一种基于制造技术

本发明专利技术公开了一种基于

【技术实现步骤摘要】
一种基于CR法的非线性梁单元的模拟方法


[0001]本专利技术属于有限元
，具体涉及对大位移
、
大转动梁进行分析的方法
。

技术介绍

[0002]1.
梁单元是用杆系有限单元法进行框架结构分析的基本单元，其弹性刚度矩阵在许多有关结构分析的著作中能找到
。
但是常规的梁单元的弹性刚度矩阵存在着许多的局限性，很少考虑到一些因素的影响：大位移引起的几何非线性
。
[0003]2.
柔性梁在工程上有广泛的应用，在一些存在大位移，大转动的结构，例如大型的空间可展机构
、
飞机和风力发电机的螺旋桨等
。
通常依靠空间非线性梁单元进行数值模拟
。
工程中有大量的结构使用梁构件，其安全性和可靠性是模拟所追求的主要目标
。
在有些情况下，线性分析不能满足计算要求，需要考虑非线性分析
。
由以上工程应用背景可见，对于这类存在大位移，大转动的柔性结构进行分析至关重要
。

技术实现思路

[0004]有鉴于此，本专利技术的目的在于提供一种基于
CR
法的非线性梁单元的模拟方法，以解决大位移，大转动的柔性结构进行分析的技术问题
。
[0005]为达到上述目的，本专利技术提供如下技术方案：
[0006]所述方法包括以下步骤：
(1)
三维有限旋转的理论；
(2)
建立整体坐标系和随梁单元运动的局部单元坐标系；根据梁初始未变形构型中的节点坐标和节点位移建立局部单元坐标系；
(3)
从变形构型中分离刚体位移和变形位移；根据大转动梁的理论以及变分方法从总位移中分离出刚体位移和变形位移；
(4)
推导从局部单元坐标系到整体坐标系的转化矩阵
、
单元的切线刚度矩阵以及平衡方程；
(5)
给出求解平衡方程的迭代过程以及该过程中变量的更新方法；
(6)
非线性方程组的求解方法；
(7)
运动学描述；
(8)T
算子奇点的处理方法；
(9)
插值方法的选择；一种基于
CR
法的非线性梁单元的模拟方法，包括下述步骤：
[0007](1)
三维有限旋转的理论；
[0008](2)
建立整体坐标系和随梁单元运动的局部单元坐标系；
[0009](3)
从变形构型中分离刚体位移和变形位移；
[0010](4)
推导从局部单元坐标系到整体坐标系的转化矩阵
、
单元的切线刚度矩阵以及平衡方程；
[0011](5)
给出求解平衡方程的迭代过程以及该过程中变量的更新方法
。
[0012](6)
非线性方程组的求解方法
。
[0013](7)
运动学描述
。
[0014](8)T
算子奇点的处理方法
。
[0015](9)
插值方法的选择；
[0016]三维有限旋转的理论，步骤
(1)
三维有限旋转的理论如下：
[0017]首先总结旋转群的一些基本符号和性质，以便后续的工作的展开
。
[0018]李群可以看作一个光滑超
(4
维
)
曲面，曲面上每一点上存在唯一的切线空间
(
李代数
)。
这个空间是线性的，我们可以在这个空间上做微积分
。
根据标准用法，我们用
SO(3)
表示旋转群
。
在旋转群
SO(3)
中，对于3×3旋转矩阵
R
，我们有正交性条件
R
T
R
＝
I。
对这个条件求时间导数可以得到切空间，即这个表达式揭示了是一个斜对称矩阵
(
其转置的负值
)。
斜对称矩阵常用
[
ω
]×
表示，并有这样的形式
[0019]即
[
ω
]×
属于
SO(3)
的李代数，我们称之为
so(3)。
李代数是一个向量空间，它的元素可以分解成
[
ω
]×
＝
ω
x
E
x
+
ω
y
E
y
+
ω
z
E
z
[0020]其中，
ω
＝
(
ω
x ω
y ω
z
)∈R3[0021]通过上述关系式可以得到李代数和向量空间之间的转换关系：
[0022]R3→
so(3)
[0023]即：其中，
θ
∈R3是的轴向向量
。
[0024]指数映射：指数映射
exp()
允许我们准确地将李代数的元素转移到李群中，相反的映射是
log()。
[0025]从几何上说，
so(3)
是
SO(3)
在点
I
的切空间，用
so(3)
＝
T
I
SO(3)
表示
。
[0026]exp()
映射通过考虑流形的时间导数而自然产生，如下所示
。
[0027][0028]对于
ω
常数，这是一个常微分方程
(ODE)
，它的解是
R(t)
＝
R0exp([
ω
]×
t)
，在原点
R0＝
I
处，我们有指数映射
R(t)
＝
exp([
ω
]×
t)∈SO(3)
[0029]我们现在定义向量
θ
＝
u
θ
＝
ω
t∈R3表示绕单位轴旋转角
θ
的旋转，我们把它代入上面
。
然后把指数写成幂级数得到：为了找到一个封闭表达式，写出
[0030][0031][0032][0033]并意识到它们都可以表示为
I
，
[u]×
，的倍数
。
因此我们将级数改写为，
[0034][0035]由
cos
，
sin
的级数展开，可得即故旋转矩阵
R
旋转矢量参数化可以通过上述著名的
Rodrigues
公式显式给出
。
[0036]然而，必须注意的是，旋转向量的本文档来自技高网...

【技术保护点】

【技术特征摘要】
1.
一种基于
CR
法的非线性梁单元的模拟方法，其特征在于，包括下述步骤：
(1)
三维有限旋转的理论；
(2)
建立整体坐标系和随梁单元运动的局部单元坐标系；
(3)
从变形构型中分离刚体位移和变形位移；
(4)
推导从局部单元坐标系到整体坐标系的转化矩阵
、
单元的切线刚度矩阵以及平衡方程；
(5)
给出求解平衡方程的迭代过程以及该过程中变量的更新方法；
(6)
非线性方程组的求解方法；
(7)
运动学描述；
(8)T
算子奇点的处理方法；
(9)
插值方法的选择
。2.
如权利要求1所述的，基于
CR
法的非线性梁单元的模拟方法，其特征在于：三维有限旋转的理论：步骤
(1)
三维有限旋转的理论如下：旋转群可以看作一个光滑超
(4
维
)
曲面，曲面上每一点上存在唯一的切线空间
(
李代数
)
，根据标准用法，用
SO(3)
表示旋转群，在旋转群
SO(3)
中，对于3×3旋转矩阵
R
，有正交性条件
R
T
R
＝
I
，对这个条件求关于时间的导数可以得到切空间，即这个表达式揭示了是一个斜对称矩阵
(
其转置的负值
)
，斜对称矩阵常用
[
ω
]
×
表示，并有这样的形式即
[
ω
]
×
属于
SO(3)
的李代数，我们称之为
so(3)。
通过上述关系式可以得到李代数和向量空间之间的转换关系：即：其中，
θ
∈R3是的轴向向量
。
指数映射：指数映射
exp()
准确地将李代数的元素转移到李群中，相反的映射是
log()
，从几何上说，
so(3)
是
SO(3)
在点
I
的切空间，用
so(3)
＝
T
I
SO(3)
表示，
exp()
映射通过考虑流形的时间导数而自然产生，如下所示：经过一系列计算后可得即故旋转矩阵
R
旋转矢量参数化可以通过
Rodrigues
公式显式给出，旋转向量的唯一提取只能在
ψ
∈[
‑
π
,
π
]
区间内，如果将有限角
Δθ
旋转叠加到给定的
R
上，则得到的
R
n
遵循如下关系
:
R
n
＝
exp[S(
ψ
n
)]
＝
exp[S(
ψ
+
Δψ
)]
＝
exp[S(
Δθ
)]R≠exp[S(
ψ
+
Δθ
)]
非线性流形
SO(3)
对于其元素的乘法也是不可交换的，即左乘和右乘产生的结果不相同，
Δθ
和
ΔΘ
通过前推算子
R
联系起来，
Δθ
＝
R
ΔΘ
，其中
Θ
是有限旋转
ΔθΔθ
在局部坐标下的表示，将有限旋转
Δθ
替换为无穷小空间量
δθ
，表示为自旋矢量，旋转张量
R
的变化量的表达式如下：因此，自旋向量的斜对称矩阵
S(
δθ
)
描述了切空间
T
R
SO(3)
内
R
的无穷小变化
δ
R。
已经声明过，如
exp[S(
Δθ
)]R≠exp[S(
ψ
+
Δθ
)]
中出现的有限旋转不是可加的，然而，对于无穷小的旋转，也成立，即
δθ
≠
δψ
。
用切算子
T
给出了无穷小的加性增量和乘性增量之间的关系：
δψ
＝
T
δθ
，其中
3.
如权利要求1所述的基于
CR
法的非线性梁单元的模拟方法，其特征在于：建立整体坐标系的方法，步骤
(2)
以右手螺旋法则定义的笛卡尔坐标系为整体坐标系
[e
1 e
2 e3],
其中，
e1＝
[1 0 0]
T
，
e2＝
[0 1 0]
T
，
e3＝
[0 0 1]
T
。4.
如权利要求1所述的基于
CR
法的非线性梁单元的模拟方法，其特征在于：随梁单元运动的局部单元坐标系的方法，步骤
(2)
建立局部参考系统
R
r
＝
[r
1 r
2 r3]。5.
如权利要求1所述的基于
CR
法的非线性梁单元的模拟方法，其特征在于，从变形构型中分离刚体位移和变形位移的方法步骤
(3)
节点
i
的全局旋转
R
i
可以被表示为相对局部系统的局部旋转和局部系统刚体旋转
R
r
的组合，另一方面，节点方向也可以通过与
R
o
的相乘得到，如图1所示
。
所以，对变分，进一步化简得：转化为向量形式：
6.
如权利要求1所述的基于
CR
法的非线性梁单元的模拟方法，其特征在于：推导从局部单元坐标系到整体坐标系的转化矩阵
、
单元的切线刚度矩阵以及平衡方程的方法，步骤
(4)
局部单元坐标系下的变形位移向量内力向量其中，是梁轴向的伸长量，是梁单元第
i
个结点处的变形转角向量，
n
是梁的轴力，
m
i
是单元第
i
个结点处的弯矩
。
整体坐标系下的位移向量其中，是梁单元第
i
个结点处的总位移向量，是梁单元第
i
个结点处的总转角向量
(
包含刚体位移和变形位移
)。
局部单元坐标系下位移向量与整体坐标系下位移向量的关系为：由内力虚功在局部坐标系和整体坐标系的表达式：得出内力的转化公式：
f
g
＝
B
T
f
l
整体下的切线刚...

【专利技术属性】
技术研发人员：刘小会，杨军，范理，王彪，赵建坤，安东，徐宇，吕雨桐，
申请(专利权)人：内蒙古电力集团有限责任公司内蒙古电力科学研究院分公司，
类型：发明
国别省市：