快速收敛的带有稀疏扰动的量子态重构方法技术

本发明专利技术公开了一种快速收敛的带有稀疏扰动的量子态重构方法，考虑量子态约束条件下，利用近邻梯度算法，逼近地求解出有关密度矩阵和稀疏干扰的子问题以获得封闭解，采用可调步长更新拉格朗日乘子以加快收敛速度，该算法在保证重构精度的前提下，极大地降低重构运算时间，达到优化量子态重构算法的目的。 1

A fast convergent quantum state reconstruction method with sparse perturbations

The present invention discloses a fast convergent quantum state reconstruction method with sparse perturbation. Considering the quantum state constraints, the close neighbor gradient algorithm is used to solve the subproblem of the density matrix and the sparse interference to obtain the closed solution. The Lagrange multiplier is updated by the adjustable step length to speed up the convergence speed. Under the premise of ensuring the accuracy of reconstruction, the algorithm greatly reduces the reconstruction time and achieves the goal of optimizing the quantum state reconstruction algorithm. One

【技术实现步骤摘要】
快速收敛的带有稀疏扰动的量子态重构方法
本专利技术涉及量子态估计
，尤其涉及一种快速收敛的带有稀疏扰动的量子态重构方法。
技术介绍
一个n量子位的量子系统的状态密度矩阵ρ是一个在希尔伯特空间里的d×d(d＝2n)矩阵，具有d×d＝2n×2n＝4n个参数，所以，所要估计的量子态参数的数量是随着n的增长呈指数增加，换句话说，一个标准的量子态估计需要O(d2)次的测量配置。实际实验中人们感兴趣的量子状态往往是纯态或者近似纯态的，此时ρ是一个秩为r低秩的厄米矩阵。利用这一先验信息，人们将由Candes、Donaho等人在2006年提出的压缩传感理论应用到量子态估计中：先通过一个测量矩阵A，将原始信号投影到低维空间；再通过求解一个优化问题，从少量的测量值中，精确重构出原始信号。压缩传感理论将测量次数减少为Ο(rdlogd)。在基于压缩传感的量子态估计中，有两个重要问题需要解决：1)测量次数至少为多少时可以保证所选出的测量矩阵满足压缩传感所要求的低秩RIP条件，以至于能够在选中的少量测量数据中包含足够多的信息，重构出密度矩阵ρ；2)需要设计一个高效，并且鲁棒性强的重构算法，以便能够以压缩传感理论给出的最小测量率，达到高精度的优化问题的解。对于问题1)，根据压缩传感相关理论，人们已经得到结论：当测量次数M满足理论研究出的下界条件时，就可以使观测矩阵A以很高的概率满足秩RIP理论。此时人们可以将测量次数从完备测量的O(d2)减少到O(rdlogd)。对于问题2)，基于压缩传感的量子态估计的凸优化算法，由于所涉及到的参数维数很大，一般的算法很难有效求解。例如，Smith等人将量子态估计问题总结为最小方差问题(LS)或者压缩传感问题，并用凸优化工具箱求解，但是对于高维量子系统，随着计算时间和存储空间的增加，使得重构难以实现。Li首次将ADMM用于求解基于压缩传感的量子态重构问题，获得了较快并且具备鲁棒性的算法。然而在Li的算法中，大量的高阶矩阵求逆的运算导致算法花费时间很长，以量子位n＝7为例，在IntelXeonE5-2407CPU、2核、主频2.4GHz、内存16G的机器上，以92.43％的正确率重构出密度矩阵需要近3个小时的时间。另外，在Li所定义的优化问题中，考虑了密度矩阵和测量值中同时含有噪声这一特殊情况，在高维量子态估计情况下，基于该问题的优化算法重构难度加大，效果变差。
技术实现思路
本专利技术的目的是提供一种快速收敛的带有稀疏扰动的量子态重构方法，考虑量子态约束条件下，利用近邻梯度算法，逼近地求解出有关密度矩阵和稀疏干扰的子问题以获得封闭解，采用可调步长更新拉格朗日乘子以加快收敛速度，该算法在保证重构精度的前提下，极大地降低重构运算时间，达到优化量子态重构算法的目的。本专利技术的目的是通过以下技术方案实现的：一种快速收敛的带有稀疏扰动的量子态重构方法，包括：步骤1、获取测量矩阵A和与之对应的测量矢量b；步骤2、初始化密度矩阵ρk、稀疏矩阵Sk、拉格朗日乘子yk与迭代次数k＝1；步骤3、更新密度矩阵ρk、稀疏矩阵Sk、拉格朗日乘子yk：对于密度矩阵的子问题中加入量子态约束条件，获得第k+1次迭代时的密度矩阵ρk+1的特征值，从而得到第k+1次迭代时的密度矩阵ρk+1；对稀疏干扰相关子问题，利用邻近梯度算法将问题进行转化，并引入软阈值收缩算子，从而得到第k+1次迭代时的稀疏矩阵Sk+1；结合ρk+1与Sk+1计算第k+1次迭代时的拉格朗日乘子yk+1；步骤4、判断当前是否满足预定的停止条件；若是，则转入步骤5；如否，则转入步骤3继续迭代运算；步骤5、将第k+1次迭代时的密度矩阵ρk+1作为密度矩阵的估计值并计算归一化密度矩阵估计误差error。一种快速收敛的带有稀疏扰动的量子态重系统，包括：测量矩阵与测量矢量获取模块，用于执行步骤1：获取测量矩阵A和与之对应的测量矢量b；初始化模块，用于执行步骤2：初始化密度矩阵ρk、稀疏矩阵Sk、拉格朗日乘子yk与迭代次数k＝1；更新模块，用于执行步骤3：更新密度矩阵ρk、稀疏矩阵Sk、拉格朗日乘子yk：对于密度矩阵的子问题中加入量子态约束条件，获得第k+1次迭代时的密度矩阵ρk+1的特征值，从而得到第k+1次迭代时的密度矩阵ρk+1；对稀疏干扰相关子问题，利用邻近梯度算法将问题进行转化，并引入软阈值收缩算子，从而得到第k+1次迭代时的稀疏矩阵Sk+1；结合ρk+1与Sk+1计算第k+1次迭代时的拉格朗日乘子yk+1；判断模块，用于执行步骤4：判断当前是否满足预定的停止条件；若是，则转入步骤5；如否，则转入步骤3继续迭代运算；估计值确定与估计误差计算模块，用于执行步骤5：将第k+1次迭代时的密度矩阵ρk+1作为密度矩阵的估计值并计算归一化密度矩阵估计误差error。由上述本专利技术提供的技术方案可以看出，其主要具有如下有益效果：第一，针对带有稀疏干扰的量子态估计问题，在保证重构出的密度矩阵满足量子态约束条件下，将ADMM算法运用于基于压缩传感的高量子位状态的重构中，算法可以更快地找到更精确的解。第二，利用近邻梯度算法逼近求解ADMM子问题以获得封闭解和大规模矩阵运算，使运算复杂度大大降低。第三，采用可调步长更新拉格朗日乘子，加快了收敛速度，同时给出满足算法收敛性的条件，为参数选择提供依据。附图说明为了更清楚地说明本专利技术实施例的技术方案，下面将对实施例描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本专利技术的一些实施例，对于本领域的普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他附图。图1为本专利技术实施例提供的一种快速收敛的带有稀疏扰动的量子态重构方法的流程图；图2为本专利技术实施例提供的迭代次数为20时，本专利技术的逼近ADMM算法(I-ADMM)与传统ADMM和IST-ADMM算法重构量子态密度矩阵在不同采样率下估计误差的对比结果；图3为本专利技术实施例提供的采样率为0.3时，本专利技术的逼近ADMM(I-ADMM)与传统ADMM和IST-ADMM算法收敛速度随迭代次数变化的对比结果；图4为本专利技术实施例提供的一种快速收敛的带有稀疏扰动的量子态重构系统的示意图。具体实施方式下面结合本专利技术实施例中的附图，对本专利技术实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本专利技术一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本专利技术的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本专利技术的保护范围。本专利技术实施例提供一种快速收敛的带有稀疏扰动的量子态重构方法，该方法能够精确地求解带有稀疏干扰的量子态估计问题。基于压缩传感理论，人们可以通过求解一个优化问题，利用少量的测量重构出低秩的密度矩阵。交替方向乘子法(ADMM)是一种求解具有可分结构优化问题的高效算法，该算法将量子态估计问题拆分成两个子问题，其中一个是关于密度矩阵核范数并且带有量子态约束的优化问题；另一个是关于稀疏干扰矩阵的l1范数优化问题，这两个子问题都不具有封闭解。本专利技术的方案是一种逼近ADMM算法，其核心思想是采用一阶近邻梯度法来近似求解关于密度矩阵和稀疏干扰的子问题，梯度运算是在光滑的最小二乘项上进行；近邻操作在核范数、l1范数以及示性函数上进行，从而获得两个子本文档来自技高网...

【技术保护点】
1.一种快速收敛的带有稀疏扰动的量子态重构方法，其特征在于，包括：

【技术特征摘要】
1.一种快速收敛的带有稀疏扰动的量子态重构方法，其特征在于，包括：步骤1、获取测量矩阵A和与之对应的测量矢量b；步骤2、初始化密度矩阵ρk、稀疏矩阵Sk、拉格朗日乘子yk与迭代次数k＝1；步骤3、更新密度矩阵ρk、稀疏矩阵Sk、拉格朗日乘子yk：对于密度矩阵的子问题中加入量子态约束条件，获得第k+1次迭代时的密度矩阵ρk+1的特征值，从而得到第k+1次迭代时的密度矩阵ρk+1；对稀疏干扰相关子问题，利用邻近梯度算法将问题进行转化，并引入软阈值收缩算子，从而得到第k+1次迭代时的稀疏矩阵Sk+1；结合ρk+1与Sk+1计算第k+1次迭代时的拉格朗日乘子yk+1；步骤4、判断当前是否满足预定的停止条件；若是，则转入步骤5；如否，则转入步骤3继续迭代运算；步骤5、将第k+1次迭代时的密度矩阵ρk+1作为密度矩阵的估计值并计算归一化密度矩阵估计误差error。2.根据权利要求1所述的一种快速收敛的带有稀疏扰动的量子态重构方法，其特征在于，对于密度矩阵的子问题中加入量子态约束条件，获得第k+1次迭代时的密度矩阵ρk+1的特征值，从而得到第k+1次迭代时的密度矩阵ρk+1的过程如下：首先，加入任意量子态ρ必须满足的约束条件：ρ≥0和tr(ρ)＝1；其中，为求解矩阵的共轭转置符号；tr(·)为求迹运算；然后，计算邻近密度矩阵其中，τ1为与密度矩阵相关的邻近梯度步长，vec(X)表示按列将矩阵X展开为一个列向量，α为大于0的惩罚参数；再对进行特征值分解，得到特征值{ai}，进而在的条件下求解从而得到第k+1次迭代时的密度矩阵ρk+1的特征值{xi}；其中，d为待估计量子态维数；在求解中的{xi}时，设置中间变量β，依次令β＝ai，i＝1,2,…d；找出满足和的t值，代入t求解β的最优值为最终代入β的最优值得到xi＝max{ai-β,0}；最后，利用下式计算第k+1次迭代时的密度矩阵ρk+1：其中，diag{xi}表示特征值{xi}为对角矩阵；为一个酉矩阵，表示复数域。3.根据权利要求1所述的一种快速收敛的带有稀疏扰动的量子态重构方法，其特征在于，对稀疏干扰相关子问题，利用邻近梯度算法将问题进行转化，并引入软阈值收缩算子，从而得到第k+1次迭代时的稀疏矩阵Sk+1的过程如下：首先，对稀疏干扰相关子问题，利用邻近梯度算法将问题转化为：其中，τ2为与稀疏矩阵相关的邻近梯度步长，||.||F表示F范数，α为大于0的惩罚参数，γ＞0，表示权重值；vec(X)表示按列将矩阵X展开为一个列向量；然后，引入软阈值收缩算子计算第k+1次迭代时的稀疏矩阵Sk+1：4.根据权利要求1所述的一种快速收敛的带有稀疏扰动的量子态重构方法，其特征在于，结合ρk+1与Sk+1计算第k+1次迭代时的拉格朗日乘子yk+1的公式为：yk+1＝yk-κα(A(vec(ρk+1+Sk+1))-b)；其中，vec(X)表示按列将矩阵X展开为一个列向量，α为大于0的惩罚参数，κ＞0为调节拉格朗日乘子更新步长的参数；设矩阵最大的特征值为λmax，令λmax、调节拉格朗日乘子更新步长的参数κ、与密度矩阵相关的邻近梯度步长τ1以及与稀疏矩阵相关的邻近梯度步长τ2满足如下关系：λmaxτ1＜1，且τ2λmax+κ＜2。5.根据权利要求1-4任一项所述的一种快速收敛的带有稀疏扰动的量子态重构方法，其特征在于，预定的停止条件为：||A(vec(ρk+Sk))-b||2/||b||2＜10-7或k＞kmax；其中，vec(X)表示按列将矩阵X展开为一个列向量，kmax为设定的最大迭代次数。6.一种快速收敛的带有稀疏扰动的量子态重系统，其特征在...

【专利技术属性】
技术研发人员：丛爽，胡志林，张娇娇，李克之，
申请(专利权)人：中国科学技术大学，
类型：发明
国别省市：安徽,34