基于稳定广义有限元的弹性裂缝问题模拟方法技术

本发明专利技术提供的一种基于稳定广义有限元的弹性裂缝问题模拟方法，改进传统GFEM/XFEM的精度和条件数，使得裂缝问题的数值模拟更加精确和稳健，由于裂缝问题是结构分析技术的关键环节之一，因此本技术方案对工程力学中的结构分析领域有重要的促进作用。另外，本方法设计高度自动化和标准化，既可以嵌入到当前结构分析商业软件中，促进这些软件的升级，又可以作为工程软件自主开发的技术汇集。最后，本发明专利技术的技术方案是关键工程软件发展的步奏之一，算法创新性强，模拟精度高，软件架构清晰合理，可嵌入性、扩展性强，并行化程度高，具有很大的发展潜力和应用前景。

【技术实现步骤摘要】
基于稳定广义有限元的弹性裂缝问题模拟方法
本专利技术涉及工程计算力学软件应用
，更具体的，涉及一种基于稳定广义有限元的弹性裂缝问题模拟方法。
技术介绍
弹性裂缝和裂缝扩展模拟问题是力学问题中的一个重要问题，其相关性和重要性源于数值断裂力学在飞机机身，压力容器，汽车零部件和铸件等安全关键零部件的疲劳寿命预测中的广泛应用。疲劳破坏通常是由于表面或近表面裂缝的产生和传播而引起的，对于任意形状的裂缝，只能采用数值方法来模拟裂缝扩展问题，裂缝问题数值模拟的主要环节是弹性力学方程组的数值求解。现有技术中，令Ω表达带裂缝ΓO和裂缝尖端O的裂缝区域，设Γ为Ω的边界，为Γ的单位向外法向量。Γ由本质边界ΓD和自然边界ΓN组成，如图1所示。用粗体记号表达空间中的矢量值函数或向量，例如u＝[u1，u2]T。Ω内的裂缝问题的弹性方程组如下：其中，是应力张量，f是体力，g和u0分别是自然边界条件和本质边界条件，是ΓO的单位向外法向向量。x和y方向如图1所示，(r,θ)是对应的极坐标。应变张量∈(u)记做模型具体表示为：其中前者是平面应变，而后者是平面应力，E是杨氏模量，v是泊松比。问题(P1)解u的主要部分对应于如下Ⅰ型和Ⅱ型开模型uI和uII[13,10]：其中MI和MII是和压力强度因子有关的系数。E，v和κ是Kolosov常数([5,13,10])。u在裂缝ΓO处是间断的，在裂缝尖O周围是奇异的。因此，常规有限元法(finiteelementmethod,FEM)在裂缝传播过程中需要不断地加密和更新网格，计算量极高。针对这个困难，近二十年学者们发展了广义或扩展有限元方法(generalized/extendedFEM,GFEM/XFEM)，该方法在固定规则网格FEM基础上增加富集函数(enrichment)来求解裂缝问题，效率非常理想。GFEM/XFEM已广泛应用于各种工程问题，例如裂缝扩展，材料建模，多相流和流体-结构相互作用等[2,7]。一些通用的有限元软件也已经将GFEM/XFEM集成到框架之中，如Ansys，Abaqus，LS-dyna等。虽然GFEM/XFEM解决了网格计算量大的困难，且达到比较高的计算精度，但是由于原有的有限元函数和新增加的富集函数之前存在线性相关性，使得刚度矩阵的条件数很大，从而在求解线性方程组时可能导致显著的截断误差，甚至可能导致数值模拟过程的失败。条件数问题已经成为GFEM/XFEM研究的主要技术困难之一[4,7]，相关的研究工作很多[4,11,14,15]，但是目前为止尚未得到很好地解决。此外，由于GFEM/XFEM的程序框架与通常的FEM有不同之处，跟FEM相比，GFEM/XFEM的并行化处理和高性能计算方面也是一项挑战性的工作。
技术实现思路
本专利技术为克服现有的广义或扩展有限元方法存在刚度矩阵的条件数很大，在求解时存在可能导致显著的截断误差，甚至可能导致数值模拟过程的失败的技术缺陷，提供一种基于稳定广义有限元的弹性裂缝问题模拟方法。为解决上述技术问题，本专利技术的技术方案如下：基于稳定广义有限元的弹性裂缝问题模拟方法，包括以下步骤：S1：根据裂缝问题GFEM/XFEM构建具有集合富集策略的GFEM/XFEM；S2：采用线性Heaviside函数对富集策略中的富集函数进行修正；S3：改变标准FEM的有限元PU函数，构造新型的SGFEM基本函数；S4：基于局部主成分分析技术对SGFEM基本函数进行处理，消除单个节点多个富集函数导致的冗余，得到SGFEM模型；S5：通过SGFEM模型对裂缝问题进行求解，完成裂缝问题的模拟。其中，所述步骤S1过程具体为：区域Ω被剖分为拟正则三角形或四边形网格单元es,网格的尺寸参数用h表示，网格是简单的、固定的，且与裂缝ΓO无关，{(xi，yi)：i∈Ih}记为网格节点集；令φi，i∈Ih为标准的有限元函数，而是与φi的支撑集；GFEM/XFEM的主要思想是通过使用PU函数[7,6,10,13]将有限元函数和表达真解性质的特殊函数耦合起来，达到高精度的逼近效果，这些特殊函数称为富集函数；裂缝问题GFEM/XFEM的近似函数uh如下：其中IH为与裂缝相交的单元的节点集，但是要除去支撑集包含裂尖的节点，ai、bi、表示中间变量，Sj表示中间函数；Is为与裂尖为中心、半径为R的圆B(O，R)内部的节点集，这种GFEM/XFEM被称为具有几何富集策略的GFEM/XFEM；在式(2)中，函数为Heaviside函数，用于模拟真解在裂缝处的不连续性，而称为裂尖加强函数，其中，R是富集范围的半径，r,θ是极坐标，数学表达式的中间变量；利用富集函数H和完成GFEM/XFEM的构建。上述方案中，由于富集函数H和的引入，导致它们与有限元函数之间发生线性相关性，使得刚度矩阵的条件数比有限元大很多，从而在求解线性方程组时可能导致显著的截断误差，甚至可能导致数值模拟过程的失败。因此，采用稳定广义有限元法的思想改进传统GFEM/XFEM的条件数，并且提高逼近误差，改进的手段有修正富集函数、改变PU函数，局部主成分分析几个方面。其中，所述步骤S2过程具体为：在式(2)中，采用线性Heaviside函数代替传统GFEM/XFEM的Heaviside函数H，然后和修正如下：其中是有限元插值算子，即对于一个连续函数F，其中，参数v、φj均为数学表达式的中间变量；至此，得到基于修正后的富集函数，构建具有集合富集策略的GFEM/XFEM。上述方案中，由式(3)可以发现，富集函数减掉了它们的有限元插值，这是减轻其与有限元函数线性相关性的举措之一[1,9,16,17,18]。其中，所述步骤S3具体为：将式(2)中，标准的FEM函数φi作为PU函数，这也是刚度矩阵条件数变坏的原因之一，参见[11,17]的论述。因此，将PU函数修改为高阶多项式PU函数，具体为，令：Q0＝(1-ξ)2(1+2ξ)，Q1＝ξ2(3-2ξ)，ξ∈[0，1]为一个一维参考单元[0,1]上的PU函数，根据此函数得到二维参考单元[0，1]×[0，1]上的PU函数具体如下：为了得到任一实际单元es上的PU函数，令(x，y)＝Fs(ξ，η)为参考单元到es上的仿射变换，则es上的PU函数为将这些单元PU函数根据节点组装起来便得到了所需的PU函数Qi，i∈Ih；基于修正后的富集函数(3)和新的PU函数Qi，得到新型的SGFEM基本函数表达式：式(4)即为新型的SGFEM基本函数表达式，根据[16,18]中的思想可以数学上证明该SGFEM可以达到最优收敛阶。其中，所述步骤S4具体为：在式(4)中发现，有些节点富集了多个函数，例如IH中的每个节点富集三个函数，IS中的每个节点富集四个函数，而IH∩IH中的每个节本文档来自技高网...

【技术保护点】
1.基于稳定广义有限元的弹性裂缝问题模拟方法，其特征在于，包括以下步骤：/nS1：根据裂缝问题GFEM/XFEM构建具有集合富集策略的GFEM/XFEM；/nS2：采用线性Heaviside函数对富集策略中的富集函数进行修正；/nS3：改变标准FEM的有限元PU函数，构造新型的SGFEM基本函数；/nS4：基于局部主成分分析技术对SGFEM基本函数进行处理，消除单个节点多个富集函数导致的冗余，得到SGFEM模型；/nS5：通过SGFEM模型对裂缝问题进行求解，完成裂缝问题的模拟。/n

【技术特征摘要】
1.基于稳定广义有限元的弹性裂缝问题模拟方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1：根据裂缝问题GFEM/XFEM构建具有集合富集策略的GFEM/XFEM；
S2：采用线性Heaviside函数对富集策略中的富集函数进行修正；
S3：改变标准FEM的有限元PU函数，构造新型的SGFEM基本函数；
S4：基于局部主成分分析技术对SGFEM基本函数进行处理，消除单个节点多个富集函数导致的冗余，得到SGFEM模型；
S5：通过SGFEM模型对裂缝问题进行求解，完成裂缝问题的模拟。


2.根据权利要求1所述的基于稳定广义有限元的弹性裂缝问题模拟方法，其特征在于，所述步骤S1过程具体为：
区域Ω被剖分为拟正则三角形或四边形网格单元es,网格的尺寸参数用h表示，网格是简单的、固定的，且与裂缝ΓO无关，{(xi，yi)：i∈Ih}记为网格节点集；令φi，i∈Ih为标准的有限元函数，而是与φi的支撑集；GFEM/XFEM的主要思想是通过使用PU函数将有限元函数和表达真解性质的特殊函数耦合起来，达到高精度的逼近效果，这些特殊函数称为富集函数；裂缝问题GFEM/XFEM的近似函数uh如下：



其中IH为与裂缝相交的单元的节点集，但是要除去支撑集包含裂尖的节点，ai、bi、表示中间变量，Sj表示中间函数；Is为与裂尖为中心、半径为R的圆B(O，R)内部的节点集，这种GFEM/XFEM被称为具有几何富集策略的GFEM/XFEM；在式(2)中，函数



为Heaviside函数，用于模拟真解在裂缝处的不连续性，而



称为裂尖加强函数，其中，R是富集范围的半径，r,θ是极坐标，数学表达式的中间变量；利用富集函数H和完成GFEM/XFEM的构建。


3.根据权利要求2所述的基于稳定广义有限元的弹性裂缝问题模拟方法，其特征在于，所述步骤S2过程具体为：
在式(2)中，采用线性Heaviside函数代替传统GFEM/XFEM的Heaviside函数H，然后和修正如下：



其中是有限元插值算子，即对于一个连续函数F，



其中，参数v、φj均为数学表达式的中间变量；至此，得到基于修正后的富集函数，构建具有集合富集策略的GFEM/XFEM。


4.根据权利要求3所述的基于稳定广义有限元的弹性裂缝问题模拟方法，其特征在于，所述步骤S3具体为：将式(2)中的PU函数修改为高阶多项式PU函数，具体为，令：
Q0＝(1-ξ)2(1+2ξ)，Q1＝ξ2(3-2ξ)，ξ∈[0，1]
为一个一维参考单元[0,1]上的PU函数，根据此函数得到二维参考单元[0，1]×[0，1]上的PU函数具体如下：



为了得到任一实际单元es上的PU函数，令(x，y)＝Fs(ξ，η)为参考单元到es上的仿射变换，则es上的PU函数为



将这些单元PU函数根据节点组装起来便得到了所需的PU函数Qi，i∈Ih；基于修正后的富集函数(3)和新的PU函数Qi，得到：



式(4)即为新型的SGFEM基本函数表达式。


5.根据权利要求4所述的基于稳定广义有限元的弹性裂缝问题模拟方法，其特征在于，所述步骤S4具体为：在式(4)中发现，有些节点富集了多个函数，因此，用表示每个富集节点(xi，yi)的富集函数，则有：



显然对应于i∈IH，i∈Is，i∈IH∩Is，α分别等于3，4，7，每个节点的多个富集函数之间的线性相关性是刚度矩阵条件数很大的另一个来源，为此，提出一种局部主成分分析LPCA技术，以消除单个节点多个富集函数导致的冗余；因为弹性力学方程是向量值方程，对于任意i∈IH∪Is，表示Ei关于x-和y-...

【专利技术属性】
技术研发人员：张庆辉，崔蹴，
申请(专利权)人：中山大学，
类型：发明
国别省市：广东;44