一种基于Spectral/hp法的方腔顶盖驱动流的计算方法技术

本发明专利技术涉及一种基于Spectral/hp法的方腔顶盖驱动流的计算方法，属于计算流体力学技术领域。构建方腔顶盖驱动流的计算模型，该步骤包括：对无障碍物和有方形障碍物的方腔顶盖驱动流模型进行几何模型的建立；进行网格划分；流入速度与边界条件的施加；对计算模型进行高阶离散化，以划分的网格作为求解域，在该求解域上构造高阶多项式插值函数；对计算模型求解Navier

【技术实现步骤摘要】
一种基于Spectral/hp法的方腔顶盖驱动流的计算方法


[0001]本专利技术涉及一种基于Spectral/hp法的方腔顶盖驱动流的计算方法，属于计算流体 力学


技术介绍

[0002]方腔驱动流是由一个或多个壁面运动产生的内部再循环流动。方腔驱动流问题的 求解不仅在技术上很重要，而且具有重要的科学意义，因为它在最简单的几何设置中 显示了许多重要的的流体力学现象，并且可以在相同的封闭几何结构中进行研究。
[0003]在h型有限元方法中，每个单元使用固定阶多项式作为插值基函数，并通过减小 单元尺寸的大小来实现收敛。这就是经典的h型有限元法，其中h表示单元的尺寸， 该方法具有极高的几何灵活性。在p型有限元法中，采用固定网格，通过在每个单元 中增加插值多项式的阶数来提高数值解的收敛性，这就是p型有限元法，其中p表示 单元中插值多项式的阶数。高阶插值多项式有助于数值解的快速收敛。如果将整个求 解域作为一个单元来处理，那么p型有限元法就变成了谱方法。而hp型有限元法则是 通过同时减小单元尺寸的大小和提高插值多项式的阶数来加速数值解的收敛性。
[0004]与传统的低阶有限元法相比，Spectral/hp单元法理论上可以在解足够光滑的假设下 提供任意阶的空间逼近精度。而且，Spectral/hp单元法的紧凑性非常适合利用现代多核 计算硬件。所有上述特性都将Spectral/hp方法定位为一种用于以相对较低的计算成本 获得高精度数值解的计算方法。Spectral/hp离散化是连续和不连续Galerkin公式的基础 近似，可以在一维、二维和三维空间中构建。一般来说，计算网格可以由不同形状的 混合单元组成，这些单元可以是二维的三角形和四边形，也可以是三维的四面体、棱 锥、棱柱和六面体。在每个单元中使用多项式插值，对于连续伽辽金展开，这些单元 的插值函数通常可分为点模式、边模式和内部模式插值函数。
[0005]Spectral/hp单元法将经典h型有限元法的几何灵活性与谱方法和hp有限元法的高 精度数值特性相结合，在粗糙的有限元网格上采用高阶分段多项式基函数，空间近似 基于正交多项式，例如勒让德或切比雪夫多项式。在计算和理论上，通过细分网格h 和增加多项式阶数p，可以获得高精度数值解并具有快速收敛的特性，特别是在某些条 件和假设下，数值解和精确解之间的近似误差可以实现指数级减小。

技术实现思路

[0006]针对现有技术存在的问题及不足，本专利技术提供一种基于Spectral/hp法的方腔顶盖 驱动流的计算方法。本专利技术通过以下技术方案实现。
[0007]一种基于Spectral/hp法的方腔顶盖驱动流的计算方法，其按以下步骤进行：
[0008]步骤1、构建方腔顶盖驱动流的计算模型，该步骤包括：对无障碍物和有方形障碍 物的方腔顶盖驱动流模型进行几何模型的建立；进行网格划分；流入速度与边界条件 的施加；
[0009]步骤2、对计算模型进行高阶离散化，以步骤1划分的网格作为求解域，在该求解 域上构造高阶多项式插值函数，其具体步骤如下：
[0010]一个求解域Ω，将它划分为一个包含N
el
个单元的网格，用Ω
e
表示，使得非重叠单 元的并集等于求解域，即：
[0011][0012]对于域Ω＝{x|0＜x＜l}，一维情况下用点x
i
来表示节点：
[0013]l为区间长度。
[0014]第e个单元定义为：
[0015]Ω
e
＝{x|x
e
‑1＜x＜x
e
}
[0016]引入一维标准单元：
[0017]Ω
st
＝{ξ|
‑
1≤ξ≤1}
[0018]根据局部坐标ξ定义一个在Ω
st
上的线性函数φ(ξ)：
[0019][0020][0021]标准单元Ω
st
通过变换χ
e
(ξ)映射到任意单元Ω
e
，
[0022][0023]χ
e
(ξ)的逆为：
[0024][0025]通过将标准单元Ω
st
映射到每个单元Ω
e
，从而用局部扩展函数φ(ξ)来表示全局基函 数Φ(x)，如：
[0026][0027][0028]在标准单元Ω
st
＝{x|
‑
1≤x≤1}中引入三种函数展开式，分别表示为 (0≤p≤P)。所有这些函数展开式都是直到P阶的多项式， 在数学上定义为：
[0029][0030]二维情况下的多项式插值类似于一维的情况，所有多项式插值都将在标准区域Ω
st
中构造，在二维中，考虑四边形或三角形的标准区域。对于张量基，分别用φ
pq
(ξ1，ξ2)、 表示二维多项式基函数，其中ξ1、ξ2是标准笛卡尔坐标系下的坐标。二维的基函数可 以用一维基函数的乘积或张量积来表示：
[0031][0032]式中为一维基函数。
[0033]以二维情况下的四边形单元为例，如图7所示：
[0034]四个顶点A、B、C、D的点模式基函数构造如下：
[0035][0036][0037][0038][0039]对应于四边形四个边AB、CD、AC、BD的边模式定义如下：
[0040][0041][0042][0043][0044]四边形单元插值函数的内部模式定义为：
[0045][0046]步骤3、对计算模型求解Navier
‑
Stokes方程，该步骤包括：求解弱压泊松问题， 求解离散点处的速度，步骤3具体步骤包括：
[0047]在求解域内取粘性不可压N
‑
S方程内积建立压力泊松方程；
[0048]首先写出如下形式的黏性不可压Navier
‑
Stokes方程：
[0049][0050]其中u为速度，p为压力，v为运动粘度，f为外力，t为时间，式中将密度简化为ρ＝1 并合到压力p中。
[0051]步骤3.1、通过取方程在解域Ω上与的内积来建立一个弱压泊松问题。
[0052][0053]其中等式右边第一项是压力的拉普拉斯算子的弱近似。 要将这一项与速度系统解耦，需要几个步骤。使用等式：
[0054][0055]通过将方程最后一项设置为零来使散度为零。将方程中的第1、2和最后一项使用 分部积分，得到弱压方程：
[0056][0057]其中是求解域的边界，这里使用了为了得到弱压泊松方程 的最终形式，使用一个时间导数的近似：
[0058][0059]其中是一个中间速度，用于解耦系统，这里施加了的条件及：
[0060][0061]最后，引入了非线性项和旋涡项的一致外推形式：
[0062][0063]最终得到弱压力近似公式：
[0064][0065]这本文档来自技高网...

【技术保护点】

【技术特征摘要】
1.一种基于Spectral/hp法的方腔顶盖驱动流的计算方法，其特征在于，按以下步骤进行：步骤1、构建方腔顶盖驱动流的计算模型，该步骤包括：对无障碍物和有方形障碍物的方腔顶盖驱动流模型进行几何模型的建立；进行网格划分；流入速度与边界条件的施加；步骤2、对计算模型进行高阶离散化，以步骤1划分的网格作为求解域，在该求解域上构造高阶多项式插值函数；步骤3、对计算模型求解Navier
‑
Stokes方程，该步骤包括：求解弱压泊松问题，求解离散点处的速度。2.根据权利要求1所述的基于Spectral/hp法的方腔顶盖驱动流的计算方法，其特征在于：所述步骤3具体步骤包括：步骤3.1、在求解域内取粘性不可压N
‑
S方程内积建立压力泊松方程；建立的压力泊松方程为该方程一致的Neumann边界条件规定为式中
▽
为梯度算子，
▽2为拉普拉斯算子，P为压力，n为迭代次数，t为时间，为速度的外推值，N
*，n+1
为非线性项和旋涡项的一致外推形式，u
n+1
为用于解耦压力和速度系统的中间速度，v为运动粘...

【专利技术属性】
技术研发人员：肖博，张建铭，杨文升，
申请(专利权)人：昆明理工大学，
类型：发明
国别省市：