一种基于四元数矩阵奇异值分解的彩色图像压缩方法技术

本发明专利技术涉及一种基于四元数矩阵奇异值分解的彩色图像压缩方法，该方法包括以下步骤：步骤S1，将给定的彩色图像采用四元数矩阵进行表示；步骤S2，对步骤S1构建的四元数矩阵进行奇异值分解；步骤S3，根据给定的误差和奇异值范数的大小确定降维的程度；步骤S4，根据步骤S3的结果，计算原始彩色图像的最佳近似值，完成图像压缩。与现有技术相比，本发明专利技术具有运行时间快、误差小等优点。误差小等优点。误差小等优点。

【技术实现步骤摘要】
一种基于四元数矩阵奇异值分解的彩色图像压缩方法


[0001]本专利技术涉及一种图像压缩方法，尤其是涉及一种基于四元数矩阵奇异值分解的彩色图像压缩方法。

技术介绍

[0002]图像压缩技术的研究始于1948年的数字电视信号。在过去的70年里，许多灰度图像压缩方法得到了发展。然而，由于彩色图像技术在互联网上的快速应用，研究人员将注意力转向了彩色图像压缩。与灰度图像相比，彩色图像可以大大提高信息的容量和保真度。它可以被分解成多个素色通道，因此彩色图像的压缩比单一的灰度图像压缩更具挑战性。
[0003]利用奇异值分解(Singular Value Decomposition,SVD)的压缩算法越来越受欢迎，但是传统的彩色图像处理方法(图像压缩)，往往需要将一个彩色图像转变为三幅R,G,B灰度图像，然后分别对这三幅灰色图像进行处理，进而构造原彩色图像处理问题；但是这种处理方法忽略了原彩色图像的整体性。
[0004]经过检索，中国专利公开号CN103150709A公开了一种基于伪牛顿法的四元数域彩色图像压缩感知恢复方法，具体公开了将彩色图像转化为四元数矩阵信号，采用四元数矩阵信号的欧拉表示形式，在压缩感知恢复算法中加入了四元数矩阵信号的幅度和相位作为新的约束项，使恢复的图像更为平滑；因此现有技术基于四元数矩阵的彩色图像处理技术，可以把一幅彩色图像看作一个纯虚四元数矩阵，保留了原彩色图像各个分量之间的关系；但是，直接利用四元数矩阵进行彩色图像处理，相当于把三维彩色图像问题转换为了四维四元数矩阵问题，增加了计算量。<br/>
技术实现思路

[0005]本专利技术的目的就是为了克服上述现有技术存在的缺陷而提供一种运行时间快、误差小的基于四元数矩阵奇异值分解的彩色图像压缩方法。
[0006]本专利技术的目的可以通过以下技术方案来实现：
[0007]根据本专利技术的第一方面，提供了一种基于四元数矩阵奇异值分解的彩色图像压缩方法，该方法包括以下步骤：
[0008]步骤S1，将给定的彩色图像采用四元数矩阵进行表示；
[0009]步骤S2，对步骤S1构建的四元数矩阵进行奇异值分解；
[0010]步骤S3，根据给定的误差和奇异值范数的大小确定降维的程度；
[0011]步骤S4，根据步骤S3的结果，计算原始彩色图像的最佳近似值，完成图像压缩。
[0012]作为优选的技术方案，所述的步骤S1具体过程为：
[0013]步骤S101，在四元数模型下，彩色图像的每个像素被视为一个纯虚的四元数，表达式如下：
[0014]q(x,y)＝r(x,y)i+g(x,y)j+b(x,y)k,
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(1)
[0015]其中r(x,y),g(x,y)和b(x,y)分别代表图像中(x,y)点的红、绿和蓝的坐标，i,j,k
为纯四元数q的三个虚部单位；
[0016]步骤S102，将一个具有m行和n列的彩色图像用一个纯虚四元矩阵表示，表达式如下：
[0017]A＝Ri+Gj+Bk∈H
m
×
n
,
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(2)
[0018]其中R,G,B是实数矩阵，分别表示红、绿、蓝三种颜色，H
m
×
n
是m
×
n维的四元数矩阵；
[0019]步骤S103，对于任何四元数矩阵A＝A1+A2i+A3j+A4k＝B1+B2j∈H
m
×
n
，其中A1,A2,A3,A4∈R
m
×
n
,B1,B2∈C
m
×
n
，R
m
×
n
和C
m
×
n
分别是m
×
n维的实数矩阵和复数矩阵，A的复表示矩阵A
σ
定义为：
[0020][0021]其中C
2m
×
2n
是2m
×
2n维的复数矩阵；
[0022]且复表示矩阵满足以下等式：
[0023][0024]其中I
m
是m
×
m维的单位矩阵，I
n
是n
×
n维的单位矩阵，为复表示矩阵A
σ
的前n列，为复表示矩阵A
σ
的前m行，为Q
m
的转置矩阵，Q
m
为由I
m
构成的矩阵，Q
n
为由I
n
构成的矩阵；
[0025]步骤S103，通过公式(3)和(4)，得到：
[0026](M+N)
σ
＝M
σ
+N
σ
,(MP)
σ
＝M
σ
P
σ
,(aM)
σ
＝aM
σ
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(5)
[0027][0028][0029](M
H
)
σ
＝(M
σ
)
H
,
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(8)
[0030]其中M,N为m
×
n维的四元数矩阵，P为n
×
p维的四元数矩阵，a为任意实数，M
σ
为M的复表示矩阵，为复表示矩阵M
σ
的前n列，为复表示矩阵M
σ
的前m行，M
H
为四元数矩阵M的共轭转置矩阵，N
σ
为N的复表示矩阵，为复表示矩阵N
σ
的前n列，为复表示矩阵N
σ
的前m行，P
σ
为P的复表示矩阵，为复表示矩阵P
σ
的前p列,为复表示矩阵P
σ
的前n行；
[0031]步骤S104，对于任何四元矩阵A∈H
m
×
n
，令m≥n，则有：
[0032](1)存在两个四元数酉矩阵U1∈H
m
×
m
,V1∈H
n
×
n
使得
[0033][0034]其中D∈R
m
×
n
，U1为四元数酉矩阵，为U1的共轭转置矩阵，为U1的复表示矩阵，A
σ
为A的复表示矩阵，V1为四元数酉矩阵，为V1的复表示矩阵，D为上双对角矩阵；
[0035](2)存在两个四元数酉矩阵U∈H
m
×
m
,V∈H
n
×
n
使得
...

【技术保护点】

【技术特征摘要】
1.一种基于四元数矩阵奇异值分解的彩色图像压缩方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：步骤S1，将给定的彩色图像采用四元数矩阵进行表示；步骤S2，对步骤S1构建的四元数矩阵进行奇异值分解；步骤S3，根据给定的误差和奇异值范数的大小确定降维的程度；步骤S4，根据步骤S3的结果，计算原始彩色图像的最佳近似值，完成图像压缩。2.根据权利要求1所述的一种基于四元数矩阵奇异值分解的彩色图像压缩方法，其特征在于，所述的步骤S1具体过程为：步骤S101，在四元数模型下，彩色图像的每个像素被视为一个纯虚的四元数，表达式如下：q(x,y)＝r(x,y)i+g(x,y)j+b(x,y)k,
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(1)其中r(x,y),g(x,y)和b(x,y)分别代表图像中(x,y)点的红、绿和蓝的坐标，i,j,k为纯四元数q的三个虚部单位；步骤S102，将一个具有m行和n列的彩色图像用一个纯虚四元矩阵表示，表达式如下：A＝Ri+Gj+Bk∈H
m
×
n
,
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(2)其中R,G,B是实数矩阵，分别表示红、绿、蓝三种颜色，H
m
×
n
是m
×
n维的四元数矩阵；步骤S103，对于任何四元数矩阵A＝A1+A2i+A3j+A4k＝B1+B2j∈H
m
×
n
，其中A1,A2,A3,A4∈R
m
×
n
,B1,B2∈C
m
×
n
，R
m
×
n
和C
m
×
n
分别是m
×
n维的实数矩阵和复数矩阵，A的复表示矩阵A
σ
定义为：其中C
2m
×
2n
是2m
×
2n维的复数矩阵；且复表示矩阵满足以下等式：其中I
m
是m
×
m维的单位矩阵，I
n
是n
×
n维的单位矩阵，为复表示矩阵A
σ
的前n列，为复表示矩阵A
σ
的前m行，为Q
m
的转置矩阵，Q
m
为由I
m
构成的矩阵，Q
n
为由I
n
构成的矩阵；步骤S103，通过公式(3)和(4)，得到：(M+N)
σ
＝M
σ
+N
σ
,(MP)
σ
＝M
σ
P
σ
,(aM)
σ
＝aM
σ
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(5)(5)(M
H
)
σ
＝(M
σ
)
H
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(8)其中M,N为m
×
n维的四元数矩阵，P为n
×
p维的四元数矩阵，a为任意实数，M
σ
为M的复表示矩阵，为复表示矩阵M
σ
的前n列，为复表示矩阵M
σ
的前m行，M
H
为四元数矩阵M的共轭转置矩阵，N
σ
为N的复表示矩阵，为复表示矩阵N
σ
的前n列，为复表示矩阵N
σ
的前m
行，P
σ
为P的复表示矩阵，为复表示矩阵P
σ
的前p列,为复表示矩阵P
σ
...

【专利技术属性】
技术研发人员：姜川，张冬，
申请(专利权)人：张冬，
类型：发明
国别省市：