，Re表示实部，Im表示虚部；wx(x)＝-δ1B2cosh(r1x)-δ1B1sinh(r1x)-δ2B4cosh(Re(r2)x)-δ2B3sinh(Re(r2)x)-δ3B6cos(Im(r2)x)-δ3B5sin(Im(r2)x)(2)判别式小于0，μ1<0：实根，μ2,μ3：共轭复根令r2,r3为共轭复数，Re表示实部，Im表示虚部；wx(x)＝-δ1B2cos(r1x)-δ1B1sin(r1x)-δ2B4cosh(Re(r2)x)-δ2B3sinh(Re(r2)x)-δ3B6cos(Im(r2)x)-δ3B5sin(Im(r2)x)(3)判别式大于0，μ1>0：实根，μ2>0：实根，μ3>0：实根令(4)判别式大于0，μ1>0：实根，μ2>0：实根，μ3<0：实根

【专利技术属性】
技术研发人员：蒋勉，伍济钢，王钢，李学军，王广斌，林京，张文安，
申请(专利权)人：湖南科技大学，
类型：发明
国别省市：湖南,43